奇異遷移算子一階余項(xiàng)的弱緊性

(上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

1 引言

本文考慮以下奇異遷移方程的初值問(wèn)題：

(1)

其中H為正有界線(xiàn)性算子，即平行板的左右面上的周期邊界算子，即

φ(a,v,μ)=φ(-a,v,μ),0<μ<1;φ(-a,v,μ)=φ(a,v,μ),-1<μ<0

(2)

假設(shè)：(O1)σ(v)和k(v,м,v′,μ′)分別為E和G×G(G=E×[-1,1])上的可測(cè)函數(shù)，且存在具有零測(cè)集的閉子集E0?E和常數(shù)σ0>0，使得

σ(·)∈L∞(EE0),σ(v)≥σ0,a,e,v∈E

(O2)算子K是正則的，即如果K限制在L1(G)是弱緊正的。

對(duì)遷移方程解的漸近性態(tài)和遷移算子的譜分析研究是遷移理論研究的主要問(wèn)題之一，自從Lehner.J.Wing.G.M和Jorgeas的開(kāi)創(chuàng)性工作以來(lái)，遷移算子的研究已成為數(shù)學(xué)界、物理界及工程技術(shù)界都非常感興趣的問(wèn)題。近年來(lái)，對(duì)一般遷移算子的譜研究工作較多(即見(jiàn)文獻(xiàn)[3-7])，但對(duì)奇異遷移算子及遷移方程的討論較少。其中K.Latrach與M.Kokhtar-Kharroubi在L1空間，討論了板幾何中一類(lèi)具反射邊界條件的奇異遷移方程，證明了該半群V(t)的Dyson-Phillips展開(kāi)式的二階余項(xiàng)R2(t)的弱緊性。由文獻(xiàn)[3]關(guān)于一階余項(xiàng)R1(t)與n階余項(xiàng)Rn(t)(n≥2)之間的關(guān)系討論知：假若n階余項(xiàng)(n≥2)緊(或弱緊)，則可知遷移算子Ak的譜分析及遷移方程解的漸近行態(tài)。而假若一階余項(xiàng)R1(t)緊(或弱緊)，則結(jié)論更為精確，條件更弱且得出了半群之間的本質(zhì)譜關(guān)系。

本文通過(guò)構(gòu)造算子，運(yùn)用比較算子方法，在文獻(xiàn)[1，2]的基礎(chǔ)上，討論了具周期邊界條件的奇異遷移方程，推廣了文[1，2]的結(jié)論：即證明了一階余項(xiàng)R1(t)的弱緊性，從而可得出：半群V(t)與U(t)具有相同的本質(zhì)譜及一致的本質(zhì)譜型及遷移方程解的漸近行為等結(jié)果。

2 準(zhǔn)備知識(shí)

令X=L1(△)(△=[-a,a]×E×[-1,1])表相域△上有界可測(cè)函數(shù)全體按范數(shù)

構(gòu)成的Banach空間，定義△的飛入和飛出的邊界分別為：

引入邊界空間和范數(shù)分別為：

(3)

(4)

其中，～表示這些空間的自然恒等，部分反射邊界條件(2)可寫(xiě)成：

(5)

其中

(6)

(7)

顯然，H是可逆的，且‖HU‖Χ0=‖U‖Χi，令

(8)

(9)

則奇異遷移算子Ak定義為

Ak=B+K,D(Ak)=D(B)

(10)

(11)

對(duì)φ∈X，考慮方程

(λ-B)φ=ψ

(12)

則對(duì)任何Re>-σ0，方程(12)可形式地解為：

(13)

特別地

(14)

(15)

由(13)-(15)和邊界條件(5),則(13)可寫(xiě)成以下抽象形式

(16)

令

(17)

(18)

則對(duì)Re>-σ0,有

(λ-B)-1=Ξλ+Mλ

(19)

因?yàn)楫?dāng)Reλ>-σ0時(shí)，算子Ξλ和Mλ在X上都是正的，所以(λ-B)-1在X上也是正的，且由文獻(xiàn)[4]知：?ψ∈X，B產(chǎn)生一個(gè)正C0半群：U(t)(t≥0):

(20)

其中ψ∈X，令

zn(t)φ(x,v,μ)=e-σ(v)tχ[(sgn(μ)x+(2n-1)a)/|μ|,(sgn(μ)x+(2n+1)a)/|μ|](t)

(21)

Zn(t)φ(x,v,μ)=φ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)zn(t)

(22)

3 主要定理

本節(jié)主要討論奇異算子Ak相應(yīng)的半群V(t)的Dyson-Phillips展開(kāi)式一階余項(xiàng)的弱緊性。

為研究表活劑的界面張力對(duì)開(kāi)發(fā)效果的影響，保證模型中其他參數(shù)設(shè)置不變，改變表面活性劑濃度，使表面活性劑界面張力分別為0.01、0.006、0.003、0.001、0.0005mN·m-1，對(duì)比不同界面張力的開(kāi)發(fā)效果，模擬結(jié)果見(jiàn)表2。

定理3.1 若假設(shè)(O1)、(O2)成立，則R1(t)弱緊。

證明由文獻(xiàn)[8,定理2.6]知U1(t)與R1(t)具有相同的緊性。故下面僅證明：

為緊算子。定義

有

定義

下證F1,n,m緊，令

In,∞(t):L1[R×E×(-1,1)]→L1[R×E×(-1,1)]

φ→e-σ(v)tφ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)

其中

E:X→L1[R×E×(-1,1)]

R:L1[R×E×(-1,1)]→X

于是有

F1,n,m≤Jt

Kε′:L1[R×E×(-1,1),σ(v)dxdvdμ]→L1[R×E×(-1,1)]

于是有

利用Fubini定理知

(24)

×φ(x+s(μ-μ′)-μt+sgn(μ)2na+sgn(μ′,2ma),v′,μ′)

作變換，定義

y=y(s)=x+s(μ-μ′)-μt+sgn(μ)2na+sgn(μ′)2ma

于是有

(25)

其中

at(x,μ,μ′)=min{y(ε),y(t)},bt(x,μ,μ′)=max{y(ε),y(t)}

其中

an,m(t)(t)=[(2m+2n)a+a]+3t

定義

F:L1[R×E×(-1,1)]→L1[-an,m(t)(t),an,m(t)(t)×E×(-1,1)]

Et=L1[-an,m(t)(t),an,m(t)(t)×E×(-1,1)]→X

于是有

參考文獻(xiàn)：

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