勾股定理靚出面積關(guān)系

李顯國

摘要：在初中數(shù)學(xué)中，勾股定理是一個重要的定理，前人對其做過無數(shù)的研究，也取得了顯著的成果。在本文中，筆者主要通過對勾股定理的證明及應(yīng)用展示勾股定理的美，同時靚出勾股定理與面積之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：勾股定理；多邊形；面積關(guān)系

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0146

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的一個重要定理，2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，但在眾多的證明中，主要是以面積的變化進行證明。筆者通過勾股定理的證明發(fā)現(xiàn)了“以直角三角形的各邊為邊長做邊數(shù)相同的正多邊形之間的面積關(guān)系”。

一、勾股定理的證明

1. 將4個全等的非等腰直角三角形拼成一個大的正方形。

由圖可知：（a+b）2-■ab·4=c2

a2+2ab+b2-2ab=c2

即：a2+b2=c2

也就是說：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即勾股定理。

2. 如圖將4個全等的直角三角形拼成一個大正方形

由圖可知：c2-■ab·4=（a-b）2

c2-2ab=a2-2ab+b2

即：a2+b2=c2

這樣又得到了勾股定理的另一種證明方法。

3. 如圖將兩個全等的直角三角形拼成如圖的梯形

由圖可知：■（a+b）2-■ab·2=■c2

■a2+ab+■b2-ab=■c2

即：a2+b2=c2

以上是勾股定理的3種證明方法，實際上勾股定理的證明到目前已有3000多種。

二、勾股定理的應(yīng)用

下面我們利用勾股定理說明以三角形的三邊長圍成的正多邊形的面積之間的關(guān)系。

1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正三角形，求證S2+S3=S1。

如圖做三角形S2的高h，因為S2是以b為邊的等邊三角形，易得

h=■b，S2=■·b·■b=■b2

同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根據(jù)勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1

即：S2+S3=S1

2. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正四邊形，求證S2+S3=S1。

證明：∵S2=b2，S3=a2，S1=c2

根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2

∴ S2+S3=S1

3. 如圖以直角三角形的三邊為邊長做正五邊形，

求證： S2+S3=S1。

證明：如圖連接正五邊形的中心O與一邊端點的連線構(gòu)成一個等腰三角形，并做出等腰三角形底邊上的高h，

∵cotα=■，∴h=■cotα，

∴S1=■c·■cotα·5=■c2·cotα，

同理：S2=■b2·cotα，S3=■a2·cotα，

∴ S2+S3=■b2·cotα+■a2·cotα=■cotα（b2+a2）

由勾股定理得：a2+b2=c2，∴S2+S3=■cotα·c2=S1

即： S2+S3=S1

依次類推：以直角三角形的三邊為邊長做正n邊形時，S2=■b2·cotα，S3=■a2·cotα，S1=■c2·cotα，根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα·c2=S1

即：S2+S3=S1

通過上面的證明我們可以得到“以任意直角三角形的三邊為邊長做邊數(shù)相等的正多邊形，以斜邊邊長為邊的正多邊形的面積等于以直角邊邊長為邊的兩正多邊形的面積之和?！?/p>

同樣我們還能得到以“任意直角三角形的三邊為直徑做半圓（或圓），以斜邊邊長為直徑的半圓（或圓）的面積等于以直角邊為直徑的兩個半圓（或圓）的面積之和”。

下面我們來看證明：

已知：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，分別以a，（上接第146頁）b，c為直徑做半圓。

求證：S2+S3=S1

證明：∵S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2

∴S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，

即：S2+S3=S1

通過上面的推理、證明，充分展現(xiàn)了勾股定理的另一種美，也靚出了勾股定理與面積之間的關(guān)系。

（作者單位：陜西省安康市嵐皋縣城關(guān)中學(xué) 725400）