電容的分?jǐn)?shù)階等效電路建模與分析*

張赟寧，秦健瑞

(1.三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌443002；2.智慧能源技術(shù)湖北省工程研究中心(三峽大學(xué))，湖北 宜昌443002)

當(dāng)前，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展和環(huán)境問題的日益突出，新能源技術(shù)得到越來越多人的關(guān)注，而在新能源的開發(fā)與應(yīng)用中[1]，電力電子技術(shù)及其相關(guān)電子器件在其中充當(dāng)重要角色。 電容作為一種重要電力電子器件，出現(xiàn)在許多電力電子電路系統(tǒng)設(shè)計中。 目前受材料及制造工藝的影響，幾乎大部分的電容元件都是非理想的，存在各種寄生參數(shù)，例如電容的等效串聯(lián)電阻(Equivalent Series Resistance，ESR)就是一種常見的寄生參數(shù)。 電容的特性受溫度、工作頻率等外部因素的影響，在精確的電路系統(tǒng)設(shè)計中，會對誤差分析和穩(wěn)定性分析帶來較大誤差，因此需要建立更加精確的等效電容模型。

基于上述情況，為更加準(zhǔn)確地描述電容的特性，多種電容模型被相繼提出。 目前，電容的模型主要可以分為三大類:等效電路模型、電化學(xué)模型和分子模型。 實際工程應(yīng)用中，通常采用的電容模型有經(jīng)典的RC 串聯(lián)等效模型[2]；Spyker R L 等人[3]考慮電容器的漏電效應(yīng)，在經(jīng)典RC 串聯(lián)模型上并聯(lián)一個等效電阻，得到電容的簡單串并聯(lián)模型；考慮電容器的阻抗特性及電容復(fù)雜的電化學(xué)結(jié)構(gòu)，提出了電容器的贗電容電化學(xué)等效電路模型[4]；考慮電容的等效串聯(lián)電阻和等效串聯(lián)電感，同時注意到高頻工作環(huán)境下電容的自諧振問題，RLC 串聯(lián)等效模型被提出[5]，該模型結(jié)構(gòu)簡單，描述了電容的基本結(jié)構(gòu)，但不能在各個頻率段都準(zhǔn)確反映電容的實際特性；電容廠商Nichicon[6]考慮電容漏電流的影響，提出改進(jìn)型的RLC 串聯(lián)等效模型，該模型在一些實際控制器電路設(shè)計中被采用；此外還有研究者認(rèn)為更復(fù)雜的、含有大量電容和電阻的等效電容模型更能準(zhǔn)確地反映電容的特性[7-8]。 可以看到的是，為了精確地反映電容的實際電氣特性，電容的等效電路模型會越來越復(fù)雜，會有更多新的電路元件和支路添加到模型中。 然而，過于復(fù)雜的模型不利于系統(tǒng)建模，模型參數(shù)數(shù)目過多也不便于辨識，不便應(yīng)用于實際電路設(shè)計時進(jìn)行可靠性、壽命評估等具體分析中。因此，有必要探索新的等效電容模型的建模方法。

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛應(yīng)用在信號處理、生物學(xué)、電化學(xué)、系統(tǒng)識別、人工智能和控制系統(tǒng)等領(lǐng)域當(dāng)中[9-11]。 目前已有研究成果表明，實際電路中的電容等電抗元件具有分?jǐn)?shù)階微積分特性并提出了電容的分?jǐn)?shù)階模型[12-15]。 文獻(xiàn)[16]利用R、C 及運放構(gòu)建出分?jǐn)?shù)階電感模型。 文獻(xiàn)[17]應(yīng)用分?jǐn)?shù)階阻抗的有理逼近原理，構(gòu)造出可以實現(xiàn)任意階次的分?jǐn)?shù)階分抗電路。 運用分?jǐn)?shù)階建立的模型更加符合電容的實際特性，模型精確度更高，更能準(zhǔn)確地反映電路中電流與電壓之間的關(guān)系。

基于以上分析，本文在電容的簡單串并聯(lián)模型的基礎(chǔ)上，考慮電容的分?jǐn)?shù)階微積分特性，借助分?jǐn)?shù)階微積分理論建立電容的分?jǐn)?shù)階等效電路模型；采用差分進(jìn)化算法辨識出模型中各個參數(shù)的數(shù)值并將該電容模型應(yīng)用于Buck 電路中進(jìn)行分析，通過計算與仿真驗證了本文提出的電容分?jǐn)?shù)階模型的正確性和有效性。

