混合序列下分位數(shù)估計(jì)的強(qiáng)相合及其Bahadur 表示

張文婷1,蔡際盼1,李永明

(1.廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530023;2.上饒師范學(xué)院,江西 上饒 334001)

引言

設(shè){Xn; n≥1)是概率空間(Ω;F;P)上的隨機(jī)變量序列, 具有相同的分布函數(shù)F(x)=P(X≤x).對(duì)于p∈(0，1),定義ζp=inf{x:F(x)≥p}為F(x)的p階分位數(shù), 記為F-1(p),其中函數(shù)F-1(t)(0

定義記Fu=σ(Xi,i∈u?N),N為自然數(shù)集.L2(Fu)表示所有Fu可測(cè)且二階矩有限的隨機(jī)變量全體,d(u,v)表示有限子集u和v的距離,令

1 基本假設(shè)和結(jié)論

下面我們給出一些基本假設(shè):

(A2) F(x) 在ζp的某個(gè)鄰域Np內(nèi)可導(dǎo),密度函數(shù)滿足0

本文的主要結(jié)果如下:

定理1 假設(shè)(A1),(A2)成立,log n 表示以2為底的對(duì)數(shù),當(dāng)n→∞時(shí), 有

定理2 滿足引理5和定理1的條件,當(dāng)n→∞時(shí), 有

2 輔助結(jié)論

下面我們給出本文所需引理.

引理2[11]設(shè)F(x)是右連續(xù)的分布函數(shù),則廣義逆函數(shù)F-1(t), 在0

(1) F-1(F(x))≤x,-∞

引理3[12]令p∈(0,1),ζp,n=Fn-1(p)=inf{x:Fn(x)≥p},假設(shè)P(Xi=Xj)=0,i≠j. 那么

證明由于Fn(x) 是非降函數(shù), 可得

=D1+D2.

(3.1)

(3.2)

根據(jù)微分中值定理, 有

(3.3)

因此, 由(3.1)-(3.3) 可得

引理得證.

引理6 滿足引理5的條件, 當(dāng)n→∞時(shí), 有

證明根據(jù)引理5可得

引理證畢.

3 主要結(jié)論的證明

定理1的證明令k≥1, 根據(jù)子序列法要證結(jié)論成立只需證明

(4.1)

下面我們來證明(4.1)式. 由于

=H1+H2.

(4.2)

根據(jù)引理2,引理3,引理4和Markov不等式以及Taylor 公式, 有

(4.3)

(4.4)

因此, 由(4.2)(4.3)(4.4)式可得

故根據(jù)Borel-Cantelli 引理可得(4.1) 式成立, 從而該定理得證.

定理2的證明根據(jù)引理3, 有

Fn(ζp,n)-p=O(n-1),a.s..

(4.5)

由引理6可得

(4.6)

從而, 根據(jù)(4.5)(4.6) 式和定理1以及Taylor 公式可得

其中ηn是介于ζp,n與ζp之間的隨機(jī)變量. 整理上式可得

定理證明完畢.

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