借助幾何直觀提高學(xué)生問題解決的能力

數(shù)學(xué)家克萊因認為：數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握。2011年版的《數(shù)學(xué)課程標準》將《數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》中“空間觀念”的具體表現(xiàn)“能運用圖形形象地描述問題，能利用直觀來進行思考”單列出來，作為幾何直觀加以闡述?？梢?，幾何直觀是利用圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，它既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著非同尋常的作用。

一、借助幾何直觀，客觀描述數(shù)學(xué)問題

幾何直觀是揭示數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)和關(guān)系的有力工具，借助幾何直觀描述和分析數(shù)學(xué)問題的過程也是發(fā)展學(xué)生空間概念的重要途徑。數(shù)學(xué)家波利亞曾這樣說過：圖形不僅是幾何題目的對象，而且對與幾何一開始沒什么關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手。從一定程度上來看，直觀的背景資料和幾何形象能為學(xué)生創(chuàng)造自主思考的機會，借助幾何圖形，能客觀描述數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生更好地理解題意，分析問題，獲得對數(shù)學(xué)的深刻理解。

如：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊《解決問題的策略——倒推》中，教師出示例1：兩杯果汁共400毫升；甲杯倒入乙杯40毫升，現(xiàn)在兩杯果汁同樣多。求原來兩杯果汁各有多少毫升？教學(xué)時，不妨借助幾何直觀，通過畫圖幫助學(xué)生描述數(shù)學(xué)問題，理解兩杯果汁容量間的變化關(guān)系（如下圖）：

兩杯果汁，原來的容量未知，從甲杯倒入乙杯后，果汁數(shù)量上發(fā)生了變化，通過直觀形象的圖示，讓學(xué)生清晰地看到乙杯此時的數(shù)量。再通過列表摘錄相關(guān)信息，學(xué)生對于求甲乙兩杯果汁原來的容量就能迎刃而解。同時，問題解決后，讓學(xué)生再次借助上面的圖示，回顧整理解題過程，明晰解題思路，想想，怎樣來驗證自己的解答是否正確？為什么要倒推？倒推時要注意什么？

一般地，數(shù)學(xué)教學(xué)活動要求學(xué)生有目的有計劃地去感知確定的對象，感知目的越明確，感官指向越集中，感知越鮮明，建立的表象越清晰。上述環(huán)節(jié)，學(xué)生借助示意圖，能充分表征問題情境，深刻理解題意，把握事件里的數(shù)學(xué)信息的內(nèi)在聯(lián)系，圖形為學(xué)生的問題解決提供了有力的支撐。對為什么要倒過去想、如何倒推這兩個關(guān)鍵問題有了充分的體驗。

二、運用幾何直觀，探索問題解決策略

從小學(xué)生的思維特點看，他們以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。因此，在進行問題解決時，教師要善于運用幾何直觀，形象地反映和揭示思考、討論問題的思路，幫助學(xué)生更好地探索問題解決的策略。

如：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊《解決問題的策略——列表》

首先，教師出示教材情境圖，指導(dǎo)學(xué)生觀察：這幅圖直接告訴我們哪些已知條件？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)有三個已知條件。

接著，圍繞問題思考：要求小華用去多少元？選擇合適的條件摘錄下來，也可以用畫圖或列表的方法。具體要求是：幫助我們一下子看清楚、看明白。

學(xué)生經(jīng)過獨立思考，動手操作，嘗試練習(xí)后，展示自學(xué)成果：

生1：（摘錄條件） 小明： 買3本 18元

小華： 買5本 ？元

生2：（畫方框圖）

生3：（畫線段圖）

在三位學(xué)生進行交流后，教師肯定學(xué)生摘錄條件和畫圖非常清楚，可以看到題目中已知的條件與所求的問題。

生4：（列表）

生4展示后，教師要求學(xué)生觀察：這張表列得怎么樣？是否摘錄了相關(guān)的已知條件和所求問題，有什么需要改進的地方嗎？

經(jīng)過師生討論，上圖修改為：

學(xué)生根據(jù)修改后的表格，似乎不難分析出數(shù)量關(guān)系，要求小華用去多少元，必須知道單價。但是單價怎么求呢？可以根據(jù)小明買的本數(shù)和總價這兩個條件就能找到。因此，很快列式計算：18÷3×5=30（元）。

問題初步解決了，教師啟發(fā)學(xué)生思考：剛才解決這個問題時，用了很多方法來整理已知條件。那么，列表對于解決這個問題有什么幫助？

學(xué)生經(jīng)過比較、討論得出：列表后能看得非常清晰，一下子找到了數(shù)量、單價、總價之間的一一對應(yīng)關(guān)系，解決問題似乎更簡單了。

