金屬固體材料楊氏模量的靜態(tài)拉伸法測(cè)量改進(jìn)

(湖南科技學(xué)院 電子工程系,湖南 永州 425199)

楊氏模量是表征材料性質(zhì)的一個(gè)重要的物理量，是工程技術(shù)設(shè)計(jì)中常用的參數(shù)，通常只與材料的性質(zhì)、溫度及其加工制造的方法有關(guān)，而與外力及物體的幾何形狀無(wú)關(guān)，對(duì)它的準(zhǔn)確測(cè)量具有很重要的工程實(shí)踐意義。測(cè)量材料楊氏模量的方法有很多，如拉伸法、壓入法[1]、彎曲法[2][3]和游標(biāo)法[4]等等。拉伸法是最常用的方法之一，這是因?yàn)榻饘俳z的伸長(zhǎng)量非常小，一般的實(shí)驗(yàn)儀器及實(shí)驗(yàn)方法很難精確測(cè)量，故通常都是采用光學(xué)放大法(即光杠桿放大法)實(shí)現(xiàn)微小伸長(zhǎng)量的測(cè)量。但實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)儀器在調(diào)節(jié)、測(cè)量讀數(shù)等方面均存在一些不便，本文對(duì)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器和測(cè)試方法進(jìn)行改進(jìn)，從而簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)操作、減小誤差，能有利于提高楊氏模量的測(cè)量精度。

1 測(cè)量原理

1.1 胡克定律和楊氏彈性模量

當(dāng)固體受外力作用時(shí)，它的體積和形狀將要發(fā)生改變，這種改變，稱之為形變。物體的形變一般可分為彈性形變和塑性形變。當(dāng)外力不太大時(shí)，物體的形變與外力成正比，且外力停止作用物體立即恢復(fù)原來(lái)的形狀和體積，這種形變稱彈性形變。當(dāng)外力較大時(shí)，物體的形變與外力不成比例，且當(dāng)外力停止作用后，物體形變不能完全消失，這種形變稱為范性形變。范性形變的產(chǎn)生，是由于物體形變而產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力(大小等于單位面積上的作用力)超過(guò)了物體的彈性限度(屈服極限)的緣故。如果再繼續(xù)增大外力，當(dāng)物體內(nèi)產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力超過(guò)物體的強(qiáng)度極限時(shí)，物體便被破壞了。胡克定律指出：在物體的彈性限度內(nèi)，脅強(qiáng)與脅變成正比，其比例系數(shù)稱為楊氏模量(記為E)。

在數(shù)值上等于產(chǎn)生單位脅變時(shí)的脅強(qiáng)。它的單位與脅強(qiáng)的單位相同。

設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面積為S的金屬固體材料(如：鋼絲)，在外力F作用下伸長(zhǎng)了，則：

(1)

(2)

式(2)表明，對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)、直徑為d和所加外力為F相同的情況下，楊氏模量E大的金屬絲而其伸長(zhǎng)量卻比較小。因而，楊氏模量是表征材料性質(zhì)的一個(gè)重要的物理量，是工程技術(shù)設(shè)計(jì)中常需涉及的重要參數(shù)之一，通常只與材料的性質(zhì)和溫度有關(guān)，而與外力及物體的幾何形狀無(wú)關(guān)。對(duì)一定材料而言，E通?？梢钥醋魇且粋€(gè)常數(shù)，它只與材料的構(gòu)造、化學(xué)成分等方面有關(guān)。楊氏模量的大小標(biāo)志了材料的剛性。

為能測(cè)出金屬絲的楊氏模量E，必須準(zhǔn)確測(cè)出上式中右邊各量。其中L、d、F都可用一般方法測(cè)得，唯有△L是一個(gè)微小的變化量，用一般量具難以測(cè)準(zhǔn)，為了測(cè)準(zhǔn)細(xì)小鋼絲的微小長(zhǎng)度變化，實(shí)驗(yàn)中采用了光杠桿放大法進(jìn)行測(cè)量。因?yàn)楣飧軛U放大法具有穩(wěn)定性高、易操作、受環(huán)境的干擾小等特點(diǎn)，所以在許多科研生產(chǎn)和生活等領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。

1.2 光杠桿和鏡尺系統(tǒng)是測(cè)量微小長(zhǎng)度變化的裝置[3]

