均值不等式的幾例難點(diǎn)透析
2014-04-29 00:00:00王瀟
考試周刊 2014年20期
均值不等式是求函數(shù)最值的一個(gè)重要工具，同時(shí)也是高考?？嫉囊粋€(gè)重要知識(shí)點(diǎn).下面談?wù)勥\(yùn)用均值不等式求解函數(shù)最值的一些難點(diǎn).
羅列幾個(gè)常用且重要的均值不等式：
①a +b ≥2ab？圳ab≤ （a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立；
②a+b≥2 ？圳ab≤（ ） （a，b∈R ），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立；
③a +b +c ≥3abc？圳≤ （a，b，c∈R ），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”號(hào)成立；
④a+b+c≥3 ？圳abc≤（ ） （a，b，c∈R ），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，“=”號(hào)成立.
注：①注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”；
②熟悉一個(gè)重要的不等式鏈： ≤ ≤ ≤ .
一、乘方后使用均值不等式
常見解決方法：將所得出的正函數(shù)平方、立方……n次方，然后再使用均值不等式求解.
例1：已知θ∈（0，π），求函數(shù)y=sin （1+cosθ）的最大值.
解：θ∈（0，π），y= ·（1+cosθ）
∴y = ·（1+cosθ） = ·（2-2cosθ）·（1+cosθ）·（1+cosθ）
≤ ·[ ] = ，
∴y≤ .
當(dāng)且僅當(dāng)2-2cosθ=1+cosθ即cosθ= 時(shí)取到等號(hào)，所以y的最大值為 .
二、引參后使用均值不等式
常見解決方法：有些和（積）不為常數(shù)的函數(shù)求最值時(shí)，可通過(guò)引入?yún)?shù)后，再使用均值不等式求解.
例2：求函數(shù)y=sin x·cos x+ 的最小值
解：引入待定參數(shù)λ，μ，且λ+μ=4，則有
y= + = + +
≥2 + =2 +μ
當(dāng)且僅當(dāng) = 且sin 2x=1時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)λ= ，μ= ，所以當(dāng)sin 2x=1時(shí)，y有最小值 .
三、連續(xù)使用均值不等式
常見解決方法：有些函數(shù)在求最值時(shí)，需要幾次使用均值不等式進(jìn)行放縮才能達(dá)到目的.放縮時(shí)要保證幾個(gè)等號(hào)能同時(shí)成立.
例3：在三棱錐一個(gè)頂點(diǎn)處的三個(gè)面角都是直角，求它的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑R∶r的最小值.
解：設(shè)直角頂點(diǎn)處三條棱長(zhǎng)分別是x，y，z，那么由立體幾何知識(shí)易知
R= ，r= ，
所以 = ·（xy+yz+xz+ ）
≥ ·（3· + ）= =
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取到等號(hào)，所以R∶r的最小值是 .
四、使用不等式鏈
常見解決方法：將不等式鏈變形，或?qū)㈩}干向不等式鏈化簡(jiǎn)如將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”湊均值不等式的三個(gè)條件.
例4：已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x+2y=10，求函數(shù)w= + 的最值.
解法一：若利用不等式鏈中算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系
≤ ，則本題很簡(jiǎn)單.
+ ≤ = =2 .
解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏.
w>0，w =3x+2y+2 · =10+2 ·
≤10+（ ） ·（ ） =10+（3x+2y）=20，
∴w≤ =2
變式：求函數(shù)y= + （ 分析：觀察題干，注意到2x-1與5-2x的和為定值. 解：y =（ + ） =4+2 ≤4+（2x-1）+（5-2x）=8， 又y>0，所以0 當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=5-2x，即x= 時(shí)取等號(hào). 故y =2 . 由上述例子剖析了數(shù)學(xué)中少見的均值不等式的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)得不同，但其實(shí)質(zhì)都為“一正二定三相等”三個(gè)條件應(yīng)用的統(tǒng)一，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”. 均值不等式是一個(gè)考查學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它涉及基本初等函數(shù)的圖像，滲透轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到積極的作用.
