授人以魚，不如授人以漁

摘 要： 等差數列是最基本、最重要的數列之一，等差數列前n項和公式的推導是需要學生掌握的。作者認為推導等差數列前n項和公式時，可以賦予其生動、鮮活的背景，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生更容易抓住數學問題的本質特征，體會探索與探究的樂趣。在實際課堂教學中，關注學情，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導學生發(fā)現問題，探索問題，解決問題，最終使各個層次的學生都得以發(fā)展。

關鍵詞： 等差數列求和 教學設想 教學反思

著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現?！痹谔岢刭|教育的今天，數學課堂教學模式在不斷發(fā)生變化，當然目的都在于鑄就高效課堂。想要實現高效課堂，就要求一線教師理解教材，并在實際課堂教學中關注學情，從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導學生發(fā)現問題，探索問題，解決問題，最終使各個層次的學生都得以發(fā)展。

等差數列是最基本、最重要的數列之一，等差數列前n項和公式的推導是需要學生掌握的。以往這節(jié)數學課教師多注重推導技巧和結果的教學，給學生一種枯燥的感覺。我認為，推導等差數列前n項和公式時，可以賦予其生動、鮮活的背景，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生更容易抓住數學問題的本質特征，體會探索與探究的樂趣。數學的魅力不僅在于嚴謹，更在于不斷發(fā)現、不斷更新、不斷驚喜的刺激與挑戰(zhàn)。

一、教學設想

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，提出問題。

問題1：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有21層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共用了多少寶石嗎？（教師用多媒體放映泰姬陵風光圖片和三角形圖案。）

（學生看到問題后開始思考、運算，不少學生快速給出了結果。）

設計意圖：通過鮮活的歷史背景引入，給本節(jié)數學課一個輕松、神秘的開端，激發(fā)學生探索的熱情。

第二環(huán)節(jié)：探索思路，體驗過程。

師：你是怎樣計算出結果的？

生1：全部加起來即可。

生2：（1+21）+（2+20）+（3+19）+…+（10+12）+11=231

師：同學們覺得，哪種方法快捷呢？你喜歡哪種方法呢？

生：第二種。

師：請同學們仔細體會這種研究方法及其特點，并給這種方法取個名字。

（生思考）

共同得出：首尾配對。

師：為什么要配對？（方法一是求21個不同數的和，方法二是求10個相同數的和再加11，“不同數”與“相同數”是這個問題的本質。相同數求和是一個簡單的問題，將“不同數求和”轉化為“相同數求和”，轉化的數學思想是推導等差數列前n項和公式的精髓。）

問題2：計算1+2+3+…+100=？

生易得：（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050，即首尾配對得到上述結果。

問題3：計算1+2+3+…+n=？

（學生經過討論可以得出，對n進行分類討論。）

當n為偶數時，1+2+3+…+n=■；

當n為奇數時，1+2+3+…+n=■（n+1）+■=■。

師：是否一定要分類討論呢？能否避開分類討論，達到“配對”的目的？

師：上面的圖形對你是否有啟發(fā)？

生：（恍然大悟）可以這樣做：

1 + 2 + 3 +… + n

+ n +（n-1）+（n-2）+…+ 1

（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）=n（n+1）

師：非常好，“倒序相加”有效地解決了這個問題。

設計意圖：這一環(huán)節(jié)的設計，主要是突破以下兩個問題，為什么要“倒序相加”？怎樣實現“倒序相加”？筆者認為這是本節(jié)課的數學本質和教學難點。通過層層遞進的問法，使得學生自己發(fā)現、總結，體會到倒序相加法的優(yōu)勢，從而得出等差數列的前n項和公式，體驗從特殊到一般的過程。

第三環(huán)節(jié)：觀察比較，得出結論。

師：你能根據前面的方法推導出等差數列的前n項和嗎？

生：等差數列求和公式：S■=■=na■+■d

聯想：

S■=■ S■=na■+■d

設計意圖：通過觀察公式S■=■的結構，類比聯想梯形的面積公式及其推導方法，從幾何角度讓學生體會“倒序相加”法，實際上借助了補形的數學思想，更進一步揭示了這一方法的數學本質，同時也便于學生記住公式。

第四環(huán)節(jié)：牛刀小試。

例1：求sin■1°+sin■2°+sin■3°+…+sin■88°+sin■89°的值

設計意圖：“倒序相加”法的再次體驗和應用。

例2：（2013年高考新課標Ⅱ卷數學（理））等差數列{a■}的前n項和為S■，已知S■=0，S■=25，則nS■的最小值為？搖 ？搖.

設計意圖：對等差數列前n項和公式的靈活運用。

二、教后反思

新課程賦予教師和學生更多自主選擇、自我發(fā)展的機會，新教材為教師和學生提供了選擇、發(fā)展的載體。教師在備課時，應合理有效地應用教材，善于從教材中發(fā)現數學問題的背景、方法、地位，努力挖掘思想的精髓，引領學生用數學的思維方法認識問題、解決問題。教師在授課時，應關注學情，考慮學生的接受能力、思維能力，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導學生成為課堂的主體，幫助學生實現自主學習。當前，關于新課程課堂上教師與學生的關系，一位前輩曾說：“教師與學生就像駕車中的主副司機，教師常常不放心我們年輕的小司機，怕他們走彎路而喋喋不休地引導，或者干脆讓他們在邊上欣賞我們嫻熟的車技，學生根本談不上獨立駕駛，結果他們永遠不敢一個人上路。”我們要相信學生，給學生思考的舞臺，給學生思考的時間，給學生表現的機會，讓學生自主探索，通過努力自己發(fā)現，生成知識體系，讓學生既能得到“魚”更能得到“漁”。

參考文獻：

[1]普通高中課程標準試驗教科書數學必修5.北京：人民教育出版社，2007.