含多交易對手信用違約互換的信用風險模型

梁 進，李文毅

（同濟大學 數學系，上海 200092）

從2009年底的迪拜債務危機到去年的歐洲債務危機，再到目前全球范圍內的通脹危機，都顯示世界經濟還沒有從美國次貸危機的陰霾中走出來.這些危機凸顯場外衍生工具市場交易對手風險的重要性，特別是信用衍生工具.

大多數的場外衍生品交易都有交易對手的信用風險.在巴塞爾協(xié)議II中，交易對手信用風險（counterparty credit risk，CCR）被定義為：“一樁交易的對手方可能在交易現金流最后結算前發(fā)生違約；如果這樁交易或資產組合在違約時對本方有正的經濟價值，那么對本方就會發(fā)生經濟上的損失.”過去的十年中，場外交易飛速發(fā)展，但直到2008年次貸危機爆發(fā)才使其違約風險被廣泛受到關注.這次金融危機造成了自1930年經濟大蕭條后全球范圍內的一次巨大的經濟衰退.而交易對手信用風險也在這次金融危機中扮演了重要的角色.

信用違約互換（credit default swap，CDS）可以顯示市場中交易的“信用健康”.CDS的出現解決了信用風險的流動性問題，使得信用風險可以像市場風險一樣進行交易，從而轉移擔保方風險，同時也降低了企業(yè)發(fā)行債券的難度和成本.但是基于分散風險的原則，在錯位風險的情況下，對信用衍生產品進行風險度量與控制時有一個問題令風險規(guī)避方感興趣：一份風險資產合約是否可由多名交易對手來承擔風險？如果是，那么他們之間的違約正負相關性怎樣影響風險？所以如何建立合理的數學模型來研究這樣的風險就是本文的課題.

交易對手估值調整（counterparty valuation adjustment，CVA）被用來估算交易對手的信用風險.換句話說，CVA就是考慮和不考慮交易對手違約風險情況下對某合約估值的差額.Pykhtin等［1］和Alavian等［2］對交易對手信用風險以及CVA作了概括和綜述.Brigo［3］在約化法的框架下考慮了交易對手信用風險，并對違約強度和無風險利率的相關性作了分析.他們還在文獻［4］中用約化法對考慮交易對手違約風險的權益信用違約互換（contingent credit default swap，CCDS）進行了研究，同樣也對違約強度和利率的相關性作了分析，其違約強度被擴展到跳擴散過程.Brigo等［5］將交易對手信用風險的研究從單邊的擴展到了雙邊.Li在文獻［6］考慮了帶交易對手信用風險的CDS定價是將回收率假設為隨機過程.魏嵬和姜禮尚［7］利用單因子模型對標準的單名CDS產品的CVA作了計算和分析.

本文將在模型［7］基礎上考慮含多交易對手的單名CDS產品的CVA計算模型，通過分析考慮交易對手之間違約的相關性，分別用單因子CIR（Cox-Ingersoll-Ross）模型和單因子反CIR模型刻畫正負相關性，并在約化方法的框架下得到CVA的計算模型，并在這個基礎上作了一些數值結果的分析，同時將多交易對手的CDS與標準的CDS的CVA值進行做比較分析，進而得出一些有指導意義的結論.

1 建立模型

1.1 多交易對手單名CDS的現金流分析

現在考慮多交易對手的單名CDS合約的現金流，假設這張合約中有兩個交易對手B1，B2，一個參考公司C，對應符號的上、下標i（i＝1，2，3）做如下的假設：交易對手Bi→i（i＝1，2），參考公司C→i＝3.

在約化法框架下，違約可用強度模型來刻畫.假設τi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約時間，定義違約指示過程，其中Hi是這三個違約過程生成的信息流.即，其中以及σ－域流，對所有t∈R＋.ht包含了這份合約是否終止的所有信息.假設其中為市場上所有可知信息.假設τi是Gt-停時，即事件（τi≤t）（i＝1，2，3）屬 于σ－域 流Gt.所 以τi是 概 率 空 間 （Ω，Gt，｛Gt｝t≥0，P）上的隨機時間，其中P是風險中性概率.

在標準CDS基礎上考慮多交易對手，其他條件不變.如保費是定期支付，賠付在違約發(fā)生時，剩余保費將在下個支付日支付.合約到期日為T，參考貸款面值為1.保費支付日為t1＜t2＜…＜tM＝T，M為總期數，Δt為相鄰保費支付日間隔，R1為參考公司的回收率.新的假定是：如果一個交易對手在參考公司違約之前違約，則該交易對手所擔保的比例馬上結算，而投資者與另一交易對手的合約繼續(xù).如果參考公司C在兩個交易對手之前發(fā)生違約，CDS賣方B1，B2按相應比例a1，a2進行賠付，分別為：ai（1－R1），（i＝1，2，a1＋a2＝1），則多交易對手的單名CDS合約的具體現金流如圖1所示.圖中，τ3為參考公司違約時刻，a1（1－R1）為交易對手B1的賠付，a2（1－R1）為交易對手B2的賠付.其中，R2為CDS賣方B1，B2發(fā)生違約時的回收率.