光杠桿基本組成如圖1(a)所示，它實(shí)際上就是一塊附有三個(gè)足尖的平面鏡。三個(gè)足尖的邊線可連成一等腰三角形。前兩足尖刀口與平面鏡應(yīng)在同一平面內(nèi)(平面鏡俯仰角可以調(diào)節(jié))，后足尖在前兩足尖刀口的中垂線上。鏡尺系統(tǒng)實(shí)際上就是一把豎立的毫米刻度尺和在尺子旁的一臺(tái)望遠(yuǎn)鏡組成。光杠桿與鏡尺系統(tǒng)組成如圖1(b) 所示的測(cè)量系統(tǒng)。

圖1 (a) 光杠桿 圖1 (b) 楊氏模量測(cè)量系統(tǒng)

將光杠桿和鏡尺系統(tǒng)按圖1(b) 安裝好，并按儀器調(diào)節(jié)步驟調(diào)節(jié)好全部裝置之后，就會(huì)在望遠(yuǎn)鏡中看到由鏡面M反射的直尺(標(biāo)尺)的像。標(biāo)尺是一般的米尺，但中間刻度為0。其光路部分如圖2。圖中M1表示鋼絲處于伸直情況下，光杠桿小鏡的位置。從望遠(yuǎn)鏡的目鏡中可以看見水平叉絲對(duì)準(zhǔn)標(biāo)尺的某一刻度線n0，當(dāng)在鉤碼上增加砝碼(第i塊)時(shí)，因鋼絲伸長(zhǎng)致使置于鋼絲下端附著在平臺(tái)上的光杠桿后足P跟隨下降到P′，PP′即為鋼絲的伸長(zhǎng)△Li，于是平面鏡的法線方向轉(zhuǎn)過(guò)一角度θ，此時(shí)平面鏡處于位置M2。在固定不動(dòng)的望遠(yuǎn)鏡中會(huì)看到水平叉絲對(duì)準(zhǔn)標(biāo)尺上的另一刻線ni，ni-n0就是放大后的鋼絲伸長(zhǎng)量△ni(即△ni=ni-n0)，常稱作視伸長(zhǎng)。假設(shè)開始時(shí)對(duì)光杠桿的入射和反射光線相重合，當(dāng)平面鏡轉(zhuǎn)一角度θ，則入射到光杠桿鏡面的光線方向就要偏轉(zhuǎn)2θ，故∠n0Oni=2θ，因θ甚小，OO′也很小，故可認(rèn)為平面鏡到標(biāo)尺的距離D≈On0，并有：

(3)

(4)

式中b為后足至前足連線的垂直距離，稱為光杠桿常數(shù)。從以上兩式得：

(5)

(6)

常用單位是：N/m2或Pa。式中d為鋼絲的直徑。

圖2 光杠桿放大原理圖

2 實(shí)驗(yàn)改進(jìn)

2.1 測(cè)量鋼絲長(zhǎng)度L的改進(jìn)[5]

在測(cè)量鋼絲長(zhǎng)度L時(shí)，由于鋼絲上下端裝有緊固夾頭，同時(shí)鋼絲處于豎直拉長(zhǎng)狀態(tài)，這給測(cè)量帶來(lái)很大不便。一來(lái)由于緊固夾頭的阻礙，很難將鋼卷尺貼近鋼絲，而必須將鋼卷尺放置在距離鋼絲有一定距離的位置進(jìn)行測(cè)量，這樣由于人眼讀數(shù)的視差，必然會(huì)減低讀數(shù)準(zhǔn)確度；二來(lái)由于鋼絲處于豎直拉長(zhǎng)狀態(tài)，測(cè)量者要將鋼卷尺豎直拉長(zhǎng)后再去讀數(shù)，這樣就很難保證視線與刻度對(duì)齊，從而產(chǎn)生視差，降低讀數(shù)精度。針對(duì)這個(gè)問題，可以考慮將鋼卷尺和固定鋼絲的裝置的一端固連在一起，并使得鋼卷尺盡量靠近細(xì)鋼絲。需要讀數(shù)的時(shí)候，將鋼卷尺拉出，由于鋼卷尺的一端固定，這將大大降低了單人操作時(shí)的難度，可以提高測(cè)量精度。

2.2 測(cè)量鏡尺間距D的改進(jìn)

