輸入延遲未知的二階對象的黃金分割控制*

胡 軍

(北京控制工程研究所，北京100190)

0 引 言

按標稱對象設計控制律，當存在輸入延遲，或輸入延遲與標稱模型不符時，控制系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定.因此，輸入延遲未知對象的控制是控制理論和工程實踐中的難題.

由于延遲環(huán)節(jié)在時間域是超越函數(shù)，在頻率域是無窮階的，帶延遲環(huán)節(jié)的控制問題研究在理論上有很大難度;而在生產(chǎn)、測量、通信以及網(wǎng)絡傳輸?shù)葘嶋H工程中，延遲現(xiàn)象是普遍存在的，延遲系統(tǒng)的控制問題始終是控制工程師所關注的問題.因此有關延遲系統(tǒng)及其控制的研究，自控制理論成為一門學科以來始終持續(xù)地在進行，形成時域和頻域兩大研究方法[1-6]，研究范圍既含連續(xù)系統(tǒng)[1-4]，也含離散系統(tǒng)[5-6].

輸入延遲對象控制問題的研究，絕大部分針對的是確定性輸入延遲，經(jīng)典的結果如 Smith補償器[7]和Dahlin算法[8]，它們都是根據(jù)被控對象的精確數(shù)學模型進行設計，一旦對象參數(shù)變化，系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定.20世紀70年代以來發(fā)展的自校正控制[5-6]，對被控對象參數(shù)進行在線估計，是解決輸入延遲控制問題的可選方法，但對延遲參數(shù)變化的適應能力有限;文獻[2]用有限階傳遞函數(shù)近似延遲環(huán)節(jié)，在此基礎上用已有方法設計控制器，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能須用原輸入延遲對象驗證.時域系統(tǒng)延遲問題的研究，主要方法是 Lyapunov-Krasovskii泛函方法和Razumikhin函數(shù)方法，它們是時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的一般方法，目前發(fā)展到用Riccati方程或線性矩陣不等式并利用 Matlab工具箱的求解方法[3].將智能控制思想引入經(jīng)典控制之中，也是改進輸入延遲對象控制性能的途徑[9].

研究未知輸入延遲條件下二階差分特征模型的控制律設計和穩(wěn)定性問題.特征模型思想是1992年由吳宏鑫提出，經(jīng)過20年來的理論工作，逐漸形成特征模型理論，并在實際中得到應用[10]，目前該理論還在發(fā)展之中.一般情況下，特征模型用慢時變(或慢變)低階差分方程描述，工程和應用研究中使用最廣泛的是二階差分特征模型[10].基于特征模型的控制律設計，需要結合吳宏鑫1981年提出并逐漸完善的全系數(shù)自適應控制理論[6]，該理論揭示線性定常系統(tǒng)差分方程系數(shù)間的關系，并根據(jù)采樣周期給出各系數(shù)的變化范圍，解決了線性反饋控制時在線參數(shù)辨識的工程可行性問題.在滿足增益約束條件下，黃金分割控制律保證了二階差分特征模型參數(shù)未知情況下的反饋穩(wěn)定性問題，解決了一般自適應控制在啟動和過渡過程中參數(shù)未收斂所遇到的控制難點.目前二階差分特征模型及其控制的研究還沒有涉及到被控對象存在輸入延遲未知的情況.

下面按照穩(wěn)定、雙積分、臨界穩(wěn)定、不穩(wěn)定的分類，研究二階差分特征模型[10]在未知輸入延遲條件下控制器的設計問題，并給出結論.

1 兩個經(jīng)典控制理論成果在未知輸入延遲應用中的啟示

考慮二階(特征)系統(tǒng)

目前在基于特征模型的控制器設計研究中，主要針對k0=0的情況.在實際工程和應用研究中，測量和控制總是或多或少地存在遲延，由于閉環(huán)控制系統(tǒng)采用測量輸出反饋，研究閉環(huán)控制時，可將所有這些遲延等效加在輸入上，因此實際對象通常k0＞0.

對差分模型的控制，最經(jīng)典的是最小方差控制[3].對象(1)在k0=0時的最小方差控制為

其中，α1、α2、β0分別是A1、A2、B0的估計，其主要的要求是.顯然，最小方差控制將閉環(huán)極點都配置到原點，這是理論上不可超越的最好結果.不過，這一理論自提出起，幾乎沒有成功的應用.本文從應對輸入遲延的角度探討這個問題，因為對延遲的魯棒性也是閉環(huán)系統(tǒng)魯棒性的一個重要方面.