圖1 多交易對手信用違約互換現金流圖Fig.1 Cash flow of the multi-counterparties credit default swap products

1.2 含多交易對手單名CDS合約的CVA計算模型

假設r為無風險利率，U為考慮了CCR的含多交易對手的單名CDS的價值，V為不考慮CCR的含多交易對手的單名CDS的價值，λi表示第i（i＝1，2，3）公司的違約強度.如果CDS賣方Bi（i＝1，2）先于參考公司違約，買方的損失（或收益）為［8］ai（R2U＋－U－）.站在t時刻，不含CCR的多交易對手CDS合約的價值為：

其中：U＋＝max｛U，0｝，U－＝min｛U，0｝，r為無風險利率.

那么多交易對手CDS合約的CVA在t時刻的估值為

1.3 單因子CIR模型

（1）多交易對手與參考公司之間違約相關性為正相關情形

考慮利用單因子模型來建立參考公司違約與交易對手違約之間的相關性.在前言部分分析CDS的信用風險中，已經強調了利率作為宏觀經濟變量的重要性.利率不僅關系到整個國家的經濟運行，同樣對每個投資者也是十分重要的投資因素.所以利用rt表示公共因子即系統(tǒng)性風險因子，而βit（i＝1，2，3）則表示第i公司違約的特有因子即非系統(tǒng)性風險因子，得到下面的單因子模型：

式中，bi和ci都是非負常數，并且是相互獨立的隨機過程.

假設瞬時無風險利率rt和βit（i＝1，2，3）都由CIR過程驅動，即

其中κi、θi和σi是正的常數，并且滿足Feller條件是相互獨立的標準布朗運動（i＝0，1，2，3）.

（2）多交易對手與參考公司之間違約相關性為負相關情形

現在考慮參考公司與交易對手之間的違約是負相關的，即宏觀利率因素對兩者的影響是反向的.為保證所有的（i＝1，2，3）均為正，假設［8］：

其中bi和ci均為非負常數，同樣假設是相互獨立的隨機過程.這樣之間的違約相關性為正相關，而分別與之間的違約相關性為負相關的.

（3）一個交易對手與參考公司之間的違約相關性為正相關而另一個交易對手與參考公司之間的違約相關性為負相關情形

現在考慮參考公司與交易對手之間的違約有正相關的，也有負相關的情形，即宏觀利率因素對一個交易對手的影響為正，另一個為負，此時假定：

其中bi和ci均為非負常數，同樣假設是相互獨立的隨機過程.這樣之間的違約相關性為正相關之間的違約相關性是負相關的.

模型（3）中第①式含有1／rt項，其為CIR過程的倒數，滿足反 CIR過程［9］（inverse CIR process，ICIR）.

2 模型求解

本文的模型求解分為線性的和非線性的，首先解決線性問題的解.

2.1 模型的線性問題求解

2.1.1 單因子CIR模型的情形

建立了單因子CIR模型后，便可以對CVA值式（1）進行求解了.觀察式（1），求解關鍵在于求類似于的條件期望.將模型（2）代入這兩個期望表達式可化為求解 如 下 兩 個 基 本 類 型 的 期 望：和.對于形式（I）的期望，可以通過求解下面偏微分方程的 Cauchy問題其中k為常數：

偏微分方程（5）有仿射形結構解［10］.即存在函數A（t，x）和B（t，x），使得

2.1.2 單因子反CIR模型的情形

仿照文獻［9］中的方法，最后可得方程（6）的解：

2.2 模型的非線性問題求解

將式（1）寫成如下形式：

其中，W1（t）和W2（t）可以寫成和H（f（r），t；u）的函數形式，而后一部分非線性條件期望利用Feynman-Kac公式后，得到非線性偏微分方程：

3 數值分析

利用第2.2節(jié)提出的迭代方法對含多交易對手的CDS合約的CVA值進行計算，迭代的具體方法是：將有方程右端的非線性項用不考慮交易對手違約的模型解析解代替，將方程變成一個線性方程組，該問題有第2.2節(jié)中得到的封閉解，然后將此解析解再代入方程右端的非線性項.這樣反復，經過一定的迭代步數，就能得到y(tǒng)i（t）近似解，進而得到U（t）近似解.通過對結果的數值分析可得：① 驗證迭代的收斂性以及收斂速度；② 考察系統(tǒng)風險因子對含多交易對手CDS合約的CVA的影響；③ 考察含多交易對手CDS合約的CVA與合約期限的關系；④分析含多交易對手的違約相關性對CVA值的影響，并與標準CVA進行比較.

本文圖形中的基本對應參數取定如下：

3.1 單因子CIR模型的情形

圖2和表1都顯示當迭代次數n≥5時，U（t）幾乎不發(fā)生變化，說明了迭代的收斂速度非?？?即利用本文的模型計算CDS的CVA值有較高的效率.

