解析法設(shè)計(jì)階梯型變幅桿可靠性研究＊

蔡耀中，吳立群，楊賢龍

（杭州電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

0 引言

超聲變幅桿是連接換能器和工具的過(guò)渡元件，在不考慮工具負(fù)載的情況下，變幅桿的振動(dòng)問(wèn)題實(shí)際上是在換能器輸出端機(jī)械信號(hào)諧響應(yīng)下的受迫振動(dòng)問(wèn)題。根據(jù)振動(dòng)理論，要得到工具端面最大的振動(dòng)幅值，應(yīng)使得設(shè)計(jì)的變幅桿固有頻率和工作頻率相同，也即使得變幅桿在工作中達(dá)到諧振狀態(tài)［1］。目前，超聲變幅桿的設(shè)計(jì)主要采用解析法，這種方法雖然物理意義明確，但是這種方法設(shè)計(jì)出來(lái)的變幅桿往往需要修正，以往確定變幅桿的固有頻率通常采用試驗(yàn)的方法，比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力。有限元法是把具有無(wú)限多自由度的彈性連續(xù)體離散為只有有限個(gè)自由度的單元幾何體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問(wèn)題，這樣只需要通過(guò)有限元分析就能發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)是否合理，同樣也可以驗(yàn)證解析法設(shè)計(jì)的是否可靠。本文利用ANSYS Workbench 12.1對(duì)某一應(yīng)用的階梯型超聲變幅桿進(jìn)行了模態(tài)分析，提取了變幅桿的固有頻率，并比較了其與設(shè)計(jì)頻率的差值，利用諧響應(yīng)分析對(duì)變幅桿的輸出位移和應(yīng)變情況進(jìn)行了分析，以進(jìn)一步驗(yàn)證其可靠性。

1 階梯型變幅桿解析法設(shè)計(jì)

本文主要研究的是來(lái)源于某課題中的一種階梯型變幅桿，變幅桿的材料為40Cr鋼，主要參數(shù)為：彈性模量E＝200 GPa，泊松比γ＝0.3，密度ρ＝7 800 kg／m3，疲勞極限［σ］＝300 MPa。變幅桿工作頻率為f＝30 k Hz，放大系數(shù)為Mp＝3.24，大、小端半徑分別為R1＝20 mm、R2＝11 mm。選擇變幅桿中點(diǎn)處為節(jié)點(diǎn)，考慮固定需要，在節(jié)點(diǎn)附近設(shè)計(jì)了厚為2 mm的法蘭盤(pán)，變幅桿中部的Φ3 mm小孔是為了課題需要。經(jīng)解析法［2］計(jì)算得到的變幅桿尺寸如圖1所示。

2 用Workbench12.1對(duì)變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析

2.1 模態(tài)分析

在Workbench12.1模型樹(shù)中選擇Model分析模塊［3］，導(dǎo)入用Solid Works建立的變幅桿模型，新建變幅桿的材料為40Cr，并添加給模型。網(wǎng)格劃分尺寸采用默認(rèn)設(shè)置，得到的模型網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖2所示。在分析求解設(shè)置過(guò)程中，設(shè)置求解頻率區(qū)間為15 k Hz～35 k Hz［4］，求解的階數(shù)為10階，考慮具體情況在法蘭盤(pán)處施加完全約束，進(jìn)行模態(tài)分析，共得到8階頻率，如圖3所示。

圖1 解析法設(shè)計(jì)的變幅桿結(jié)構(gòu)尺寸

圖3 模態(tài)分析得到的各階頻率

圖2 模型網(wǎng)格劃分結(jié)果

選擇與設(shè)計(jì)頻率相接近的5，6，7階進(jìn)行分析，得到如圖4所示的對(duì)應(yīng)階數(shù)的振型圖。從圖4可以看出：與諧振頻率最接近的固有頻率為29 550 Hz，在此固有頻率時(shí)變幅桿的變化為縱向的振動(dòng)，符合設(shè)計(jì)的需要，同時(shí)此時(shí)變幅桿頻率設(shè)計(jì)的誤差為Δf／f＝1.8%，即與目標(biāo)值的相對(duì)偏差僅為1.8%，能滿足實(shí)際應(yīng)用需求；而在22 971 Hz和31 523 Hz時(shí)的振型均為彎曲振動(dòng)。