在測(cè)量鏡尺間距D時(shí)，由于距離較遠(yuǎn)，很難保證鋼卷尺水平放置、不彎曲而且兩端對(duì)齊，顯然這樣帶來(lái)的誤差將會(huì)相當(dāng)大。為了減少該誤差，可以參考光學(xué)實(shí)驗(yàn)中測(cè)量光學(xué)元件間距時(shí)采用帶刻度的光具座的方法，將望遠(yuǎn)鏡、鋼絲固定裝置置于一個(gè)帶有刻度的導(dǎo)軌上，從而簡(jiǎn)化測(cè)量和提高精度。

2.3 測(cè)量光杠桿前后足間距b的改進(jìn)[6]

在測(cè)量光杠桿前后足間距b時(shí)，不能保證完全是垂直距離，同時(shí)由于光杠桿的尺寸和形狀問題，也會(huì)使得游標(biāo)卡尺不能很好地卡緊前后足?？梢钥紤]將光杠桿置于白紙上，用鉛筆描出光杠桿三足位置，然后連接兩個(gè)后足，再過(guò)前足作后足的垂線，測(cè)量前足到垂足的距離，則可以比較簡(jiǎn)便地測(cè)出前后足間距。但是這樣操作則不能用游標(biāo)卡尺測(cè)量前后足間距，故而將會(huì)損失一定測(cè)量精度。

2.4 測(cè)量視伸長(zhǎng)△ni的改進(jìn)

由于采用了光杠桿多次成像的方法放大了微小位移，故而對(duì)原來(lái)位移的微小擾動(dòng)，也會(huì)同時(shí)放大成相當(dāng)大的干擾，從而影響讀取視伸長(zhǎng)數(shù)值的精確度。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，望遠(yuǎn)鏡中的標(biāo)尺像總是在晃動(dòng)，很難保證叉絲保持對(duì)齊某個(gè)刻度線，嚴(yán)重的時(shí)候叉絲對(duì)準(zhǔn)的刻度甚至?xí)幸粋€(gè)相當(dāng)大的變動(dòng)范圍，大大超過(guò)儀器本身的測(cè)量誤差限度。考慮到視伸長(zhǎng)△ni對(duì)本實(shí)驗(yàn)精確度的影響極大，應(yīng)該著重改善這個(gè)問題。

首先應(yīng)該盡可能地減少鋼絲受到的擾動(dòng)。實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)該盡量小心，保持桌面的平穩(wěn)，并且盡量在標(biāo)尺像晃動(dòng)不太劇烈的時(shí)候迅速讀數(shù)。

其次應(yīng)該通過(guò)多次讀取數(shù)值來(lái)消減誤差。在加砝碼和減砝碼后，應(yīng)該在標(biāo)尺晃動(dòng)不太劇烈時(shí)，讀取幾組數(shù)據(jù)，然后再求平均，通過(guò)平均的作用消減讀取位置偏離真實(shí)位置的誤差。

再次應(yīng)該在條件允許下改善實(shí)驗(yàn)設(shè)備。由于標(biāo)尺像在不斷晃動(dòng)，要在它晃動(dòng)的時(shí)候看清對(duì)齊的刻度并估讀數(shù)字是很困難的，所以如果條件允許，可以將望遠(yuǎn)鏡改進(jìn)為帶有攝像功能的攝像望遠(yuǎn)鏡。在標(biāo)尺像晃動(dòng)不太劇烈時(shí)，拍攝幾組照片，之后再讀取靜止的照片中的讀數(shù)，此時(shí)就能獲得更好的精確度。

3 數(shù)據(jù)記錄與處理

3.1 計(jì)算鋼絲彈性模量

按著改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置和方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，記錄數(shù)據(jù)如下：

鋼絲長(zhǎng)度L=39.60cm，平面鏡到標(biāo)尺的距離D=102.20cm，光杠桿前后足間距b=8.500cm

表1 鋼絲直徑d測(cè)量結(jié)果(螺旋測(cè)微器零點(diǎn)誤差x0=-0.320mm)

