構(gòu)造法在解初中數(shù)學(xué)競賽題中的運(yùn)用

劉海英

構(gòu)造法是一種靈活多變的運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想和解題方法，它沒有固定的模式可以套用。在解題過程中，如果學(xué)生按照定向思維解決問題卻解決不了，而構(gòu)造法能夠幫助學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真的觀察、深入的思考后，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，并最終解決問題。

一、構(gòu)造法解題的原則

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要求會解題，還要善于解題，而且在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)要遵循一定的原則。

1.相似性原則

相似性原則是指認(rèn)真觀察數(shù)學(xué)問題的條件，進(jìn)行聯(lián)想，然后判斷該問題是否和我們已解決過的，或者熟知的式子一致，通過構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型對間接解決問題。

2.直觀性原則

指的是構(gòu)造某種使條件和結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系清晰體現(xiàn)的數(shù)學(xué)形式。

3.等價(jià)性原則

指的是一種將所構(gòu)造對象滿足的條件轉(zhuǎn)換為一種和它同等的新的表現(xiàn)形式，從而使所需要的構(gòu)造在新條件下進(jìn)行。

二、解初中數(shù)學(xué)競賽題的構(gòu)造方法研究

1.構(gòu)造方程式

有些數(shù)學(xué)題可以通過構(gòu)造一個(gè)方程得到簡便的解題方法。

例1已知兩數(shù)a、b，ab≠1且2a2+1234567890·a+3=0，3b2+1234567890·b+2=0，則a2-ab+b21a2+ab+b2的值為。

解析：所求代數(shù)式的分子、分母都由a2，b2，ab組成，且a、b都不為0，我們將所求的代數(shù)式的分子、分母同時(shí)除以ab就變成了a1b-1+b1a1a1b+1+b1a，只與b1a、a1b有關(guān)。因此可以根據(jù)條件直接求出b1a或a1b的值.

另外，兩個(gè)已知等式在形式上相似，只在二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)上互換了位置，且系數(shù)均為3、1234567890和2，所以在第二個(gè)方程式兩邊同時(shí)除以b2（b≠0），第二個(gè)等式也就成了211b2+1234567890·11b+3=0。那么這個(gè)式子在形式上就跟第一個(gè)式子相一致。由此可以聯(lián)想出利用根的定義構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程2x2+1234567890·x+3=0，a，11b是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根，且ab≠1，所以根據(jù)韋達(dá)定理可知a·11b=312，將這個(gè)值代入所求代數(shù)式的變形式即可求出答案。

2.構(gòu)造代數(shù)式

某些與整數(shù)有關(guān)的整除數(shù)學(xué)競賽題例如代數(shù)式的化簡、求值等都很難從固定思維中找到解題方法，但構(gòu)造多項(xiàng)式、有理化式、遞推式等方式推出熟悉常用的數(shù)學(xué)式就可以解決難題了。

例2整數(shù)a、b、c的和是6的倍數(shù).那么，它們的立方和被6除，得到的余數(shù)是（）.

A.0B.2C.3D.不確定的

解析：根據(jù)a、b、c三數(shù)之和是6的倍數(shù)，而想要直接得出a3+b3+c3被6除的余數(shù)則難以下手，那么可以從兩者的差入手，構(gòu)造

（a3+b3+c3）-（a+b+c）=（a3-a）+（b3-b）+（c3-c）=a（a-1）（a+1）+b（b-1）（b+1）+c（c-1）（c+1），從而將問題轉(zhuǎn)化。

因?yàn)閍是整數(shù)，所以a-1，a，a+1是三個(gè)連續(xù)整數(shù)，所以a（a-1）（a+1）是2×3的倍數(shù)。

同理可得，b（b-1）（b+1）和c（c-1）（c+1）也是6的倍數(shù)，已知a+b+c是6的倍數(shù)，所以a3+b3+c3是6的倍數(shù)。因此答案為A。

3.構(gòu)造幾何圖形

對于一些題目，我們可以通過構(gòu)造所需要的圖形并借助幾何圖形的性質(zhì)來解題。

例3已知a、b、x、y為正實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，x2+y2=1。求證ax+by≤1。

解析：遇到這樣的題目，很多學(xué)生無從下手，這里只有等式，沒有其他條件，仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)，題目的未知量相加的等式結(jié)果都為常數(shù)1，那么我們可以從它們之間的關(guān)聯(lián)入手，構(gòu)造出相關(guān)圖形。

如圖，作以AB=1為直徑的⊙O，在AB兩側(cè)任意作Rt△ABC和Rt△ADB使得AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。

由勾股定理可知a、b、x、y滿足題設(shè)條件，根據(jù)根據(jù)托勒密定理可得AC·BD+BC·AD=AB·CD.又CD≤AB=1，故ax+by≤1.

總之，教師應(yīng)該充分利用構(gòu)造法幫助學(xué)生解決初中數(shù)學(xué)競賽題，給學(xué)生提供簡便易懂的解題思路，讓學(xué)生的智力和思維都能得到鍛煉。