1 電容的等效電路模型

為提高電容模型的精確度，使其能更加準(zhǔn)確反映實際工作中電容的電氣特性，Spyker R L 等人提出了圖1 所示的電容簡單串并聯(lián)模型，其中，C 為電容的標(biāo)稱值；Rp模擬了電容的漏電流效應(yīng)，對電容的長期工作性能具有重要意義；Rm代表電容的等效串聯(lián)電阻，代表電容器內(nèi)部加熱時的損耗，對電容的充放電過程中尤為重要。

目前，分?jǐn)?shù)階微積分理論被廣泛應(yīng)用到工程領(lǐng)域當(dāng)中，對一些復(fù)雜的、非線性的系統(tǒng)建模有較大裨益。 考慮電容的分?jǐn)?shù)階特性，本文在圖1 所示模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建圖2(a)的分?jǐn)?shù)階等效電路模型，其中C 為電容的標(biāo)稱值，用階次α 來表示電容的分?jǐn)?shù)階特性。 其中，Cα的阻抗可表示為:

圖1 電容的簡單串并聯(lián)模型

式中:ω＝2πf 為角頻率。 由式(1)可以看到分?jǐn)?shù)階電容Cα有別于傳統(tǒng)的整數(shù)階電容，其阻抗表達(dá)式中同時含有實部與虛部。

圖2 電容的分?jǐn)?shù)階模型

由圖2(a)可得該模型的阻抗表達(dá)式為:

因此，如圖2(b)所示，可以將實際的電容分?jǐn)?shù)階等效電路模型表示為等效電容與等效串聯(lián)電阻串聯(lián)的形式。 同時，由式(2)～式(4)可知，電容分?jǐn)?shù)階等效電路模型中待辨識的參數(shù)向量為V＝[α，Rp，Rm]。

2 等效電路模型的參數(shù)辨識

參數(shù)辨識的方法有很多，常見的有最小二乘法、梯度校正法和極大似然法等。 通過分析前述模型可知，該模型為非線性系統(tǒng)，且包含分?jǐn)?shù)階次α，故很難采用傳統(tǒng)的最小二乘法原理辨識出參數(shù)。 因此，本文采用差分進(jìn)化算法來進(jìn)行模型參數(shù)的辨識。

使用分?jǐn)?shù)階等效電容模型的阻抗表達(dá)式去擬合實際電容的阻抗曲線得到等效模型的各個參數(shù)。 電容實測阻抗曲線可由精密阻抗分析儀測量得到。 對得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，截取頻率fs在100 Hz ～1 MHz范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)。

在進(jìn)行參數(shù)辨識時，同時考慮ESR 和Ceq，構(gòu)造函數(shù)ZY:

結(jié)合模型中參數(shù)的個數(shù)，選取種群規(guī)模大小為參數(shù)個數(shù)的20 倍，權(quán)重系數(shù)μ1為0.7，μ2為0.3，縮放因子取0.75，交叉概率取0.7。

選取標(biāo)稱值為10 μF 的鋁電解電容，在頻率范圍100 Hz～1 MHz 以內(nèi)，使電容分?jǐn)?shù)階等效電路模型和電容整數(shù)階簡單串并聯(lián)模型分別同電容實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到模型的各項參數(shù)數(shù)據(jù)如表1 表示。

表1 參數(shù)辨識結(jié)果

兩種模型分別與實測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的結(jié)果如圖3 所示。

圖3 擬合曲線對比情況

圖3(a)表示等效阻抗變化曲線，其中點劃線為分?jǐn)?shù)階模型的擬合情況，虛線為整數(shù)階模型的擬合情況，實線為實測數(shù)據(jù)。 由圖中所示，從整體來看，兩種模型均能較好的表示出電容實際阻抗隨工作頻率的變化，在100 Hz～1 000 Hz 頻段內(nèi)，分?jǐn)?shù)階模型與電容實際阻抗曲線比較符合，而整數(shù)階模型與電容實際阻抗曲線稍有偏差。 此外，兩種電容等效模型的阻抗值同實測值的相對誤差(Relative Error)如圖4 所示。

圖4 阻抗曲線的相對誤差

由圖4 可以看到，電容的分?jǐn)?shù)階等效模型在整個頻率段內(nèi)的相對誤差均低于16%；而電容的整數(shù)階模型在100 Hz ～10 kHz 范圍內(nèi)，相對誤差低于20%，但超出10 kHz 后其相對誤差較大。 由此，說明本文所提出的電容的分?jǐn)?shù)階等效模型能夠較好地反映電容的等效阻抗值隨頻率的變化情況。

圖3(b)表示等效串聯(lián)電阻ESR 的擬合曲線?？梢钥吹剑?00 Hz～1 MHz 整個頻率段內(nèi)，整數(shù)階模型的等效串聯(lián)電阻與電容實際的等效串聯(lián)電阻曲線有明顯偏差，擬合效果差強人意。 分?jǐn)?shù)階模型在100 Hz～100 kHz 頻段內(nèi)，與電容實際等效串聯(lián)電阻曲線稍有變差，在100 kHz～1 MHz 頻段內(nèi)擬合準(zhǔn)確度較好，只在1 MHz 處略有偏差。