表2 加砝碼后標(biāo)尺的讀數(shù)n

表3 用逐差法求標(biāo)尺讀數(shù)改變量△n

3.2 計(jì)算鋼絲彈性模量的不確定度

L、D、b只測(cè)量一次，只有B類不確定度，估計(jì)其誤差限為△L=0.3cm，△D=0.5cm，△b=0.02cm，故：

d的不確定度：

△n的不確定度：

∴ lnE=lnL+lnD-2lnd-lnb-ln △n+ln 16+lnm+lng-lnπ

兩邊同時(shí)求微分，得到：

將上式中d改為u，并取平方和的根：

最終結(jié)果為：E±u(E)=(1.99±0.05)×1011N·m-2

4 分析與結(jié)論

通過(guò)查閱相關(guān)資料可得，鋼絲的彈性模量理論值約為1.92×1011～2.16×1011N·m-2[7]，不妨取E真=2.04×1011N·m-2作為真值的估計(jì)值，并以此計(jì)算絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差：

△N=E-E真=(1.99-2.04)×1011N·m-2=-0.05×1011N·m-2

可以看出，實(shí)驗(yàn)的誤差是比較小的。

下面估算各測(cè)量值不確定度對(duì)最終結(jié)果的不確定度的貢獻(xiàn)為：

表4 各測(cè)量值的相對(duì)不確定度分量

可見，u(△n)和u(d)的影響均很大，其貢獻(xiàn)主要來(lái)自u(píng)A(△n)/△n、uB(△n)/△n和2uB(d)/d。實(shí)際上只考慮這三項(xiàng)的方差合成就可達(dá)2.6%，與u(E)/E=2.7%相差很小。表4所述不確定度分量主要來(lái)自儀器誤差，一般只能通過(guò)儀器校正來(lái)減小，因此很難再通過(guò)改善測(cè)量方法來(lái)提高其準(zhǔn)確度。反之也說(shuō)明了本次實(shí)驗(yàn)在測(cè)量方法的選擇上是恰當(dāng)?shù)??！鱪、d的測(cè)量中采取了多次重復(fù)測(cè)量的方式，實(shí)驗(yàn)中對(duì)d的測(cè)量沒有給E帶入很大的誤差，但△n的測(cè)量則帶入了很大的誤差，故而在對(duì)△n的測(cè)量可能存在較大問題。下面對(duì)△n帶來(lái)的誤差可能性進(jìn)行分析：

i/測(cè)量次數(shù)12345△ni/標(biāo)尺讀數(shù)改變量(CM)1．8951．9401．9401．8301．745

圖3 △n1(標(biāo)尺讀數(shù)改變量)的散點(diǎn)圖

散點(diǎn)圖顯示，第五個(gè)數(shù)據(jù)波動(dòng)相當(dāng)大，很可能是由于測(cè)量有誤而讀出的壞數(shù)。由于測(cè)量次數(shù)只有五次，故而不能用拉依達(dá)法則判斷其是否壞數(shù)，而應(yīng)該用檢驗(yàn)準(zhǔn)則來(lái)判斷。

=0.05202163

先將△n5剔除，計(jì)算剩余數(shù)據(jù)的平均值和單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差：

根據(jù)測(cè)量次數(shù)n=5，查表得到若選置信概率為0.99和0.95時(shí)的對(duì)應(yīng)K值為：

K(5,0.99)=6.53，K(5,0.95)=3.56，分別設(shè)為X、Y，則有：

∵X·S=6.53×0.05202163=0.33970,Y·S=3.56×0.05202163=0.18520

∴Z

故而△n5并不是壞數(shù)，只是多次測(cè)量中的一次比較極端的情況，應(yīng)該保留。重新考慮△n的測(cè)量帶來(lái)的隨機(jī)誤差，發(fā)現(xiàn)測(cè)量次數(shù)僅有5次，故而多次測(cè)量中的極端情況△n5帶來(lái)的隨機(jī)誤差使得測(cè)量結(jié)果的A類不確定分量特別大。為了消減誤差，在測(cè)量△n的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行次數(shù)更多的測(cè)量，獲取更為平均的結(jié)果。但應(yīng)該注意，測(cè)量次數(shù)不宜過(guò)多，否則可能會(huì)帶來(lái)新的測(cè)量誤差和粗大誤差。

由以上分析可得，對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置和方法改進(jìn)后的測(cè)量結(jié)果穩(wěn)定可靠，與理論值吻合較好，測(cè)量精度有較大提高，誤差控制在2.45%左右，基本能滿足對(duì)鋼絲楊氏模量的測(cè)量要求。

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