基于響應(yīng)面法的斜拉橋靜力體系可靠度

王 達(dá)，唐 浩，2

斜拉橋以其合理的結(jié)構(gòu)形式、優(yōu)美的外觀及經(jīng)濟(jì)的造價(jià)等特點(diǎn)得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，成為大跨度橋梁的主要選型之一。在運(yùn)營期間，由于拉索銹蝕、混凝土碳化、汽車超載以及不可預(yù)見的自然災(zāi)害等因素的影響，該類橋梁結(jié)構(gòu)的安全儲(chǔ)備將會(huì)逐漸降低，其安全性引起了人們的重視。目前，主要采用有限元等確定性分析方法，對該類橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行安全分析。然而，實(shí)際工程存在諸多隨機(jī)因素，如：混凝土主梁的容重和彈性模量等參數(shù)的隨機(jī)性、斜拉索的材料變異性及索力的誤差等，常規(guī)的確定性分析理論與方法不再適用于隨機(jī)因素作用下大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土（The prestressed concrete，簡稱為PC）斜拉橋的安全分析。

以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)可靠度方法在考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)與荷載隨機(jī)性的安全評估中得到了應(yīng)用和發(fā)展。陳鐵兵［1］基于響應(yīng)面法（The response surface method，簡稱為RSM），分析了考慮結(jié)構(gòu)幾何非線性和參數(shù)隨機(jī)性的斜拉橋在正常使用極限狀態(tài)下的可靠度。程進(jìn)［2］對比了拉索垂度效應(yīng)、梁柱效應(yīng)及大位移效應(yīng)等幾何非線性因素對靜力可靠度的影響。然而，斜拉橋由斜拉索、主梁、索塔及輔助墩等多種構(gòu)件和多種材料組成的超靜定結(jié)構(gòu)體系。在隨機(jī)因素作用下，其失效模式較多，如：主梁彎曲失效、拉索強(qiáng)度失效及主梁跨中位移超限失效等，且單一的構(gòu)件破壞并不致使結(jié)構(gòu)體系的失效，結(jié)構(gòu)體系表現(xiàn)出明顯的失效歷程。應(yīng)用結(jié)構(gòu)體系可靠度，可解決該類問題。劉揚(yáng)［3］采用改進(jìn)的β約界法，對一座跨徑為460m的PC斜拉橋進(jìn)行了施工期體系可靠度分析，構(gòu)建了混凝土斜拉橋的主要失效樹。但目前針對斜拉橋在運(yùn)營期間的體系可靠度研究較少。

RSM以其對隱式功能函數(shù)重構(gòu)的能力在結(jié)構(gòu)可靠度分析中得到了廣泛的應(yīng)用，然而，在體系可靠度方面的應(yīng)用較少。由于RSM可以給出結(jié)構(gòu)的顯式功能函數(shù)，由此得到各功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)，因此可基于RSM對斜拉橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行體系可靠分析。作者擬建立斜拉橋結(jié)構(gòu)體系可靠度的數(shù)學(xué)模型，提出基于RSM的體系可靠度分析方法。以一座主跨420m混凝土斜拉橋?yàn)楣こ瘫尘埃归_體系可靠度分析，以期得出斜拉橋在隨機(jī)荷載作用下混凝土斜拉橋的主要失效路徑。

1 斜拉橋結(jié)構(gòu)體系可靠度的數(shù)學(xué)模型

斜拉橋單個(gè)構(gòu)件的失效概率計(jì)算和結(jié)構(gòu)失效共（k－1）個(gè) 單 元 逐 個(gè) 失 效，Er（11），Er（22／）r1，…，E（k－1）rk－1／r1，r2，…，rk－2分別表示每個(gè)單元的失效事件。在第k階段的失效過程中，單元rk的失效事件為E（k）r1k／r1，r2，…，rk－1。定義P（E（k）rk／）為失效事件E（k）rk／發(fā)生的概率，則其可靠指標(biāo)為：路徑的構(gòu)建是斜拉橋體系可靠度分析的兩個(gè)研究方面。與梁式橋相比，斜拉橋的功能函數(shù)是高次非線性的隱式函數(shù)，多個(gè)失效模式間具有一定的相關(guān)性。因此須基于失效概率計(jì)算和結(jié)構(gòu)失效路徑兩個(gè)特征來建立其體系可靠度的數(shù)學(xué)模型。

