培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)解決問題的能力

一 問題現(xiàn)象

在學(xué)習(xí)完二次函數(shù)以后，我出了這樣一道題：某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢購(gòu)進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知：這種服裝每天的銷售量t（件），與每件的銷售價(jià)x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系：t=-3x+204。（1）寫出商場(chǎng)賣這種服裝每天的銷售利潤(rùn)y與每件的銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）通過對(duì)所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出：商場(chǎng)要想每天獲得最大利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

這道題是一道利用求二次函數(shù)的最大值解決實(shí)際問題的試題，稍作分析不難發(fā)現(xiàn)：商場(chǎng)的利潤(rùn)是由每件商品的利潤(rùn)乘以每天銷售的數(shù)量所決定的。在這個(gè)問題中，每件服裝的利潤(rùn)為（x-42），而銷售的件數(shù)是（-3x+204），那么就能得到一個(gè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)。銷售的最大利潤(rùn)就是求這個(gè)二次函數(shù)的最大值。我以為學(xué)生解答這樣的題應(yīng)該沒有問題，但出乎我意料是，很多學(xué)生對(duì)此束手無策，能做出來的寥寥無幾。

二 問題思考

為什么會(huì)這樣呢？經(jīng)過教學(xué)證明：（1）學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖形變化沒有掌握牢固，弄不清楚沿x軸、y軸移動(dòng)后函數(shù)式到底怎樣變化。（2）不能把圖像和具體問題聯(lián)系起來?？吹蕉魏瘮?shù)圖形對(duì)何時(shí)取最大值、最小值弄不清楚。究其原因，主要有以下幾點(diǎn)：教學(xué)中教師忙于完成教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生吃了“夾生飯”，學(xué)生沒有很好理解二次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像；教學(xué)中教師未能為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)良好的問題情境，讓學(xué)生在生活中學(xué)數(shù)學(xué)；二次函數(shù)的應(yīng)用需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力，而教學(xué)中教師對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)不夠。因此，在教學(xué)中我們應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)和教材特點(diǎn)組織課堂教學(xué)。

三 問題的研究

1.專業(yè)、理論指導(dǎo)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)自主、探究、合作的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。因此，課標(biāo)教材中安排了一些現(xiàn)實(shí)生活中與二次函數(shù)緊密聯(lián)系的一些最常見的題型，這些問題的設(shè)計(jì)使學(xué)生感受二次函數(shù)的意義，感受到數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系和應(yīng)用價(jià)值，還安排了大量的探究性活動(dòng)，通過學(xué)生的合作與交流，獲得相應(yīng)的知識(shí)與技能。具體思路如下：（1）通過分析實(shí)際問題以及表示這一關(guān)系或過程引出二次函數(shù)的概念。（2）對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的研究采取利用圖像直觀的非形式化的研究方式，通過學(xué)生自己的探索活動(dòng)，達(dá)到對(duì)拋物線的特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和對(duì)二次函數(shù)的理解。（3）二次函數(shù)圖像的研究是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的過程，并且貫穿了實(shí)際問題，把圖像直觀與實(shí)際意義相聯(lián)系。（4）用表格、表達(dá)式、圖像等多種方式表達(dá)二次函數(shù)。（5）可利用二次函數(shù)解決實(shí)際的問題。

2.實(shí)踐指導(dǎo)

實(shí)踐是認(rèn)識(shí)事物的源泉，是發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的有效途徑。數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，沒有做就沒有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此，在進(jìn)行二次函數(shù)的教學(xué)中，我們應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生在問題情境中做數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)踐問題的能力。

3.他山之石

“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合是通過“數(shù)”與“形”的互相轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)的基本思想之一，是用來解決數(shù)學(xué)問題的重要思想。近年來，各地中考對(duì)考生數(shù)形結(jié)合能力的考查越來越深，本文通過實(shí)例淺談“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的應(yīng)用。

第一，“以形解數(shù)”。

例1，已知：點(diǎn)（-1，y1），（-3，y2），（2，y3）在y=3x2+6x+2的圖像上。則：y1、y2、y3的大小關(guān)系為（ ）。

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3

C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1

分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2，畫出圖像，由圖像可以看出：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1。

