變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)列問題的知識(shí)面很廣，但從知識(shí)層面上講，最基本的要算等差數(shù)列和等比數(shù)列，尤其是數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列問題必不可少的要素之一，但有關(guān)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的題型千變?nèi)f化，而通過變式教學(xué)將各種題型串聯(lián)起來，由簡入深，讓學(xué)生體會(huì)萬變不離其宗，可以收到以少勝多的成效。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué)；數(shù)列；通項(xiàng)公式

一、變式教學(xué)

所謂數(shù)學(xué)變式教學(xué)，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不斷地變更數(shù)學(xué)概念中的非本質(zhì)特征，變換問題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)設(shè)計(jì)方法。

二、數(shù)列通項(xiàng)公式變式教學(xué)案例分析

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式及變式

等差數(shù)列定義表述：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，符號(hào)表示：an-an-1=d（常數(shù)）（n∈N*，n≥2）。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式正是由定義式通過“累加法”得到，過程如下：

a1=a1

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

…

an-an-1=d（n∈N*，n≥2）

n個(gè)等式累加，得an=a1+（n-1）d（n∈N*，n≥2），

并驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，上式=a1。

故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+（n-1）d（n∈N*）

變式一：an-an-1=d→an-an-1=f（n）（n≥2）

例1.在數(shù)列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+■），求an。

解：an+1=an+ln■

a1=2

a2=a1+ln■

a3=a2+ln■

a4=a3+ln■

…

an=an-1+ln■（n≥2）

n個(gè)等式累加，得

an=2+ln■+ln■+ln■+…+ln■

=2+ln（■×■×■×…×■）

=2+lnn（n≥2）

當(dāng)n=1時(shí)，上式=2+ln1=2=a1，∴an=2+lnn（n∈N*）

總結(jié)方法：

（1）遞推公式形如an-an-1=d（常數(shù)）（n∈N*，n≥2），an為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）d（n∈N*）。

（2）遞推公式形如an-an-1=f（n）（n≥2），利用累加法求通項(xiàng)公式。

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式及變式

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，符號(hào)表示：■=q≠0（常數(shù)）（n∈N*，n≥2）。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式正是由定義式通過“累積法”得到，過程如下：

a1=a1

■=q

■=q

■=q

…

■=q（n∈N*，n≥2）

n個(gè)等式累乘，得an=a1qn-1（n∈N*，n≥2），

并驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，上式=a1。

故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1qn-1（n∈N*）

變式二：■=q→■=f（n）（n≥2）

例2.已知數(shù)列an滿足：a1=1，2n-1an=an-1（n∈N，n≥2），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

解：a1=1，■=■（n∈N，n≥2）

■=■

■=■

■=■

…

■=■（n∈N，n≥2）

n個(gè)等式累乘，得

an=■=■=2■（n≥2）

當(dāng)n=1時(shí)，上式=20=1=a1

∴an=2■（n∈N*）

總結(jié)方法：

（1）遞推公式形如■=q≠0（常數(shù)）（n∈N*，n≥2），an為等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=a1qn-1（n∈N*）。

（2）遞推公式形如■=f（n）（n≥2），利用累積法求通項(xiàng)公式。

變式三：an=λan-1→an=λan-1+c（λ，c∈常數(shù)）

例3.已知函數(shù)f（x）=x2+2x

（1）數(shù)列an滿足a1=1，an+1=f（an），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列bn滿足b1=t>0，bn+1=f（bn），求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式。

解：（1）由題意可知f ′（x）=2x+2 ∴an+1=2an+2

∴an+1+2=2an+4=2（an+2）

∴an+2為等比數(shù)列

∴an+2=（a1+2）2n-1

∴an=3·2n-1-2

（2）由已知，得bn>0，bn+1+1=（bn+1）2

lg（bn+1+1）=lg（bn+1）2=2lg（bn+1）

又∵lg（bn+1）=lg（t+1）≠0

∴l(xiāng)g（bn+1）是公比為2的等比數(shù)列。

lg（bn+1）=lg（t+1）·2n-1=lg（t+1）■

∴bn=（t+1）■-1

總結(jié)方法：

遞推公式形如an=λan-1+c（λ，c∈常數(shù)），利用構(gòu)造法，構(gòu)造數(shù)列an+■為等比數(shù)列。

變式教學(xué)必須圍繞數(shù)學(xué)核心概念、數(shù)學(xué)核心思想，通過變式，達(dá)到一個(gè)理念、一種思想、一條紅線串百題的境界。

參考文獻(xiàn)：

鄧才明.變式教學(xué)初探.天府?dāng)?shù)學(xué)，1998（5）.

作者簡介：胡學(xué)伶，女，出生年月：1982年7月，本科，天津市建華中學(xué)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)