板模型中帶周期邊界條件的遷移算子的譜分布

(上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001)

1 相關(guān)知識(shí)

二十世紀(jì)五十年代，文獻(xiàn)[1]對(duì)無(wú)限平行板幾何提出了最具一般的中子遷移方程：

該遷移方程解的漸近性態(tài)和該遷移算子的譜分析研究已成為數(shù)學(xué)和物理等眾多科學(xué)領(lǐng)域感興趣的課題(部分參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-8]). Khalid Latrach 等人在文獻(xiàn)[2]中研究了一類(lèi)帶周期和完全反射邊界條件粒子單能的遷移方程，證明了遷移算子產(chǎn)生C0半群，證明了該C0半群產(chǎn)生的Dyson-Phillips展開(kāi)式的二階余項(xiàng)是緊和弱緊性。王勝華等人在文獻(xiàn)[3]中對(duì)L2空間板幾何中帶周期邊界條件連續(xù)能量的遷移方程進(jìn)行研究,證明了這類(lèi)遷移算子產(chǎn)生C0半群V(t)(t≥0)以及該半群產(chǎn)生的二階余項(xiàng)是緊的，得到了該遷移算子的譜分析等結(jié)果。文獻(xiàn)[4]又將文獻(xiàn)[3]的部分條件做了推廣，其中邊界條件推到廣義邊界條件：

ψ(-a,v,μ)=αψ(a,v,μ),0<μ<1;ψ(a,v,μ)=αψ(-a,v,μ),-1<μ<0;0≤α<1

注意到，文獻(xiàn)[4]中的α∈〔0,1)，顯然當(dāng)α=1時(shí)，結(jié)果又將如何？引起了我們的關(guān)注。本文對(duì)板模型中一類(lèi)帶周期邊界條件下非均勻介質(zhì)的遷移方程進(jìn)行研究，證明了這類(lèi)遷移算子AH產(chǎn)生C0半群V(t)(t≥0)，證明了該半群產(chǎn)生的Dyson-Phillips展開(kāi)式的二階余項(xiàng)的緊和弱緊性，最后得到了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果。下面研究一類(lèi)帶周期邊界條件下非均勻介質(zhì)的初邊值問(wèn)題：

其中H平行板的左右面上的周期算子。即，

(1.1)

其余符號(hào)意義見(jiàn)文獻(xiàn)[4,7]。

令Xp=Lp(D=〔-a,a〕×E×〔-1,1〕)(1≤p<∞)表按通常范數(shù)構(gòu)成的Banach空間，在Xp上定義streaming算子：

令σ0=ess-inf{σ(x,v)}。對(duì)φ∈Xp，考慮方程

(λ-B)ψ=φ

則對(duì)任何Reλ>-σ0，當(dāng)μ∈〔-1,1〕時(shí)有

(1.2)

由半群的性質(zhì)和(1.2)式可得，算子BH在Xp上生成C0半群U(t)(t≥0)的表達(dá)式為:

引理1.1[3]設(shè)H為(1.1)式中所確定的周期邊界算子,那么遷移算子AH在Xp空間上生成C0半群(V(t)(t≥0)，而且

當(dāng)n=2時(shí),顯然可以得到二階余項(xiàng)為：

(1.3)

2 主要結(jié)果

假設(shè)(O):K為正則算子,即K限制在Lp(D)上是緊正算子。不妨假設(shè)K為秩一算子,并且仍用K表示。那么

φ(2na sgn(μ)-μt2+x,v′,μ′)χ〔((2n-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2n+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t2)

由引理1.1可令：

(2.1)

f(v′,μ′)g(v″,μ″)dμ″(V(t-t1-t2)φ)(2ka sgn(μ)-μt1+x1,v″,μ″)×

χ〔((2n-1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|,((2n+1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|〕(t2)χ〔((2k-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2k+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t1).

令Γ=σ(AH)∩{λ∈C|Reλ>ω}，其中ω>e是(U(t)(t≥0)本質(zhì)譜型)。

定理2.1 若假設(shè)條件(O)被滿(mǎn)足，則遷移算子AH的譜在區(qū)域Γ中僅由有限個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值所組成。

由于對(duì)任意固定的t>0 ,必?k0(t)∈Z，使得當(dāng)k≥k0(t)時(shí)有：

于是(2.1)可表示為：

f(v′,μ′)g(v″,μ″)dμ″(V(t-t1-t2)φ)(2ka sgn(μ)-μt1+x1,v″,μ″)×

χ〔((2n-1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|,((2n+1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|〕(t2)χ〔((2k-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2k+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t1),

f(v′,μ′)g(v″,μ″)dμ″(V(t-t1-t2)φ)(2ka sgn(μ)-μt1+x1,v″,μ″)×

χ〔((2n-1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|,((2n+1)a+sgn(μ′)x1)/|μ′|〕(t2)χ〔((2k-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2k+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t1).

Tε={(t1,t2)∈R2,t1≥0,t2≥ε>0,t1+t2≤t},

于是可得

θ(2ka sgn(μ)-μ′(t1,t2,x,x0,μ)t1+x1)(V(t-t1-t2)φ)(t1,t2,x0,v″,μ″)×

χ〔((2n-1)a+(2na-μ′(t1,t2,x,x0,μ)t2+x))/|μ′(t1,t2,x,x0,μ)|,((2n+1)a+(2na-μ′(t1,t2,x,x0,μ)t2+x))/|μ′(t1,t2,x,x0,μ)|〕(t2)×

χ〔((2k-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2k+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t1).

M1:Xp→Lp(Tε×D),M1φ(t1,t2,x,v,μ)=(V((t-t1,t2)φ)(x,v,μ);

χ〔((2n-1)a+(2na-μ′(t1,t2,x,x0,μ)t2+x))/|μ(t1,t2,x,x0,μ)|,((2n+1)a+(2na-μ′(t1,t2,x,x0,μ)t2+x))/|μ(t1,t2,x,x0,μ)|〕(t2)×

χ〔((2k-1)a+sgn(μ)x)/|μ|,((2k+1)a+sgn(μ)x)/|μ|〕(t1).

其中D0=E×〔-1,1〕，M為常數(shù)。下面延拓h(.,.)使得它在E×〔-1,1〕外為0，延拓φ(.,.,.,.)使得它在Tε×〔-a,a〕×E外也為0,則

參考文獻(xiàn)：

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[9] 曹玉平.基于高職數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究[J].職教論壇，2013，(2)：35-37.