“課題學(xué)習(xí)之最短路徑問(wèn)題”的進(jìn)一步探討

摘 要：介紹了對(duì)幾種最短路徑從定性解決到量化解決的結(jié)論，應(yīng)用此類(lèi)結(jié)論可以更方便、快捷地計(jì)算出最短路徑和解決選點(diǎn)的定量問(wèn)題，達(dá)到了幾何問(wèn)題代數(shù)化的目的。在舉例應(yīng)用各結(jié)論時(shí)，特地以近年中考題為主。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)軸；最短路；造橋選址；一次函數(shù)

2012年開(kāi)始，人教版初中數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)始使用新版教材了，新教材的一些章節(jié)和內(nèi)容都作了調(diào)整，其中八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材中第85頁(yè)到87頁(yè)有一節(jié)課是“13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題”，文中列舉了兩個(gè)定性式的問(wèn)題。

問(wèn)題1：（也稱(chēng)最短路徑問(wèn)題）如下圖1，牧馬人從A地出發(fā)，牽著馬到一條筆直的河去飲水，然后返回到B地，問(wèn)到河邊的什么地方飲水，可使牧馬人所走的路徑最短？

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圖1 圖2

本例題要求在直線上找到一點(diǎn)，使得該點(diǎn)和直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離之和最短，并利用“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”得以論證，見(jiàn)圖2（詳細(xì)過(guò)程略）。

而問(wèn)題2講述的是造橋選址問(wèn)題。如圖3所示，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使A到B的路徑AMNB最短？

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圖3 圖4 圖5

問(wèn)題2的特征是，由2個(gè)定點(diǎn)（端點(diǎn)）展開(kāi)，在2條平行的直線上，尋找2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得由2端點(diǎn)和2中間點(diǎn)構(gòu)成了3條線段長(zhǎng)度之和達(dá)到最小值，實(shí)質(zhì)還是尋找最短路徑。要讓問(wèn)題2中的3條線段長(zhǎng)度之和達(dá)到最小值，由于中間1條線段的長(zhǎng)度是固定的，其實(shí)只需考慮另外2條動(dòng)線段的長(zhǎng)度之和達(dá)到最小即可。問(wèn)題2類(lèi)型題在解題時(shí)需要利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變化，從而做出最短路徑的選擇，見(jiàn)圖4、圖5顯示（詳細(xì)過(guò)程略）。

在八年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)中，要求讓學(xué)生掌握最短路徑的選擇和幾何論證就行了，但在解決實(shí)際路徑問(wèn)題時(shí)或者中考時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題中，往往都牽扯到具體的計(jì)算和求值，需要結(jié)合勾股定理或者坐標(biāo)值的計(jì)算等等，從而做出定性加定量的結(jié)果。但在學(xué)習(xí)“課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題”章節(jié)時(shí)，學(xué)生還沒(méi)有學(xué)到勾股定理等內(nèi)容，故而教材書(shū)暫時(shí)沒(méi)有安排計(jì)算。

在八年級(jí)下學(xué)期學(xué)生學(xué)完了勾股定理、平行四邊形和一次函數(shù)的章節(jié)后，在復(fù)習(xí)和總復(fù)習(xí)階段，我認(rèn)為有必要把上學(xué)期本章節(jié)的內(nèi)容再回顧和深入地探討一番，我鼓勵(lì)學(xué)生在回顧和探討的過(guò)程中，能夠整理出關(guān)于定量地計(jì)算對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法和公式?，F(xiàn)就一些結(jié)論和大家分享一下。

一、引入坐標(biāo)值，幾何問(wèn)題代數(shù)化，解決類(lèi)似教材問(wèn)題1的中考試題

新的教材中只強(qiáng)調(diào)了點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）。故對(duì)于具體的最短路徑的計(jì)算則在學(xué)了勾股定理和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)之后，在學(xué)期末的復(fù)習(xí)課期間我就讓學(xué)生嘗試推導(dǎo)如下公式，進(jìn)行最短路徑的定量計(jì)算：

結(jié)論1：如果兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在x軸的同側(cè)，則在x軸上可以找得到點(diǎn)P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■。

點(diǎn)P的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式求出過(guò)點(diǎn)A和B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（x2，-y2）的一次函數(shù)（y=■x+■）（x1≠x2），再通過(guò)一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0的特征，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（■，0）（見(jiàn)圖6）。特別地，當(dāng)x1=x2時(shí)，AB和y軸平行，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x1，0）。

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圖6

結(jié)論的得出與證明非常簡(jiǎn)單，就是直接套用勾股定理和用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式的方法就可以了。限于篇幅，這里不詳述了，下面著重講講運(yùn)用。

例1.如圖7所示，已知點(diǎn)A（1，1），B（3，2），且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值為 。

解：由于AB長(zhǎng)度是固定的，為AB=■=■，故要使△ABP周長(zhǎng)最小，只需要PA+PB之和最小，就可以用用結(jié)論1的最短路徑的計(jì)算公式，可得d=■=■=■，所以△ABP周長(zhǎng)的最小值為■+■。

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圖7 圖8

例2.（2014年齊齊哈爾初中學(xué)業(yè)考試第23題）如圖8所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（1，4），拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于C、D兩點(diǎn)。點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）略

（2）因?yàn)锳（1，4），點(diǎn)B（0，3）且點(diǎn)A和點(diǎn)B都在x軸的同側(cè)，所以帶入結(jié)論1中求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的公式可得：

■=■=■

例3.如圖9、圖10所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是（ ）

A.3 B. 4 C.5 D.6

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圖9 圖10

解：以菱形的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（-■，-2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（■，-2），且E點(diǎn)和F點(diǎn)都在x軸的同側(cè)，則把坐標(biāo)值代入路徑最短公式d=■=5，故選C。

