高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“一三一”

摘 要： 本文以一道等比數(shù)列基本量的計(jì)算題為例，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)課堂中的“一例三變一總結(jié)”教學(xué)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，并結(jié)合例題探討了在變式教學(xué)中應(yīng)遵循的原則.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 變式教學(xué) 教學(xué)應(yīng)用 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的豐富，方法的精妙，思想的深邃注定了高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可能是簡(jiǎn)單的線性結(jié)構(gòu).而在數(shù)學(xué)課堂上，如果不能根據(jù)不同情況采取變條件、變結(jié)論、變形式、變圖式等方法教學(xué)，就不能使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、歸納、整理，學(xué)生也就不能系統(tǒng)、深刻地理解所學(xué)知識(shí)，而“一例三變一總結(jié)”正是要求學(xué)生通過(guò)對(duì)例題的理解，由模仿到自己獨(dú)立思考，從不同角度循序漸進(jìn)地理解相關(guān)知識(shí)的精髓，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的滲透和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們經(jīng)常要求學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，然而我們改變舊題的過(guò)程十分粗糙、簡(jiǎn)單，大都是變換數(shù)據(jù)，變換說(shuō)法，很少對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行深加工，因此往往導(dǎo)學(xué)案上改編后的題目與課本、習(xí)題冊(cè)的題目沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，更談不上創(chuàng)新及數(shù)學(xué)思想的滲透.那如何才能進(jìn)行高質(zhì)量的變式教學(xué)呢？這就要求教師課前認(rèn)真?zhèn)浣滩?，靈活處理相關(guān)例題和習(xí)題，并注重?cái)?shù)學(xué)方法的領(lǐng)悟和數(shù)學(xué)思想的滲透，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)能力的提高有很大的促進(jìn)作用.筆者結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的一道題，談?wù)勅绾芜M(jìn)行“一例三變一總結(jié)”教學(xué)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的開(kāi)放性和創(chuàng)新能力.

例題：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，a +a =36，求數(shù)列{a }的通項(xiàng).

分析：本題是關(guān)于等比數(shù)列基本量的計(jì)算，將所有量轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a 和公比q，即可求出通項(xiàng)公式，這是最基本的數(shù)學(xué)方法.

解：設(shè)等比數(shù)列{a }的首項(xiàng)為a ，公比為q，則由題意知

a q+a q =18a q +a q =36 兩式相除，得q=2，從而a = ，

所以a =a q = ·2 ，n∈N .

小結(jié)：在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中展現(xiàn)最基本的數(shù)學(xué)方法，在具體的例題中給學(xué)生以數(shù)學(xué)方法的展示，在數(shù)學(xué)解題之中感悟領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)方法，是我們不斷追求的目標(biāo).

變式1：已知數(shù)列a 為等比數(shù)列，a +a =18，a +a =36，則a +a =？搖 ？搖.

分析：例題講解之后，很多學(xué)生看到該題會(huì)首先求解通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到a 和a 的值，計(jì)算量偏大，并且容易算錯(cuò).那對(duì)于這道填空題，有沒(méi)有簡(jiǎn)便方法呢？經(jīng)過(guò)提示，有的學(xué)生會(huì)通過(guò)觀察項(xiàng)數(shù)特點(diǎn)，利用整體替換的思想求解，過(guò)程如下.

解：設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q，則q= =2，a +a =q （a +a ）=288.

變式2：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，2（a +a ）=5a ，則a =？搖 ？搖.

分析：本題若將各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a 和公比q，則對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)計(jì)算量偏大，而且容易出錯(cuò)；若利用特殊值法，滲透從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，則方便快捷，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的靈活性.

解：令n=2，則a = （a +a ）= .

變式3：已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a +a =18，a a =36，則公比q=？搖 ？搖.

分析：本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)：m+n=p+q時(shí)，a +a =a +a ，m，n，p，q∈N ，并滲透了分類討論的思想.

解：由a ·a =a =36a +a =18知a =12a =6或a =12a =-6

又因?yàn)閝 = >0，所以a =12，a =6.

因此q = = ，q=± .

