基于Matlab的正交面齒輪設(shè)計(jì)及可視化分析

趙磊，明興祖，王偉，李曼德

（湖南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南株洲412007）

基于Matlab的正交面齒輪設(shè)計(jì)及可視化分析

趙磊，明興祖，王偉，李曼德

（湖南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖南株洲412007）

基于正交面齒輪齒面方程，利用Matlab軟件，對(duì)最大外徑系數(shù)、最小內(nèi)徑系數(shù)和最大齒寬系數(shù)與刀具齒數(shù)和傳動(dòng)比之間的關(guān)系分別進(jìn)行分析。依據(jù)齒面方程分析的結(jié)論對(duì)齒寬和齒高離散，計(jì)算出齒面各點(diǎn)坐標(biāo)，并依此繪制出全齒圖形；通過與面齒輪實(shí)物齒面的對(duì)比，證明了此離散方法所得的模型具有較高的準(zhǔn)確性。

面齒輪建模；最大外徑系數(shù)；最小內(nèi)徑系數(shù)；最大齒寬系數(shù)

0 引言

面齒輪傳動(dòng)是一種新型齒輪傳動(dòng)模式，國外研究者對(duì)此研究較早并應(yīng)用于軍事等領(lǐng)域[1]，但我國研究起步比較晚。面齒輪傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)較多，比如小齒輪為漸開線圓柱直齒輪，其軸向移動(dòng)產(chǎn)生的誤差對(duì)傳動(dòng)性能幾乎沒有影響；面齒輪傳動(dòng)比普通錐齒輪傳動(dòng)具有較大的重合度；漸開線圓柱直齒輪上無軸向力作用；面齒輪用于傳動(dòng)裝置時(shí)傳動(dòng)振動(dòng)小和噪音低等特點(diǎn)[2-3]。

在對(duì)面齒輪的研究中，無論進(jìn)行機(jī)床誤差分析、磨削熱應(yīng)力分析還是傳動(dòng)應(yīng)力分析等，都是以齒輪的基本參數(shù)如面齒輪的最大外半徑、面齒輪的最小內(nèi)半徑的數(shù)據(jù)和齒面齒廓的生成模型為基礎(chǔ)的研究。在F. L. Litvin等的研究中[4]，對(duì)面齒輪最大外徑系數(shù)、最小內(nèi)徑系數(shù)等基本參數(shù)和刀具齒數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了分析，雖然添加了個(gè)別特定傳動(dòng)比關(guān)系，但是在二維圖像中無法詳盡地觀察變化規(guī)律。在朱如鵬對(duì)面齒輪建模的研究中[5]，由Matlab得到單齒面圖形，再導(dǎo)入三維繪圖軟件進(jìn)行建模。如果因?yàn)镸atlab數(shù)據(jù)誤差較大，再進(jìn)行修改，效率會(huì)明顯下降。本文在數(shù)據(jù)分析方面添加了傳動(dòng)比與半徑系數(shù)的關(guān)系，所繪制出的三維圖像可以更直觀地得到面齒輪最大外徑系數(shù)、最小內(nèi)徑系數(shù)等基本參數(shù)與傳動(dòng)比和刀具齒數(shù)的變化關(guān)系。在Matlab中建立全齒圖像，可提高三維模型建立的效率，并在進(jìn)行三維建模前得到較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

1 齒面方程建立

1.1 工作曲面方程的建立

圖1 加工面齒輪坐標(biāo)系Fig.1The coordinate system for face-gear processing

1.2 正交面齒輪齒根過渡曲面基本方程

面齒輪的齒根過渡曲面是加工時(shí)插齒刀齒頂所形成的軌跡面[6]，用代替插齒刀齒面參數(shù)有

式中ra為插齒刀齒頂圓半徑。

再經(jīng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換可得過度曲面方程，即

在不發(fā)生根切的情況下，面齒輪的工作齒面與齒根過渡曲面會(huì)有一條公切線，這條公切線也滿足嚙合方程，因此當(dāng)時(shí)，代入嚙合方程可得到過渡曲線方程：

2 正交面齒輪的設(shè)計(jì)

2.1 面齒輪不發(fā)生根切的最小半徑的確定

根切臨界點(diǎn)為插齒刀齒頂圓與根切界限處的交點(diǎn)[7]。插齒刀齒頂圓處的參數(shù)s可以確定為

將式（4）得到的s代入方程，可以解出對(duì)應(yīng)s的值，將此處的s和的值代入面齒輪齒面方程中可以得出對(duì)應(yīng)面齒輪齒面上點(diǎn)坐標(biāo)的值，因此，面齒輪齒面不產(chǎn)生根切的最小內(nèi)徑為