1.1 結(jié)構(gòu)體系的失效準(zhǔn)則與搜索策略

Bruneau［4］采用主梁彎曲失效后增加塑性鉸的方式實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)換的方法，對一座斜拉橋主梁的14種失效模式進(jìn)行了分析。在實(shí)際工程應(yīng)用中，若考慮到所有主梁的塑性鉸，必然會(huì)有無數(shù)的失效路徑，增加了體系可靠度分析的難度。事實(shí)上，斜拉橋主梁塑性鉸的出現(xiàn)已經(jīng)影響到斜拉橋的使用性能，即可認(rèn)為結(jié)構(gòu)體系的失效。另一方面，若索塔的某一截面形成塑性鉸，也可認(rèn)為結(jié)構(gòu)體系失效。因此，本研究以主梁和主塔截面出現(xiàn)塑性鉸的形式來判斷結(jié)構(gòu)體系的失效。

目前，廣泛使用的失效模式搜索策略為Thoft－Christensen［5］提出的β約界法。假定：由n個(gè)單元組成的結(jié)構(gòu)體系中，有r1，r2，…，rk－1

若定義β（mkin）＝min（βr（kk／）），則候選單元的條件為：

針對預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，斜拉索失效后，直接刪除失效單元，在混凝土主梁和索塔失效后，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)體系失效。

1.2 主要失效模式的極限狀態(tài)方程

承載能力極限狀態(tài)下，斜拉橋分別由斜拉索的強(qiáng)度破壞和主梁塑性鉸兩種失效模式產(chǎn)生。由于索塔和主梁存在著較大的軸力，并直接影響其極限承載力，因此，應(yīng)按壓彎構(gòu)件考慮。這兩類失效模式的功能函數(shù)分別為：

式中：X為隨機(jī)變量；m和n分別為可能發(fā)生彎曲失效和拉索強(qiáng)度失效的單元數(shù)量；Piu和Miu分別為主梁或索塔第i個(gè)截面的軸力抗力和彎曲抗力；Pi（X）和Mi（X）分別為主梁或索塔第i個(gè)截面的軸力和彎矩作用效應(yīng)值；Tju為第j根斜拉索的強(qiáng)度；Tj（X）為第j 根斜拉索的索力；Pi（X），Mi（X），Tj（X）和u（X）均為具有高次非線性的隱式函數(shù)，可以通過本研究提出的響應(yīng)面法求解。

2 斜拉橋體系可靠度分析方法

考慮到斜拉橋可靠度模型的特點(diǎn)和影響結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)的因素非常復(fù)雜，隨機(jī)變量的輸入與輸出之間的關(guān)系是高度非線性的，在進(jìn)行可靠度分析時(shí)，往往不能給出功能函數(shù)的明確表達(dá)式。在計(jì)算這類復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度時(shí)，采用一次二階矩陣法求解存在困難。而采用 Monte－Carlo抽樣（MCS）無法直接求解失效概率較低的工程結(jié)構(gòu)的可靠度。其次，斜拉橋具有高次超靜定結(jié)構(gòu)，其失效路徑較為繁雜，構(gòu)建完整的失效樹較困難，且體系失效概率難以求解。針對這類問題，本研究擬采用基于二次序列響應(yīng)面法和寬界限法，對斜拉橋進(jìn)行體系可靠度分析。

2.1 結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度求解

Bucher［6］最早提出了二次序列響應(yīng)面法，然后將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的可靠度分析中。二次序列響應(yīng)面法應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度分析中的優(yōu)點(diǎn)是：具有將隱式功能函數(shù)顯示化的能力，即可采用顯式的函數(shù)表達(dá)式來表達(dá)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)?；诙涡蛄许憫?yīng)面法的優(yōu)點(diǎn)，本研究擬將其應(yīng)用于斜拉橋結(jié)構(gòu)體系可靠度中。其基本思路為：采用二次序列響應(yīng)面方法，構(gòu)建斜拉橋各個(gè)構(gòu)件的隱式功能函數(shù)，然后由約束優(yōu)化的方式搜索驗(yàn)算點(diǎn)，反復(fù)迭代，求解可靠指標(biāo)。不含交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為：

式中：xi為第i個(gè)隨機(jī)變量；a，bi和ci均為待定系數(shù)（待定系數(shù)可能過2n＋1個(gè)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)求解）。

得出顯式的響應(yīng)面函數(shù)后，即可采用約束優(yōu)化方式求解可靠指標(biāo)。優(yōu)化函數(shù)為：

式中：xi為第i個(gè)隨機(jī)變量；μ′xi和σ′xi分別為隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化后的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