2.2 變幅桿的諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析用于確定變幅桿在承受隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的激勵(lì)位移時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，目的是計(jì)算出變幅桿的動(dòng)力響應(yīng)，得到位移對(duì)頻率的幅頻特性曲線及其他結(jié)果隨頻率變化的情況。對(duì)于諧響應(yīng)分析，峰值響應(yīng)發(fā)生在激勵(lì)頻率和固有頻率相等時(shí)，只有當(dāng)變幅桿的工作頻率與其固有頻率相等時(shí)，變幅桿的端面才能達(dá)到最大位移。

圖4 各階頻率對(duì)應(yīng)的振型

在Workbench中選擇諧響應(yīng)分析模塊，導(dǎo)入變幅桿的幾何模型圖，選擇變幅桿的材料為40Cr，在變幅桿法蘭盤(pán)附近添加完全約束，在變幅桿的大端面施加正弦的位移激勵(lì)［5］，幅值為9μm，諧響應(yīng)分析采用Full法，它是采用完整的系統(tǒng)矩陣計(jì)算響應(yīng)。模型建立和網(wǎng)格劃分與模態(tài)分析相同，設(shè)定強(qiáng)制頻率范圍為29 000 Hz～30 500 Hz，選擇頻率響應(yīng)的幾何體為變幅桿的小端面，得到的小端面位移－頻率響應(yīng)見(jiàn)圖5。從圖5中可以看出：在諧振頻率為29 550 Hz時(shí)小端面的位移約為28.1μm，計(jì)算放大系數(shù)Mp＝3.12，放大系數(shù)的設(shè)計(jì)誤差ΔMp／Mp為3.9%，適合實(shí)際的需要。

圖5 小端面位移－頻率響應(yīng)分布圖

為了檢驗(yàn)變幅桿所選材料是否能滿足諧振需要，所以分析了整個(gè)變幅桿在諧振頻率為29 550 Hz時(shí)的應(yīng)力分布情況，得到此時(shí)變幅桿的應(yīng)力分布，見(jiàn)圖6。由圖6可以看出：階梯變幅桿的最大應(yīng)力將在過(guò)渡面附近出現(xiàn)，這是比較符合設(shè)計(jì)的；最大應(yīng)力為229.11 MPa＜［σ］。所以，本文設(shè)計(jì)的變幅桿所選的材料也是滿足需要的。

圖6 諧振頻率為29 550 Hz時(shí)變幅桿應(yīng)力分布圖

3 結(jié)束語(yǔ)

解析法設(shè)計(jì)變幅桿是近似的，存在一定的誤差，只能作為變幅桿的初始設(shè)計(jì)，針對(duì)是否還需要進(jìn)一步修正設(shè)計(jì)，我們可以利用有限元法來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，省去通過(guò)激振試驗(yàn)進(jìn)行測(cè)量修改的過(guò)程。本文利用 Workbench模態(tài)分析法計(jì)算出變幅桿固有頻率與工作頻率之間的相對(duì)誤差，再利用諧響應(yīng)分析法分析變幅桿固有頻率時(shí)變幅桿的放大系數(shù)和最大應(yīng)力是否滿足實(shí)際需要，以此來(lái)評(píng)價(jià)解析法設(shè)計(jì)的可靠性，為變幅桿的進(jìn)一步修正提供了可供參考的科學(xué)依據(jù)。

［1］ 愈載道.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1987.

［2］ 霍樹(shù)青.耦合式超聲復(fù)合加工裝置的設(shè)計(jì)研究［D］.南京：南京航空航天大學(xué)，2009：26－34.

［3］ 許京荊.ANSYS 13.0 Workbench數(shù)值模擬技術(shù)［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2012.

［4］ 萬(wàn)德安，劉春節(jié).超聲變幅桿的模態(tài)分析［J］.機(jī)械與電子，2004（4）：10－12.

［5］ 原豐霞，張慧君，朱國(guó)良.基于ANSYS的超聲變幅桿的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.機(jī)械工程師，2004（11）：24－26.