小結(jié)：變式1在例題的基礎(chǔ)上變換問(wèn)法，而變式2和變式3在例題的基礎(chǔ)上變換條件和問(wèn)題，它們從不同角度分別滲透了整體替換，從一般到特殊，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)這些數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力才會(huì)有大幅度提高.掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.

然而，在變式訓(xùn)練中，不僅要重視數(shù)學(xué)思想的滲透，而且要注重?cái)?shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用.課本是試題的基本源頭，是高考命題的主要依據(jù)，很多高考題都是在課本的基礎(chǔ)上組合、加工而成的.因此，變式題既要源于課本，又要高于課本.下面以課本中的一道習(xí)題為例進(jìn)行變式教學(xué).

例題：（人教版必修5P47習(xí)題2.3B組題4）數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和S = + + + +…+ ，研究一下，能否找到求S 的一個(gè)公式，你能對(duì)這個(gè)問(wèn)題作一個(gè)推廣嗎？

分析：本題考查了數(shù)列求和的一種常用方法：裂項(xiàng)相消法，而這種方法在高考中有著廣泛應(yīng)用.

解：數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式為a = = - ，

所以S =（ - ）+（ - ）+（ - ）+…+（ - ）=1- = .

類似地，我們可以求出通項(xiàng)公式為a = = （ - ）的數(shù)列的前n項(xiàng)和.

變式1：（2011年全國(guó)新課標(biāo)卷理）等比數(shù)列{a }的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a +3a =1，a =9a a ，

（1）求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b =log a +log a +…+log a ，求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和.

分析：（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，求出首項(xiàng)a 和公比q即可得到a = ，n∈N ；（2）問(wèn)考察了裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，解法如下：

因?yàn)閎 =log a +log a +…+log a =-（1+2+3+…+n）=- ，

所以 =- =-2（ - ）.

+ +…+ =-2[（1- ）+（ - ）+…+（ - ）]=- ，

故數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為- .

變式2：證明2 -2<1+ + +…+ <2 -1.（n≥2，n∈N ）

分析：學(xué)生一般會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明該題，但過(guò)程繁瑣，而且從n=k過(guò)渡到n=k+1的證明有一定難度；若先將通項(xiàng)進(jìn)行放縮后再裂項(xiàng)相消則降低了試題的難度.

證明：因?yàn)?= > =2（ - ）（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ >2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -2.又因?yàn)?= < =2（ - ）.（n≥2，n∈N ），所以1+ + +…+ <1+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2 -1，即不等式成立.

變式3：（2014年湛江一模理19）已知正數(shù)數(shù)列{a }中，a =1，前n項(xiàng)和為S ，對(duì)任意n∈N ，lgS ，lgn，lg 成等差數(shù)列.

（1）求a 和S ；

（2）設(shè)b = ，數(shù)列{b }的前n項(xiàng)和為T ，當(dāng)n≥2時(shí)，證明：S

分析：本題（1）問(wèn)主要利用累乘法求出a = ，n∈N 和S = ，n∈N ，而對(duì)于（2）問(wèn)，大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇用數(shù)學(xué)歸納法證明，但證明n=k+1時(shí)無(wú)從下手，因此本問(wèn)得分率較低.但是裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，為本題提供了方便，解法如下：

解：由（1）得b = = =2[ - ]，且（n+1）！>n+1，n∈N ，從而

T =2[（ - ）+ - +…+（ - ）]=2[1- ]<2，

T =2[1- ]>2（1- ）= =S .

不等式得證.

小結(jié)：例題和三個(gè)變式都是裂項(xiàng)相消法的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力及解題創(chuàng)新能力.

掌握數(shù)學(xué)的思想和方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是分析數(shù)學(xué)、處理數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方針和策略，是進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的工具.數(shù)學(xué)方法和思想的教學(xué)是提高高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，是一切數(shù)學(xué)創(chuàng)新的源泉.因此，變式題練習(xí)要力求培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟及對(duì)數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用，這樣，學(xué)生的成績(jī)才會(huì)顯著提高.

數(shù)學(xué)教學(xué)不提倡題海戰(zhàn)術(shù)，但練習(xí)題一定要做到少而精.“一例三變一總結(jié)”教學(xué)正是以此為前提，通過(guò)常規(guī)例題及融匯了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生舉三反一，不斷提高自身的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力.