基于RSM和有限元方法，結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)求解步驟［7］為：

1）根據(jù)結(jié)構(gòu)有限元模型內(nèi)力分析結(jié)果，選取主要失效模式。

3）通過有限元方法，求解樣本點(diǎn)處的功能函數(shù)樣本值。

4）解線性方程組，得2n＋1個(gè)待定系數(shù)，由此得到響應(yīng)面函數(shù)。

5）采用式（7）的約束優(yōu)化方法，求得驗(yàn)算點(diǎn)x＊（k）和可靠指標(biāo)β（k）。

6）驗(yàn)證β（k）是否滿足計(jì)算精度，若不滿足精度，則采用插值方式，得到新的驗(yàn)算點(diǎn)。

2.2 結(jié)構(gòu)體系可靠度求解

在獲得構(gòu)件可靠度后，即可通過串、并聯(lián)關(guān)系得到體系可靠指標(biāo)。根據(jù)斜拉橋結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)，當(dāng)主梁和索塔彎曲失效后，即認(rèn)為結(jié)構(gòu)體系失效；當(dāng)拉索失效后，直接刪除失效單元，進(jìn)入下個(gè)階段分析，直至結(jié)構(gòu)體系失效。

通過分析主要失效模式并構(gòu)建失效樹［7］，得出連續(xù)剛構(gòu)橋在運(yùn)營期間的體系可靠度。然而，與連續(xù)剛構(gòu)橋型相比，斜拉索在外界荷載作用下的失效路徑更為繁雜。因此，在高效構(gòu)建失效樹方面，應(yīng)做更多的研究工作。結(jié)構(gòu)體系失效事件Es是由m 個(gè)獨(dú)立的失效模式Ei（i＝1，2，…，m）導(dǎo)致的，Ei包含Eji（j＝1，2，…，n）共n 個(gè)相繼失效狀態(tài)。則體系可靠度表示為：

由式（8）可知，單個(gè)失效模式由各失效狀態(tài)并聯(lián)而成，而體系失效則由各失效模式串聯(lián)而成。由于失效模式間具有一定的相關(guān)性，因此應(yīng)分析各失效模式間的相關(guān)系數(shù)?？紤]失模式間的相關(guān)性，在構(gòu)建失效樹時(shí)應(yīng)將相關(guān)性高的失效狀態(tài)歸為一類，并選擇最易失效的失效狀態(tài)作為代表。針對寬界限法中存在的問題，采用Ditlevsen［8］提出的窄界限法，兩個(gè)失效模式聯(lián)合失效的可靠度為：

式中：σij為兩個(gè)失效模式間的相關(guān)系數(shù)。

式中：ai和aj分別為兩個(gè)功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的方向余弦。

由式（5）和式（6）可重構(gòu)出斜拉橋主要失效模式的功能函數(shù)表達(dá)式可靠指標(biāo)；然后由式（10）計(jì)算兩個(gè)功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)，并得出相關(guān)系數(shù)矩陣；最后由式（9）和式（11）可得出斜拉橋的體系可靠指標(biāo)。

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

合江長江二橋是瀘渝高速公路上一座主橋跨徑布置為210＋420＋210m的剛構(gòu)體系雙塔混凝土斜拉橋（如圖1所示）。用C60混凝土作為主梁材料，用C50混凝土作為主塔材料，用鋼絞線做斜拉索，每個(gè)塔均有34對拉索。橋面寬30m，雙向六車道，公路－I級汽車荷載。

圖1 合江二橋橋型布置及構(gòu)件編號（單位：cm）Fig.1 The general arrangement diagram and series number of the second Hejiang Bridge（unit：cm）

從圖1中可以看到各失效模式的關(guān)鍵失效位置編號。主梁單元編號為GBA1～GBA34，GBJ1～GBJ34，GNJ1～GNJ34和GNA1～GNA34；拉索單元編號為CBA1～CBA34，CBJ1～CBJ34，CNJ1～CNJ34和CNA1～CNA34；索塔單元編號為T1～T6。

鋼絞線的屈服強(qiáng)度為σb＝1 860MPa。運(yùn)營期的汽車荷載簡化為中跨的均布荷載。隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表1。

3.2 失效模式及相關(guān)參數(shù)

針對該斜拉橋具有隱式功能函數(shù)問題，要識別其主要失效模式和失效路徑。與主梁和索塔等構(gòu)件相比［9］，斜拉索具有較低的可靠指標(biāo)，斜拉橋的可靠指標(biāo)如圖2所示。