兩種電容等效模型的ESR 曲線與實測曲線的相對誤差情況如圖5 所示，電容的分?jǐn)?shù)階模型在整個頻率段100 Hz～1 MHz 范圍內(nèi)，其相對誤差不超過20%，而整數(shù)階模型在低頻段和高頻段的相對誤差均較大。

由前述分析可以看到，同電容的整數(shù)階等效電路模型相比，分?jǐn)?shù)階模型僅僅是多了一個參數(shù)α，在進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合時卻表現(xiàn)出了更高的擬合精確度，且更能體現(xiàn)電容的實際工作特性。

圖5 電容ESR 曲線的相對誤差

3 實例分析

如圖6(a)所示，以Buck 電路為例，采用前述電容的分?jǐn)?shù)階等效電路模型，分析電容的等效串聯(lián)電阻對輸出紋波電壓的影響。 將圖6(a)中分?jǐn)?shù)階電容模型等效為ESR 和等效電容Ceq的串聯(lián)形式，得到圖6(b)所示的等效電路。

圖6 分?jǐn)?shù)階Buck 電路及其等效電路

當(dāng)Buck 電路工作在電感電流連續(xù)模態(tài)(CCM)時，其對應(yīng)的工作波形時序圖如圖7 所示。 在一個開關(guān)周期TS(t0～t2)內(nèi)，電路系統(tǒng)有兩種工作模式，模式1 即t0～t1時間段，為開關(guān)管S 導(dǎo)通，D 關(guān)斷；模式2 即t1～t2時間段，為開關(guān)管S 關(guān)斷，D 導(dǎo)通。

在工作模式切換瞬間，電容電流iC發(fā)生突變，產(chǎn)生ΔiC，由圖6(b)，考慮電容的ESR，ΔiC作用于ESR 和Ceq上產(chǎn)生紋波電壓。

根據(jù)文獻(xiàn)[19]計算Buck 電路輸出紋波電壓的方法，得到圖6(b)的輸出紋波電壓UP為:

選取兩組開關(guān)頻率fS＝30 kHz 和fS＝60 kHz 進(jìn)行Buck 電路的仿真分析。 其中，電路的各項參數(shù)設(shè)置為:Uin＝20 V，L ＝100 μH，RL＝10 Ω，C ＝10 μF，開關(guān)管S 驅(qū)動信號占空比為0.5。 在此參數(shù)條件下，Buck 電路工作在CCM 模式。 圖8 表示在兩組不同開關(guān)頻率下，紋波電壓UP的波形。 其中，實線為由公式(7)得到的仿真結(jié)果，點劃線為分?jǐn)?shù)階仿真曲線，虛線為整數(shù)階模型仿真結(jié)果。

圖7 時序脈沖及輸出電壓波形圖

圖8 不同工作頻率下紋波電壓仿真波形

由圖8 可以看到，本文所提的電容分?jǐn)?shù)階模型在Buck 電路中能夠較好地擬合理論計算狀態(tài)變量的變化情況。 而整數(shù)階模型的狀態(tài)變量的變化情況與理論計算狀態(tài)變量的變化情況存在較大誤差。

根據(jù)仿真波形的數(shù)值及式(7)，計算得到輸出紋波電壓值同仿真結(jié)果的對比如表2 所示。

表2 不同方案得到的輸出紋波電壓對比

由表2 可知，分?jǐn)?shù)階模型計算的輸出紋波電壓值與實測示波器仿真結(jié)果更加接近，而整數(shù)階模型計算的輸出紋波電壓與實測示波器仿真結(jié)果有較大誤差。 因此，本文提出的分?jǐn)?shù)階電容等效模型能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測Buck 電路的輸出紋波電壓值，該等效模型的可行性和有效性得到進(jìn)一步驗證。

4 結(jié)束語

本文針對整數(shù)階等效電容模型預(yù)測電容實際特性的不準(zhǔn)確性和復(fù)雜性，建立了電容的分?jǐn)?shù)階等效電路模型，并采用差分進(jìn)化算法對其進(jìn)行參數(shù)辨識，得到電容分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型同電容實測數(shù)據(jù)的擬合曲線，并將分?jǐn)?shù)階等效電路模型應(yīng)用于Buck電路進(jìn)行紋波電壓的計算。 仿真及計算結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階等效模型能較準(zhǔn)確反映電容的實際特性，對控制器等電子電路系統(tǒng)的精確設(shè)計具有重要意義。