應(yīng)用Matlab數(shù)值分析和三維繪圖功能，編制程序并繪制正交面齒輪最小內(nèi)半徑系數(shù)Rmin與刀具齒數(shù)s和刀具與面齒輪齒數(shù)比q2s的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 正交面齒輪最小內(nèi)半徑系數(shù)R1關(guān)系圖Fig.2The relationship diagram for orthogonal face-gear minimum inner radius coefficient R1

由圖2可知，面齒輪最小內(nèi)半徑系數(shù)Rmin與插齒刀齒數(shù)近似于線性增加的關(guān)系；在相同參數(shù)條件情況下，Rmin隨插齒刀壓力角增大而減小，減小的幅度隨刀具與面齒輪齒數(shù)比及傳動(dòng)比q2s的增大而減小。由面齒輪最小內(nèi)半徑系數(shù)的變化進(jìn)而可推知面齒輪最小內(nèi)半徑與各參數(shù)之間的關(guān)系，因?yàn)閷D中的縱坐標(biāo)Rmin的值乘上模數(shù)就是面齒輪最小內(nèi)半徑R1的值。

2.2 正交面齒輪齒頂不變尖的最大外半徑的確定

當(dāng)面齒輪發(fā)生齒頂變尖的時(shí)候[8]，齒厚方向?yàn)榱慵皒f=0，由面齒輪的生成原理可知f=-rb，將數(shù)值帶入面齒輪齒面方程可求得相應(yīng)的及

定義無量綱參數(shù)Rmax=R2/M為最大外半徑系數(shù)，Rmax為

由計(jì)算機(jī)編程繪制的正交面齒輪最大外半徑系數(shù)Rmax與刀具齒數(shù)和刀具與面齒輪齒數(shù)比及傳動(dòng)比q2s的關(guān)系如圖3所示。

圖3 正交面齒輪最大外半徑系數(shù)R2關(guān)系圖Fig.3The relationship diagram for orthogonal face-gear maximum outer radius coefficient R2

由圖3可以看出，正交面齒輪最大外半徑系數(shù)Rmax與插齒刀齒數(shù)近似于線性增加的關(guān)系；在相同參數(shù)條件情況下，Rmax隨插齒刀壓力角增大而減小，減小的幅度隨傳動(dòng)比及刀具與面齒輪齒數(shù)比q2s的增大而減小。由面齒輪最大外半徑系數(shù)的變化進(jìn)而可推知面齒輪最大外半徑與各參數(shù)之間的關(guān)系，因?yàn)閷D中的縱坐標(biāo)Rmax的值乘上模數(shù)就是面齒輪最大外徑R2的值。

2.3 正交面齒輪的最大齒寬系數(shù)

圖4 正交面齒輪最大齒寬系數(shù)關(guān)系圖Fig.4The relationship diagram for orthogonal face-gear maximum tooth width coefficient

從圖可知Cmax主要與傳動(dòng)比有關(guān)，在不同的壓力角下都是先減小后增大；刀具齒數(shù)相同時(shí)，傳動(dòng)比越小，正交面齒輪的最大齒寬系數(shù)增大。在實(shí)際使用中，實(shí)際面齒輪的齒寬應(yīng)該小于圖中面齒輪最大齒寬系數(shù)乘于模數(shù)。

2.4 正交面齒輪的設(shè)計(jì)實(shí)例

面齒輪的設(shè)計(jì)中已知參數(shù)分別為：漸開線圓柱直齒輪齒數(shù)s，模數(shù)M，齒頂高系數(shù)h*a，齒根高系數(shù)c*，分度圓壓力角和面齒輪齒數(shù)Z2。為了避免邊緣接觸，所使用插刀齒輪的齒數(shù)要比嚙合傳動(dòng)齒輪的齒數(shù)多1～3個(gè)[9]。

根據(jù)以上推導(dǎo)的公式，利用Matlab編程計(jì)算[10]，可得面齒輪的最大外半徑和最小內(nèi)半徑。本文以國內(nèi)某航空發(fā)動(dòng)機(jī)研究所加工出的面齒輪為分析對(duì)象，其主要參數(shù)如表1所示。

表1 面齒輪主要參數(shù)Table1The parameters of face-gear

在實(shí)際加工中要求加工的面齒輪內(nèi)半徑要大于面齒輪的最小內(nèi)半徑，才不會(huì)出現(xiàn)根切現(xiàn)象，加工外半徑要小于最大外半徑才不會(huì)出現(xiàn)尖頂現(xiàn)象，但由于齒的強(qiáng)度要求，外半徑比最大外半徑小很多。實(shí)際正交面齒輪的加工內(nèi)外徑分別是內(nèi)半徑為143mm，外半徑為170mm。由于加工內(nèi)半徑大于最小內(nèi)半徑，加工外半徑小于最大外半徑，所以方案可行。