該片段的教學(xué)，主要讓學(xué)生學(xué)會用多種方法整理信息，從而體驗列表作為策略的重要價值。畫圖的目的是把抽象的東西直觀地表示出來，把本質(zhì)的東西顯示出來，如上面的方框圖和線段圖。而在此基礎(chǔ)上的列表整理信息，它是策略教學(xué)的有效載體。教師借助幾何直觀，通過與用文字摘錄條件、畫圖的比較，逐步引導(dǎo)學(xué)生體驗列表整理信息的優(yōu)勢，讓學(xué)生自覺、靈活地形成整理信息的意識，掌握列表解決問題這一有效的策略。

三、依托幾何直觀，滲透數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀。小學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中，借助于幾何直觀，通過觀察與操作活動獲得并儲備了各種表象，但在解決問題時，會因為有關(guān)的表象不能及時浮現(xiàn)而茫然不知所措。這時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表述問題的文字或語言，喚起學(xué)生頭腦中相應(yīng)的表象，采用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生進行問題解決。

例如：蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》中，教材在例題1完成后，出示了一個問題：回顧一下：我們曾經(jīng)運用轉(zhuǎn)化的策略解決過哪些問題？接著，出示例題2：試一試：計算■+■+■+■。

師：請看這道計算題，有規(guī)律嗎？什么規(guī)律？會做嗎？怎么做？

生1：先通分再計算。

師：通分也是一種轉(zhuǎn)化方法，把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)，是數(shù)的轉(zhuǎn)化。但是如果按照這樣的規(guī)律寫出15個、20個這樣的分數(shù)，你覺得通分計算會怎么樣？

生2：會很麻煩。

師：還有別的方法嗎？

有學(xué)生學(xué)過奧數(shù)，想到可以轉(zhuǎn)化。

師：有沒有更簡單的方法呢？我為大家提供一幅圖，仔細看，你有什么啟發(fā)？（出示一個正方形，說明，這個正方形可以用單位1表示，并提問空白部分是多少？■）

學(xué)生思考得出：求涂色部分的面積就是求1減去空白部分的面積。

■+■+■+■=1-■=■

事實上，學(xué)生在直觀圖形的啟發(fā)下，獨立進行轉(zhuǎn)化。全班交流學(xué)生講述思考過程時，都采用了數(shù)形結(jié)合來解釋圖意，圖中的正方形表示1，■+■+■+■的和就是正方形里涂色部分的大小。其實，算式轉(zhuǎn)化正是根據(jù)“涂色部分的大小等于1減去空白部分的差”進行的。

通過本題的練習(xí)，學(xué)生慢慢體會，為什么要把原題轉(zhuǎn)化為1-■，這樣能使計算簡便。因此，該題解決后，我要求學(xué)生帶著對轉(zhuǎn)化的良好體驗完成練習(xí)十四的第一題：有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制（即每場比賽淘汰1支球隊）進行。一共要進行多少場比賽后才能產(chǎn)生冠軍？此題看起來與上面的計算題沒有什么聯(lián)系，實際上指導(dǎo)學(xué)生換個角度想一想，最終冠軍只有幾支球隊（1支），就要淘汰掉15支球隊，每淘汰一支球隊就要進行一場比賽，所以比賽的場數(shù)與淘汰的球隊數(shù)應(yīng)該相等，一共要淘汰16-1=15（支）球隊，因此，比賽的場數(shù)也就是16-1=15（場）。它的解題思路與上題都是用相同的幾何模型來表達的。

轉(zhuǎn)化是解決問題時經(jīng)常采用的方法，能把較復(fù)雜的問題變成較簡單的問題，把新穎的問題變成已經(jīng)解決的問題。而借助正方形圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法，可以使形象思維和抽象思維互助互補，直觀地呈現(xiàn)出題目中的等量關(guān)系。學(xué)生依托幾何直觀，直接感受到轉(zhuǎn)化的價值，明白了為什么轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化，體驗到轉(zhuǎn)化的策略帶來的好處，同時也能夠更好地幫助學(xué)生建模，從而掌握問題解決的策略。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！被谏厦娴乃伎迹覀儼l(fā)現(xiàn)，幾何直觀是具體的，既有“數(shù)的特征”，也具有“形的特征”。只有正確把握幾何直觀的實質(zhì)，掌握它的本質(zhì)意義，才能在問題解決時靈活運用，幫助學(xué)生更好地分析問題，思考問題，解決問題，創(chuàng)生問題，激發(fā)他們的想像與創(chuàng)造，從而提升問題解決的水平，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)理性精神。

（陳惠芳，張家港市教育局教學(xué)研究室，215600）

責任編輯：宣麗華