利用泰勒展開(kāi)式解決大角度單擺周期

摘 要：在處理大角度單擺問(wèn)題時(shí)，為了解決橢圓積分，將橢圓積分利用泰勒展開(kāi)式，展開(kāi)成多項(xiàng)式，近似處理，從而獲得較精確的解。而且這種方法對(duì)非線性積分提供了很好地處理，在解決一些物理模型中很有用。

關(guān)鍵詞：大角度擺動(dòng)；橢圓積分；MATLAB；近似處理

中圖分類號(hào)：TB

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-3198（2014）11-0195-02

單擺作為大學(xué)實(shí)驗(yàn)中的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，是培養(yǎng)學(xué)生自主設(shè)計(jì)能力的重要實(shí)驗(yàn)，但是由于數(shù)學(xué)上對(duì)非線性微分方程難以解決，所以一般都采用小角度擺動(dòng)（小于5度），如果研究大于5度的情況，將會(huì)發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題，下文采用泰勒公式對(duì)橢圓積分做近似處理，并應(yīng)用MATLAB，對(duì)計(jì)算結(jié)果與精確結(jié)果進(jìn)行數(shù)值比較。

1 單擺的運(yùn)動(dòng)周期

單擺是一種物理模型，設(shè)擺球的質(zhì)量是m，擺長(zhǎng)是l，并設(shè)擺的最大擺角是α，擺球在最低端的速度是v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，但小球擺角是θ時(shí)：

綜合三張圖像可以得到三種曲線對(duì)比曲線。更加直觀的看出擬合程度。

由此可見(jiàn)：取前三項(xiàng)誤差已經(jīng)很小了，兩線基本重合，直觀看出近似解和精確解很接近。

由對(duì)比圖像可知。當(dāng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)取得越多時(shí)，其與精確解的誤差就會(huì)越小，最后達(dá)到完全吻合，說(shuō)明以展開(kāi)式為近似解完全可以擬合橢圓方程的解。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用泰勒展開(kāi)式的變形公式，將不好積的橢圓積分化簡(jiǎn)成多項(xiàng)式，達(dá)到很好地近似效果，同時(shí)充分利用MATLAB的數(shù)值計(jì)算功能和畫圖功能，輔助解決物理模型，培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新能力。

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