重視合情推理發(fā)展推理能力

黃寧宇

《多邊形的面積》是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，它屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。“圖形與幾何”板塊的最重要教學(xué)目標(biāo)之一就是發(fā)展空間觀念和發(fā)展推理能力。2011版《小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中更明確指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，那怎樣發(fā)展學(xué)生的推理能力呢？在教學(xué)實(shí)踐中，我做了一些嘗試和探索。

剛講完《梯形的面積》時(shí)，我出示了下題：一塊梯形田地的下底是35米，上底是25米，面積是1080平方米，這塊田地的高是多少米？本來我是想以梯形的面積公式為等量關(guān)系式列方程解答的。誰知，剛一出示這題，一只小手就高高地舉起，于是我就請(qǐng)這名學(xué)生到黑板上書寫。下面是他的解答過程：h=2S÷（a+b）=2×1080÷（25+35）=

2160÷60=36（米）。等下面的學(xué)生基本上做好了后，我問這位學(xué)生：這個(gè)公式老師又沒教過，你是怎么想到這樣來求梯形的高呢？該生回答：三角形的面積公式是S=ah÷2，要除以2。梯形的面積公式是S=（a+b）h÷2，也要除以2。老師在前面還講過了求三角形的高可以用公式h=2S÷a，所以我就猜想出用公式h=2S÷（a+b）來求梯形的高。我一聽，心中驚喜不已：學(xué)生竟然能從三角形和梯形面積公式的相同之處，由已知的求三角形的高的公式合情地推理出未知的求梯形高的公式，多強(qiáng)的推理能力啊！我連忙追問：你能不能具體推導(dǎo)出這個(gè)公式？或者你能夠用別的方法來驗(yàn)證用這個(gè)公式求出來的高對(duì)不對(duì)呢？該生說：我還可以列方程解答，設(shè)這塊田地的高是x米，根據(jù)梯形的面積公式可列方程（25+35）x÷2=1080，60x÷2=1080，x=36，求出來的高也是36米。我說：“你用兩種方法求出來的高都是36米，說明你前面猜想的公式是完全對(duì)的。你真了不起，能觸類旁通，合情地推理！”在上面的教學(xué)中，我非常重視合情推理能力的培養(yǎng)，即使學(xué)生的這些合情推理是錯(cuò)誤的，“錯(cuò)誤也是一種學(xué)習(xí)資源”。而且我認(rèn)為，合情推理和演繹推理功能不同，它們相輔相成。

班上還有兩個(gè)學(xué)生也是這樣列式的，但他們都不能具體推導(dǎo)出這個(gè)公式?？磥恚瑢W(xué)生是“心有所感觸而苦于口不能言”，不知“其所以然”。于是我干脆改變?cè)瓉淼慕虒W(xué)計(jì)劃，引導(dǎo)學(xué)生探究平行四邊形、三角形、梯形的面積公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

我先在黑板上畫好了方格圖，在方格圖中畫了一個(gè)上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，再畫了一個(gè)上底1厘米，下底5厘米，高4厘米的梯形。我問：這兩個(gè)梯形之間有什么相同的地方？學(xué)生通過觀察和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)梯形的高和面積都相等。我又問：第一個(gè)梯形的上底縮短1厘米，把這1厘米補(bǔ)到下底上，就變成了第二個(gè)梯形，它的面積沒有變是因?yàn)槭裁礇]有變？大部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)高相等的梯形，如果上底和下底的和不變，那么面積也不變。我指著第二個(gè)梯形問：如果再把上底縮短1厘米，還把這1厘米補(bǔ)到下底上，那上底變成什么？整個(gè)圖形變成什么？它的面積又是多少？在學(xué)生思考、想象和交流后，我邊畫圖邊歸納：這時(shí)梯形的上底消失了，變成了一個(gè)點(diǎn)，圖形由梯形變成了三角形，而且三角形的底就等于原梯形上底和下底的和，高就是原梯形的高，所以三角形的面積會(huì)等于梯形的面積。我再次追問：在高相等時(shí)，什么情況下三角形的面積會(huì)等于梯形的面積？對(duì)照后兩個(gè)圖形及三角形面積公式S=ah÷2、梯形面積公式S=（a+b）h÷2，學(xué)生紛紛發(fā)言，說：只要三角形的底會(huì)等于梯形上底和下底的和，面積就會(huì)相等。我趁機(jī)又問：那三角形可以看做是上底為幾的梯形？也就是梯形的上底是幾時(shí)，梯形的面積公式和三角形的面積公式可以合二為一，相互通用？經(jīng)過上面的學(xué)習(xí)和思考交流，學(xué)生很自然地想到三角形可以看做是上底為0的特殊梯形，這樣兩個(gè)面積公式實(shí)質(zhì)上就可以用一個(gè)公式S=（a+b）h÷2來表示。因此，求三角形高的公式h=2S÷a也就是求梯形高的公式h=2S÷（a+b）的特殊情形，兩者實(shí)質(zhì)上也是同一個(gè)公式。所以，上面那位學(xué)生的猜想是完全對(duì)的，他是從特殊推向一般！

那梯形與平行四邊形的面積公式之間又有什么關(guān)系呢？同樣一個(gè)上底2厘米，下底4厘米，高4厘米的梯形，把下底的1厘米移補(bǔ)到上底，那上底就與下底相等，都是3厘米，梯形就變成了一個(gè)平行四邊形。從上面的學(xué)習(xí)可知，梯形的面積會(huì)等于平行四邊形的面積，也就是說平行四邊形的面積其實(shí)也可以用（上底+下底）×高÷2來計(jì)算，特別是平行四邊形的上底等于下底，（上底+下底）÷2就等于底，而高不變，即S=（a+b）h÷2=（a+b）÷2×h=ah，而S=ah就是平行四邊形的面積公式。因此，平行四邊形的面積和梯形的面積都可以用S=（a+b）h÷2來計(jì)算。

這樣，平行四邊形、三角形、梯形的面積公式都可以用S=（a+b）h÷2來表示，而長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，自然它們的面積都可以像梯形一樣，用S=（a+b）h÷2來計(jì)算。在這節(jié)課中，我將這些零散而又相關(guān)的知識(shí)梳理成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，豐富了學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)知識(shí)的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，發(fā)展了學(xué)生的思維。

總之，在課堂教學(xué)中我們要重視合情推理，培養(yǎng)學(xué)生在解決問題中直觀地、合情地獲得一些結(jié)果的意識(shí)，切實(shí)提高學(xué)生的推理能力。因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的根本，是得到新結(jié)果的主要途徑。

（作者單位：江西省金溪縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）