對k0=0情況下的二階特征模型(1)，參數(shù)魯棒性最好的是黃金分割控制律[1]，

式中，L1=0.382，L2=0.618.

圖1 β0/B0和k0的不同取值下，閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值(黃金分割控制律)Fig.1 The maximum modulus of the closed-loop system poles with respect toβ0/B0 and k0(golden-section control law)

從圖1可以看出:①無輸入延遲條件下，即k0=0時，當β0/B0＜0.31時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.這已經(jīng)不滿足黃金分割控制要求β0/B0大于0.5的假設條件，但實際工程和應用研究中，參數(shù)估計并不一定能保證這一條件;②β0=B0條件下，k0=1時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，k0=2時閉環(huán)系統(tǒng)仍穩(wěn)定，但很接近臨界狀態(tài)，k0≥3時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定;③對任意k0，穩(wěn)定性隨β0/B0增大而變好，當β0/B0≥2時，k0=0，1，…，6，分別對應2～8階閉環(huán)系統(tǒng)，極點最大模值小于1，閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定.因為開環(huán)對象是穩(wěn)定的，β0/B0增大，反饋增益B0/β0減小，閉環(huán)極點最大模值趨向于開環(huán)穩(wěn)定極點模值.圖1是理論研究結果，實際上β0/B0的數(shù)值受到參數(shù)范圍限制，不超過B0max/B0min.

從上述分析可知，對穩(wěn)定對象，其穩(wěn)定性和魯棒性與輸入系數(shù)B0的估計值β0密切相關，而對遲延步數(shù)k0的魯棒性指標，隨β0/B0增大而變好，參數(shù)完全精確估計，不能保證對k0的魯棒性也好.在工程應用中，如果系統(tǒng)最大增益未知，或大范圍變化，或在控制啟動階段，β0很難正確估計.β0估計困難和β0/B0數(shù)值不夠大，制約了黃金分割控制律(3)對輸入延遲的適應能力.圖2給出對應的脈沖響應曲線.從圖中可以看出，k0=0，1，2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但穩(wěn)定余量和性能隨k0增大而變差，k0=3時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.

圖2 參數(shù)無差情況下，黃金分割控制律對k0的魯棒性仿真(A1=1.5，A2=-0.6，B0=0.1)Fig.2 The robustness of golden-section control law with respect to k0 with completely matching parameters(A1=1.5，A2=-0.6，B0=0.1)

對不同的A1、A2、B0，控制律適應k0的具體數(shù)據(jù)有差異，但規(guī)律是類似的.圖3給出A1=1.85，A2=-0.95，B0=0.1對應的脈沖響應曲線.從圖中可以看出，k0=0，1時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，k0=2時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.

圖3 參數(shù)無差情況下，黃金分割控制律對k0的適應性仿真(A1=1.85，A2=-0.95，B0=0.1)Fig.3 The adaptability of golden-section control law with respect to k0 with completely matching parameters(A1=1.85，A2=-0.95，B0=0.1)

綜上，最小方差控制應對延遲能力差，因其對標稱模型完全補償，標稱之外的情況完全沒有考慮;黃金分割控制應對延遲的能力不夠，因其參數(shù)設計完全針對二階系統(tǒng)，有未知延遲情況下，閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)楦唠A系統(tǒng)，穩(wěn)定性迅速變差.延遲環(huán)節(jié)的頻率特性幅值恒為1，相位滯后隨頻率增大而成比例增大，輸入有延遲的系統(tǒng)相對輸入無延遲的系統(tǒng)，其增益裕度降低[4].因此對未知輸入延遲被控對象，采用小增益反饋控制，是解決未知輸入延遲的可行方法.

2 黃金分割控制律用于開環(huán)穩(wěn)定對象的研究

本文稱式(3)為原型黃金分割控制律，在實際工程和應用研究中，根據(jù)實際情況，它產(chǎn)生一些變種.對實際工程中最常見的開環(huán)穩(wěn)定對象，一種改進的黃金分割控制律如下[1]:

一些應用將λ稱為“防零參數(shù)”[1]，實際上β0∈黃金分割控制律中無須對β0進行防零，下面將看到，對開環(huán)穩(wěn)定對象，從應對輸入遲延角度設計控制器時，λ有其特殊作用.