由圖2可知，可靠指標(biāo)較低的斜拉索編號為CBA34和CBA33，其可靠指標(biāo)分別為βCBA34＝4.84，βCBA33＝5.02，其響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式分別為：

表1 合江二橋隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 1 Statistic parameters of random variables for the second Hejiang Bridge

圖2 斜拉索可靠指標(biāo)Fig.2 Reliability index of cables

由式（10）可得出式（12）和式（13）相關(guān)系數(shù)為ρCBA34－CBA33＝0.93，其失效模式為高級相關(guān)，因此，選擇CBA34為失效路徑的第一層。在進(jìn)行第二級失效路徑搜索時(shí)，刪除CBA34斜拉索。然后根據(jù)主梁和索塔的內(nèi)力變化構(gòu)建失效樹，第二級失效路徑構(gòu)建時(shí)，主梁的可靠指標(biāo)如圖3所示。

圖3 刪除CBA34號斜拉索后主梁的可靠指標(biāo)Fig.3 Reliability index of girders under the failure of cables with series of CBA34

由圖3可知，當(dāng)CBA34號斜拉索失效后，塔梁交界處的主梁GBJ1和跨中主梁GBJ34的可靠指標(biāo)最低，其可靠指標(biāo)分別為βGBJ1＝6.34，βGBJ34＝6.17。因此，篩選該兩個(gè)單元為候選失效單元。由于GBJ1號主梁為負(fù)彎矩失效，而GBJ34為正彎矩失效，因此該兩個(gè)失效模式的相關(guān)性為低級相關(guān)。選取GBJ34號主梁的彎曲失效為代表失效模式。由此構(gòu)建出的GBJ34號主梁彎曲失效的響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式為：

由式（10）可得出式（12）和式（14）的相關(guān)系數(shù)為ρCBA34－GBJ34＝0.65，其相關(guān)性為低級相關(guān)。由式（9）和式（11）可得出由CAB34斜拉索強(qiáng)度失效后GBJ1號主梁和GBJ34號主梁彎曲失效這兩條失效路徑導(dǎo)致斜拉橋結(jié)構(gòu)體系失效的可靠指標(biāo)為βs＝4.69。

通過分析可知，影響斜拉橋體系可靠度的主要參數(shù)為主梁和斜拉索的彈性模量、主梁（標(biāo)準(zhǔn)段）的容重、主梁（標(biāo)準(zhǔn)段）和斜拉索的截面面積、主梁的容重和慣性矩、橋面二期恒載及汽車荷載，其他參數(shù)對可靠指標(biāo)的影響較小，在響應(yīng)面函數(shù)中已被略去。斜拉索端索的可靠指標(biāo)與結(jié)構(gòu)體系的可靠指標(biāo)較為接近，斜拉索的安全性直接影響到斜拉索結(jié)構(gòu)體系的安全性，因此，在運(yùn)營期間，應(yīng)對斜拉索進(jìn)行定期檢測和安全評估。

4 結(jié)論

針對斜拉橋靜力體系可靠度分析中隱式功能函數(shù)重構(gòu)和多種失效模式的特點(diǎn)，提出了一種基于響應(yīng)面法的體系可靠度分析方法，并應(yīng)用于主跨為420m的混凝土斜拉橋的體系可靠度分析。得出的結(jié)論為：

1）采用響應(yīng)面法，得出斜拉橋多種失效模式的顯式功能函數(shù)；然后，基于該顯示功能函數(shù)，即可得到多種失效模式間的相關(guān)系數(shù)；最后，通過窄界限法，估算出體系的可靠指標(biāo)，將響應(yīng)面法成功地應(yīng)用于斜拉橋體系可靠度分析中。

2）影響斜拉橋體系可靠度的主要參數(shù)為主梁和斜拉索的彈性模量、主梁（標(biāo)準(zhǔn)段）的容重、主梁（標(biāo)準(zhǔn)段）和斜拉索的截面面積、主梁的容重和慣性矩、橋面二期恒載及汽車荷載，其他參數(shù)對可靠指標(biāo)的影響較小。

3）斜拉索是影響斜拉橋體系可靠度的主要構(gòu)件，斜拉索端索的可靠指標(biāo)較低，且與斜拉橋的體系可靠指標(biāo)較為接近。

4）混凝土斜拉索的兩個(gè)主要失效路徑分別為斜拉索端索失效導(dǎo)致塔梁交界處主梁負(fù)彎矩失效和跨中主梁的正彎矩失效。

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