圖2 CDS價格關于約合期限T的關系Fig.2 The relationship between CDS price and T

圖3和圖4分別顯示了含多交易對手單名CDS合約的CVA值與公共因子rt，合約期限T的關系.含多交易對手CDS合約的CVA值與合約期限正相關，且在T相對較小時CVA增長較快.這點說明，當合約期限較長時，交易對手違約的可能性增大，故

圖3 CDS價格關于利率r的關系Fig.3 The relationship between CDS price and interest rate r

圖4 CVA關于約合期限T的關系Fig.4 The relationship between CVA and T

CVA值相應增大.含多交易對手CDS合約的CVA值與利率亦正相關，利率增大時，表明整個市場收緊，違約風險加大，故CVA值也會增大；從圖中也可看出，在利率較小時，CVA變化較小，反之亦然.

圖5顯示含多交易對手CDS合約的CVA值與合約賣方中B1和B2之間相關性的關系，含多交易對手CDS合約的CVA值與交易對手之間的違約相關性為正相關.即如果交易對手之間的相關性大，一旦其中一個交易對手違約則多交易對手都違約的風險也大，故其CVA值也會大.

圖5 CVA關于交易對手違約正相關比例系數的關系Fig.5 The relationship between CVA and correlation coefficient of counterparties

圖6顯示含多交易對手CDS合約的CVA值以及標準的CDS的CVA值與交易對手和參考公司之間的違約相關性之間的關系，它們都隨著交易對手與參考公司之間違約相關性的增大而增大.這時交易對手和參考公司違約的可能性增大，故其CVA值也會增大，同時看到隨著交易對手與參考公司之間違約相關性的增大，含多交易對手CDS合約的CVA值比標準的CDS的CVA值要小.

表1 CVA迭代差值與迭代次數之間的關系Tab.1 The relationship between iteration difference of CVA and the number of iterations

3.2 單因子反CIR模型的情形

圖7顯示含多交易對手的CVA值與合約賣方中B1和B2之間違約相關性為負情形下的關系.它們違約負相關性越大，CVA值越小.這時當一方交易對手違約的可能性增大時，另一方交易對手違約的可能性反而降低，故其CVA值減小.

圖6 CVA關于交易對手與參考實體違約的正相關比例系數的關系Fig.6 The relationship between CVA and the positive correlation coefficient of counterparty and the reference company

圖7 CVA關于交易對手之間違約負相關比例系數的關系Fig.7 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparties

圖8顯示含多交易對手單名CDS合約的CVA值以及標準CDS的CVA值與交易對手和參考公司之間的違約相關性之間的關系.

當交易對手都與參考公司間的違約為負相關時，含多交易對手單名CDS合約的CVA值隨著交易對手與參考公司之間違約相關性的增大而減小，由于參考公司違約的可能性增大，則交易對手的違約可能性降低，其CVA減小.

圖8 CVA關于交易對手與參考實體之間違約的負相關比例系數的關系Fig.8 The relationship between CVA and the negative correlation coefficient of counterparty and the reference company

當兩交易對手與參考公司間的違約相關性一正一負時，含多交易對手的CVA值隨著交易對手與參考公司之間違約相關性的增大而減小.即參考公司違約可能性增大，交易對手違約可能性此長彼消，但總體降低，其CVA減小.

從圖中看出多交易對手的CDS與標準CDS的比較結果.在只要有交易對手間違約相關性一致時，標準CDS合約的CVA值比多交易對手CDS合約的CVA值要大，即此時多交易對手可以降低風險；而交易對手與參考公司違約相關不一致時，多交易對手的CDS合約的CVA值可能更大.

4 結論

本文研究了含多交易對手違約的單名CDS的CVA值的測算.通過分析考慮交易對手與參考公司之間違約的相關性，分別得到了三種不同單因子模型下CVA的計算模型，分別為多交易對手都與參考公司之間的違約相關性為正相關的情形；一個交易對手與參考公司之間的違約相關性為正相關而另一個交易對手與參考公司之間的違約相關性為負相關的情形；多交易對手都與參考公司之間的違約相關性為負相關的情形.它們的計算最終都化為非線性偏微分方程的數值解來表達.通過一個收斂速度較快的迭代算法，作了一些數值結果的分析，并且將結果與標準的單名的CDS的CVA值進行做比較分析，得到以下結果：

（1）交易對手與參考公司間違約的相關性為正時，多交易對手信用違約互換（CDS）合約的交易對手估值調整（CVA）值和標準的CDS的CVA值都隨交易對手與參考公司間違約相關性的增大而增大，同時多交易對手的CVA值比標準的CVA值要小.即當交易對手與參考公司間的違約都是正相關時，相關性將加大風險，但多交易對手將降低風險.

（2）交易對手與參考公司間違約的相關性都為負時，多交易對手CDS合約的CVA值和標準CDS的CVA值都隨著交易對手與參考公司之間違約相關性的增大而減小.即當交易對手與參考公司之間違約負相關時，相關性將降低風險.

（3）兩交易對手與參考公司間的違約相關性一正一負的CVA值比兩個都為負的CVA值要大；而標準的CVA值也比兩個都為負的CVA值要大.即當交易對手與參考公司之間違約負相關時，另加負相關的交易對手將降低風險，而另加正相關的交易對手將增大風險.

致謝：感謝Anis Ben Brahim一起參與文章的討論，并對文章提出了建設性的意見.

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