本文稱式(4)為λ型黃金分割控制律.采用式(4)，上一節(jié)的變?yōu)?，通?，一般取大于2B0max的λ，在范圍內(nèi)，無論β0如何，都滿足黃金分割使用條件.同時λ型黃金分割控制相對原型黃金分割控制，反饋增益變?yōu)樵瓉淼囊虼藦臋C理上有助于未知輸入延遲系統(tǒng)的穩(wěn)定.

從圖4可以看出，無論β0如何取值，k0=0，1，…，6，分別對應2～8階閉環(huán)系統(tǒng)，極點最大模值均小于1，閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定.隨β0/B0增大，反饋增益B0/(β0+λ)減小，閉環(huán)極點最大模值趨向于開環(huán)穩(wěn)定極點模值.

對式(4)和式(1)組成的閉環(huán)系統(tǒng)，特征方程為

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值隨β0/B0和k0的變化(λ型黃金分割控制律，λ=1)Fig.4 Themaximum modulus of the closed-loop system poles with respect toβ0/B0 and k0(λ type golden-section control law withλ=1)

隨β0/B0增大，閉環(huán)極點最大模值趨向于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)z2-A1z-A2=0確定的極點模值.實際上，當λ≥max(2B0max，1)時，閉環(huán)極點相對β0/B0的變化很不敏感，閉環(huán)極點對估值參數(shù)、增益以及輸入延遲的魯棒性都很好，穩(wěn)定對象的k0可以遠大于6.

圖6給出參數(shù)估計未收斂條件下，原型與λ型黃金分割控制律對開環(huán)穩(wěn)定對象的控制情況.對原型黃金分割控制律而言，各閉環(huán)系統(tǒng)隨β0/B0的增大，依次從不穩(wěn)定進入穩(wěn)定.當β0=B0時，僅能穩(wěn)定k0=0和k0=1;而采用λ型黃金分割控制律，則對參數(shù)范圍內(nèi)的β0和k0=0，1，…，6，閉環(huán)系統(tǒng)均是穩(wěn)定的.從圖中閉環(huán)極點最大模值看，λ型黃金分割控制律對應的性能也是能保證的.

黃金分割控制律對二階開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)(1)的輸入延遲適應能力與開環(huán)穩(wěn)定余量和β0/B0有關.開環(huán)穩(wěn)定余量小的，閉環(huán)系統(tǒng)適應延遲的能力也小;反之亦然.

考察單輸入單輸出連續(xù)被控對象

圖5 參數(shù)無差情況下，λ型黃金分割控制律對k0的適應性仿真Fig.5 The adaptability of λ type golden-section control law to k0 with completely matching parameters

圖6 β0/B0和k0的不同取值下，閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值(原型與λ型黃金分割控制律性能比較)Fig.6 The maximum modulus of the closed-loop system poles with respect toβ0/B0 and k0(comparison between prototype and λ type golden-section control laws)

其中，τ是未知的輸入延遲，要求將對象從零初始狀態(tài)控制到穩(wěn)態(tài)輸出值為10，控制輸入幅值不大于30000.

采用式(1)，取k0=0，即用無輸入延遲的二階特征模型作為控制器設計用模型，控制周期0.01s，按λ型黃金分割和標準全系數(shù)自適應控制方法設計控制器分別取λ=0(退化為原型黃金分割控制)和λ=1，圖7(a)、圖7(b)分別給出兩種情況在τ=0，6s，12s，18s，24s，36s，48s情況下的仿真曲線.從圖中可以看出，λ=1對輸入延遲的穩(wěn)定性和性能魯棒性遠優(yōu)于λ=0的情況.如果沒有輸入限幅，λ=0對較大的τ，會造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.

3 黃金分割控制律用于非穩(wěn)定對象的研究

3.1 雙積分環(huán)節(jié)對象

雙積分環(huán)節(jié)對象，二階特征模型為

圖7 兩種情況的階躍響應Fig.7 The step responses of two types

分別用原型、λ型黃金分割控制律(3)、(4)與(8)組成閉環(huán)系統(tǒng).對閉環(huán)極點最大模值的研究結果見圖8～9，其中λ=0對應原型.