即：x=-1時(shí)，y有最小值，故排除A、B，由圖像可以看出：x=2時(shí)y3的值，比x=-3時(shí)y2的值大，故選C。

注：以上是“以形解數(shù)”，即將數(shù)量關(guān)系借圖形表示，使其直觀化、形象化，從而使問題得以解決。

第二，“以數(shù)助形”。

例2，已知：二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），x1<0

注：例題由數(shù)到形，由形到數(shù)，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析和化歸，巧妙地運(yùn)用了圖形特征來觀察圖像的變化規(guī)律，解決十分巧妙，充分體現(xiàn)了“數(shù)”“形”結(jié)合的解題思想。

通過以上例子可看出，正確地利用“數(shù)形結(jié)合”可使二次函數(shù)問題簡(jiǎn)單化、具體化，使復(fù)雜問題輕易得以解決。

四 教學(xué)實(shí)踐與策略探究

我們要從課堂教學(xué)入手，探索培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)和思想方法解決實(shí)踐問題的能力。

1.收集圖片，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是學(xué)習(xí)的動(dòng)力源泉。我們?cè)诮虒W(xué)二次函數(shù)之前搜集了具有代表意義的圖片，如中國(guó)的石拱橋、火車隧道的形狀、擺動(dòng)的跳繩、射出去下落的子彈等拋物線形。在課堂上用多媒體展示，并與學(xué)生討論這些建筑物和運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目與二次函數(shù)拋物線的關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)應(yīng)用的廣泛和學(xué)習(xí)二次函數(shù)的必要性和重要性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

2.經(jīng)歷探索過程，理解定義內(nèi)容

讓學(xué)生從已學(xué)過的一次函數(shù)著手，通過例題學(xué)習(xí)并自己體味二次函數(shù)的定義。如圓面積S=πr2，當(dāng)r變化時(shí)，S因r的變化而變化，此時(shí)r可以是自變量，S是因變量，且r的最高次是2。

再如學(xué)生自己探索出y=-5x2+100x+60000，當(dāng)x變化時(shí)y也變化，并且x的最高次數(shù)是2。

由此讓學(xué)生自己總結(jié)定義，如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫x的二次函數(shù)，同時(shí)還要注意不同情況下自變量x的取值范圍。此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生不能死記硬背定義，能夠靈活地舉出二次函數(shù)的各種實(shí)例，如正方形面積S和邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系S=a2是二次函數(shù)等。把理論知識(shí)和實(shí)踐生活結(jié)合在一起，真正理解定義的內(nèi)容。

3.借助多媒體演示，掌握?qǐng)D形特點(diǎn)

讓學(xué)生從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2的圖形著手研究其特點(diǎn)：頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大（?。┲?、開口方向，注意x的取值范圍，連點(diǎn)的曲線要光滑，由此得出拋物線圖形。再利用多媒體對(duì)圖像沿y軸（x軸）進(jìn)行平移h個(gè)單位，在平移過程中圖形的開口方向和大小都沒改變，但是位置、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸發(fā)生了變化。

此時(shí)，學(xué)生一定要在腦海中清楚地呈現(xiàn)出二次函數(shù)的各種圖形特征，才能靈活地解決二次函數(shù)的各種問題。學(xué)生在理解定義、掌握?qǐng)D形特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，教師還要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，拓寬視野，完善思維結(jié)構(gòu)，教會(huì)學(xué)生思維方法，優(yōu)化他們的思維品質(zhì)，從根本上提高學(xué)生的解題能力，掃除前進(jìn)道路上的困難。

五 我的反思

第一，在學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的應(yīng)用感到困難時(shí)，不要簡(jiǎn)單地批評(píng)指正，應(yīng)引導(dǎo)他們正確地分析和表示問題中變量之間的關(guān)系來解決實(shí)際問題，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問題的基本策略進(jìn)行反思，形成個(gè)人解決問題的風(fēng)格。

第二，正確引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)的薄弱環(huán)節(jié)，及時(shí)填補(bǔ)各種空白，點(diǎn)點(diǎn)滴滴積累知識(shí)，同時(shí)組織學(xué)生互相檢查，共同討論、交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，一同排除前進(jìn)道路上的障礙。這樣才能促進(jìn)學(xué)生全面和諧地發(fā)展，讓他們感到自己能夠在知識(shí)的海洋中遨游，是學(xué)習(xí)的主人，是戰(zhàn)勝困難的強(qiáng)者。

〔責(zé)任編輯：李錦雯〕