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圖11 圖12

例4.如圖11、圖12所示，MN為⊙O的直徑，A、B是圓上的兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=20，AC=8，BD=6，則PA+PB的最小值是 。

解：以圓心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，連接OA和OB，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-8，6），則把坐標(biāo)值代入路徑最短公式d=■=14■。其實(shí)前述求法，可以應(yīng)用到求解函數(shù)f（x）=■+■的最小值。

例5.求解f（x）=■+■的最小值。

解：∵f（x）=■+■，把求f（x）的最小值，看作是在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使得P到x軸上方的A（5，1）和B（2，3）距離之和PA+PB最小。

∴d=■=5。此外，還可以通過(guò)把x軸換成y軸，可以類(lèi)似地應(yīng)用勾股定理和一次函數(shù)的知識(shí)得到如下結(jié)論。

結(jié)論2：如果兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在y軸的同側(cè)，則在y軸上可以找得到點(diǎn)P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■ 。

點(diǎn)P的坐標(biāo)，同樣用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A和B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一次函數(shù)y=■x+■（y1≠y2），再通過(guò)一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0的特征，求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，■）。特別地，當(dāng)y1=y2時(shí)，AB和y軸平行，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，y1）。

例6.（2014·莆田中考第15題）（4分）如圖13、圖14所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值是 。

■

圖13 圖14

解：還是以菱形的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則可計(jì)算出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2■，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為（■，1），且B點(diǎn)和E點(diǎn)都在y軸的同側(cè)，所要求的F點(diǎn)在y軸上，故要使得EF+BF的最小值，只需把相應(yīng)的坐標(biāo)值代入路徑最短公式進(jìn)行計(jì)算即可：d=■=2■。

結(jié)論3：如果兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在直線y=b的同側(cè)，則在直線y=b上可以找得到點(diǎn)P，使得PA+PB最短，最短距離為 。

點(diǎn)P坐標(biāo)的求法，類(lèi)似地，可以求出過(guò)點(diǎn)A和B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一次函數(shù)y=■x+■（x1≠x2），點(diǎn)P坐標(biāo)為（■，b）。特別地，當(dāng)x1=x2）時(shí)，AB和y軸平行，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x1，b）（形式上類(lèi)似把結(jié)論1中的y用（y-b）代替）。

例7.如圖15所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有A（1，2），B（3，3）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C（a，1），當(dāng)a= 時(shí)，AC+BC的值最小。

解：把b=1代入p點(diǎn)的橫坐標(biāo)■，即可求出a=■=■。

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圖15 圖16

結(jié)論4：如果兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x=a的同側(cè)，則在直線x=a上可以找得到點(diǎn)P，使得PA+PB最短，最短距離為d=■。

點(diǎn)P坐標(biāo)的求法，類(lèi)似地，可以求出過(guò)點(diǎn)A和B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一次函數(shù)y=■x+■（y1≠y2），再通過(guò)一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=0的特征，求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，■）。特別地，當(dāng)y1=y2時(shí)，AB和y軸平行，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，y1）（形式上類(lèi)似把結(jié)論2中的x用（x-a）代替）。

例8.（2014年梅州市中考第23題）如圖16所示，已知拋物線y=■x2-■x-3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C。

（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)（本題有刪減）。

解：（1）略

（2）因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為x=-■=1，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），故M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為-■=-■，M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-■）。

由于八年級(jí)學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)圖形相似和三角函數(shù)，故在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我沒(méi)有帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探討關(guān)于一般直線的同側(cè)兩點(diǎn)在該直線上找P點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題。相信到了九年級(jí)仍然可以對(duì)此類(lèi)問(wèn)題作進(jìn)一步的探討。

二、解決類(lèi)似教材問(wèn)題2的解決方案

問(wèn)題2可以歸結(jié)為已知A點(diǎn)（x1，y1）和B點(diǎn)（x2，y2），中間過(guò)河的寬度為h，可以考慮把B點(diǎn)上移至E點(diǎn)，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求E點(diǎn)到A點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題，仍然可以用結(jié)論1中的方式去求解。

例9.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

■

解：（1）根據(jù)圖示和已知可得點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，4），從而用結(jié)論1的計(jì)算公式可以得到E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

■=■=1，故E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）。

（2）D點(diǎn)坐標(biāo)不變?nèi)匀粸椋?，2），但根據(jù)題意，需考慮把C點(diǎn)向左平移2個(gè)單位并且轉(zhuǎn)化為類(lèi)似問(wèn)題（1）的情形，這時(shí)它的坐標(biāo)為（1，4），用前述公式計(jì)算E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為■=■=■，

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為（■，0），而F點(diǎn)的坐標(biāo)相當(dāng)于E點(diǎn)右移2個(gè)單位，所以為（■，0）。

三、后記

通過(guò)歸納和總結(jié)，即讓學(xué)生溫故知新，又學(xué)以致用；即提高了數(shù)形結(jié)合、幾何問(wèn)題代數(shù)化的思路，也達(dá)到了對(duì)“課題學(xué)習(xí)”的進(jìn)一步深入探索和總結(jié)。學(xué)生也感覺(jué)收獲良多，筆者認(rèn)為這過(guò)程也是對(duì)學(xué)習(xí)新教材的“課題學(xué)習(xí)”本身的一種很好詮釋。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱啟州，張興俠.一道課本例題的教學(xué)探討.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1999（4）.

[2]戴向陽(yáng).動(dòng)點(diǎn)下的線段最值解法探微.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（3）.

作者簡(jiǎn)介：曾志貴，男，學(xué)歷：研究生，就職于廣州市新穗學(xué)校，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)方面。