圖8 雙積分對象的原型、λ型黃金分割控制律對應的閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值Fig.8 The maximum modulus of the closed-loop system poles for the prototype and λ type golden-section control laws of a two-integrator plant

從圖8中可以看出，對原型黃金分割控制，參數(shù)估計完全收斂(β0/B0=1)，無延遲、一步延遲、二步延遲系統(tǒng)穩(wěn)定，三步及多步延遲系統(tǒng)不穩(wěn)定;當β0/B0增大時，最多能做到三步延遲系統(tǒng)穩(wěn)定，再大的延遲系統(tǒng)不穩(wěn)定.對λ型黃金分割控制，取λ=1，能做到最多四步延遲系統(tǒng)穩(wěn)定，再大的延遲系統(tǒng)不穩(wěn)定.

圖9比較了λ分別取0、0.2、1時的閉環(huán)極點最大模值，模值小于1為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，模值越小代表收斂越快.從圖中可以看到，對于雙積分環(huán)節(jié)這類開環(huán)穩(wěn)定裕度小的對象:①λ=0，即原型黃金分割控制，對k0=0，1，相對λ型黃金分割控制，性能更好;②λ型黃金分割控制，λ=0.2，對k0=0，1，2，3，相比λ=1，性能更好;③λ型黃金分割控制，λ=0.2，對k0=2，3，4，相對原型黃金分割控制，性能更好;④λ型黃金分割控制，λ=1，能穩(wěn)定的范圍最大，對k0=4，對比其他兩種情況，性能更好;⑤k0=5，各種方法，閉環(huán)系統(tǒng)均不穩(wěn)定.

3.2 震蕩環(huán)節(jié)對象

震蕩環(huán)節(jié)對象的特征模型為其中，T為開環(huán)系統(tǒng)震蕩周期，Δt為采樣周期，對象(8)的開環(huán)極點為位于單位圓上的兩共軛復數(shù).

圖9 雙積分對象的原型、λ型黃金分割控制律對應的閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值(k0=0，1，2，3，4，5)Fig.9 The maximum modulus of the closed-loop system poles for prototype and λ type golden-section control law of a two-integrator plant(0-，1-，2-，3-，4-or 5-step delay)

圖10 震蕩環(huán)節(jié)對象的原型、λ型黃金分割控制律對應的閉環(huán)系統(tǒng)極點最大模值(k0=0，1，2，3，4，5)Fig.10 The maximum modulus of the closed-loop system poles for prototype and type golden-section λ control law of oscillation plant(0-，1-，2-，3-，4-or 5-step delay)

3.3 不穩(wěn)定對象

開環(huán)不穩(wěn)定對象的控制，其閉環(huán)穩(wěn)定性對增益估計有很強的條件，黃金分割控制要求β0/B0在0.5和2之間.

考察二階不穩(wěn)定對象特征模型，

其開環(huán)極點z1=1.0463，z2=1.0029.

對不穩(wěn)定對象(10)，分別用原型和λ型黃金分割控制律進行分析計算，結果見圖11.

從圖11可以看出，原型和λ型黃金分割控制律，在適當參數(shù)下，最大閉環(huán)可穩(wěn)定對象(9)的延遲步數(shù)k0=2，λ型黃金分割控制律對增益的魯棒性更好一些，而原型黃金分割控制律在穩(wěn)定的前提下性能更好一些.

4 結 論

對二階開環(huán)穩(wěn)定對象，原型黃金分割控制律對輸入延遲的適應能力與β0/B0具體數(shù)值相關，采用λ型黃金分割控制律能夠適應大范圍輸入延遲，對增益變化和輸入時延魯棒性好.

對二階開環(huán)非穩(wěn)定對象，λ型黃金分割控制律對增益和輸入延遲的魯棒性更好一些，而原型黃金分割控制律在閉環(huán)穩(wěn)定和較小的輸入延遲條件下，閉環(huán)性能更好一些.對非穩(wěn)定對象，在設計控制律時，應根據(jù)先驗知識，綜合考慮穩(wěn)定性和系統(tǒng)性能指標要求，優(yōu)選λ(≥0)，在確保穩(wěn)定條件下尋求性能最優(yōu).

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