3 正交面齒輪的可視化

3.1 正交面齒輪單齒可視化

由于面齒輪齒面的復(fù)雜性，要較為精確地建立模型，使用單一的三維繪圖軟件如Proe, UG是比較困難的。本文以Matlab軟件為中介，可以較為準(zhǔn)確地計(jì)算出齒面上各點(diǎn)坐標(biāo)，再把相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值導(dǎo)入相應(yīng)的三維作圖軟件中，就可以對(duì)正交面齒輪進(jìn)行建模。

首先，判斷確定參數(shù)的范圍。由圖1和漸開線圓柱直齒輪刀具齒面方程可以確定的取值范圍。由圖2可以得到知面齒輪的y,軸的范圍，面齒輪齒面方程中xf對(duì)應(yīng)于漸開線圓柱直齒輪刀具的齒寬，yf對(duì)應(yīng)于漸開線圓柱直齒輪刀具的齒厚，f對(duì)應(yīng)于漸開線圓柱直齒輪刀具的齒高，由此可以確定其相應(yīng)的取值范圍。因此只要對(duì)其中的2個(gè)方程的數(shù)值進(jìn)行離散化，就可以計(jì)算出全部的齒面坐標(biāo)。

根據(jù)表1的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過Matlab的數(shù)學(xué)建模進(jìn)行面齒輪的可視化，結(jié)果如圖5所示。

圖5 面齒輪單個(gè)齒的齒廓Fig.5The face-gear profile of single tooth

3.2 正交面齒輪三維實(shí)體模型

通過Matlab計(jì)算齒面上各點(diǎn)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入相應(yīng)的三維作圖軟件進(jìn)行建模[11]。本文以Proe為例，經(jīng)過導(dǎo)入樣條曲線、曲面擬合、實(shí)體化、陣列等過程，可得相應(yīng)的面齒輪模型，如圖6所示。

圖6 面齒輪三維實(shí)體Fig.6The 3D face-gear

本文以美國M & M公司的Sigma7齒輪測(cè)量中心對(duì)正交面齒輪齒面齒廓偏差進(jìn)行測(cè)量，可得到面齒輪實(shí)物誤差。面齒輪實(shí)物齒面偏差如圖7所示。

對(duì)建立面齒輪齒面誤差進(jìn)行分析可得面齒輪齒面齒廓誤差[12]如圖8所示。

由齒面坐標(biāo)、圖7和圖8，進(jìn)行分析比較可知：建模仿真的最大誤差為-0.0442mm；實(shí)測(cè)出的最大誤差為-0.0285mm。綜合分析兩者的數(shù)據(jù)，可知所建模型的誤差與實(shí)測(cè)誤差很接近，驗(yàn)證了本建模方法的可行性。

圖7 面齒輪實(shí)物齒面偏差Fig.7The real tooth surface deviation of face-gear

圖8 面齒輪齒面齒廓誤差Fig.8The profile error of face-gear tooth surface

4 結(jié)語

通過正交面齒輪的根切和尖頂現(xiàn)象，利用Matlab軟件計(jì)算得到正交面齒輪的最小內(nèi)半徑和最大外半徑。本文對(duì)無量綱參數(shù)Rmax, Rmin, Cmax相關(guān)的參數(shù)q2s, Zs三者之間的關(guān)系進(jìn)行分析，它們可近似為線性關(guān)系，對(duì)之后的正交面齒輪設(shè)計(jì)提供便利。在計(jì)算正交面齒輪齒面坐標(biāo)中，本文采取離散yf,f，在Matlab軟件中繪制單齒圖形，再把數(shù)據(jù)導(dǎo)入Proe軟件中，可更方便快捷地得知面齒輪齒面坐標(biāo)的準(zhǔn)確程度。在與實(shí)物對(duì)比中得到的離散yf,f所得到的面齒輪模型具備可應(yīng)用性，為之后的面齒輪數(shù)字化制造研究提供基礎(chǔ)。

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（責(zé)任編輯：申劍）

Matlab-Based Orthogonal Face-Gear Design and Visualization Analysis

Zhao Lei，Ming Xingzu，Wang Wei，Li Mande
（School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Based on the orthogonal face-gear tooth surface equation, analyzes the relationship of maximum outer diameter coefficient, minimum inner diameter coefficient and the coefficient of maximum tooth width with the cutter teeth and gear ratio by Matlab software. According to the analysis of tooth surface equation, the tooth width and tooth height are discrete, calculates the coordinates of the points of tooth surface, and then draws the whole tooth pattern; Compared with face-gear real tooth surface, proves that the model established by the discrete method has higher accuracy.

face gear modeling ；maximum outer diameter coefficient ；minimum inner diameter coefficient；coefficient of maximum tooth width

TH132. 41

A

1673-9833(2014)05-0038-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.05.008

2014-04-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51375161, 51375160）

趙磊（1989-），男，河南濮陽人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字化制造技術(shù)，E-mail：2312189378@qq.com

明興祖（1964-），男，湖南常德人，湖南工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，博士，主要從事數(shù)字化制造理論與技術(shù)方面的研究，E-mail：mxz9036@126.com