洛必達(dá)法則的內(nèi)容及運(yùn)用注意事項(xiàng)

【摘 要】本文從教學(xué)方法的角度對(duì)高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)提出了一些看法，剖析了洛必達(dá)法則的實(shí)質(zhì)，并探討了各種形式下的洛必達(dá)法則使用要注意的問題。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)改革 高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）14-0035-01

求極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，因此熟練掌握求極限的方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有重要的意義。洛比達(dá)法則用于求分子分母同趨于零的分式極限，即用于求未定型的極限，以下七種類型的未定型可以

用洛必達(dá)法則來求：。

一 洛必達(dá)法則的內(nèi)容

定理1：型未定型，如果：（1）

（2）a（x）·b（x）在U0（x0）內(nèi)可導(dǎo)，且b'（x）≠0；（3）

（A為實(shí)數(shù)或±∞，∞）；則有：。

定理1對(duì)極限過程的情形，只要稍微修改一下條件（2），也有同樣的結(jié)論成立。

定理2：型未定型，如果：（1）

（2）a（x）·b（x）在U0（x0）內(nèi)可導(dǎo)，且b'（x）≠0；（3）

（A為實(shí)數(shù)或±∞，∞）；則有：。

定理2對(duì)極限過程

的情形，只要稍微修改一下條件（2），也有同樣的結(jié)論成立。

定理3：0·∞型未定型，如果：

化為：

則為型未定型，化為：

則為型未定型。

可以用上述方法分別確定極限。

定理4：∞-∞型未定型，如果：

化為：

則為型未定型，實(shí)際運(yùn)算時(shí)，一般均可通過通分實(shí)現(xiàn)。

定理5：00型未定型。

定理6：1∞型未定型。

定理7：∞0型未定型。

對(duì)于定理5、定理6、定理7未定型，一般為冪指數(shù)函數(shù)形式，即a（x）b（x）形式，通過取對(duì)數(shù)則可化為b（x）·

lna（x）的形式，即為0·∞型未定型，再根據(jù)0·∞型未定

型情形化為型未定型或型未定型，即可使用洛必達(dá)法則

來確定所要求的極限值。

二 使用洛必達(dá)法則要注意的問題

用洛必達(dá)法則確定未定型的極限時(shí)，要注意的一些問題

如下：（1）用洛必達(dá)法則計(jì)算極限之前，要先確定是否型

未定型或者型未定型，或者是否可化為0·∞，∞-∞，00，

1∞，∞0型，如果不能轉(zhuǎn)化為以上形式，則不能使用洛必達(dá)法則；若能轉(zhuǎn)化為以上形式，待轉(zhuǎn)化后再使用洛必達(dá)法則。一般情況下，定理的第（3）條不進(jìn)行驗(yàn)證，通過計(jì)算可以確

定是否存在。（2）即使不存在，但仍然是未

定型時(shí)，可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。允許在滿足條件時(shí)多次

使用洛必達(dá)法則。如果不存在，且不是未定型時(shí)，

并不說明極限不存在，還有可能可用其他方法求出極限。（3）在使用洛必達(dá)法則之前和之中，要不斷對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，并配合其他求極限的方法，使計(jì)算過程更為簡(jiǎn)潔，洛必達(dá)法則只是計(jì)算未定型極限的一種較為普遍的方法，但它不是唯一的方法，也不一定是最簡(jiǎn)潔的方法，所以在使用中要認(rèn)真考慮。

參考文獻(xiàn)

[1]平艷茹、張漢林.工科高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007（5）：55～57

[2]袁建軍、歐增奇.高等數(shù)學(xué)中用洛必達(dá)法則求極限需注意的問題[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（6）

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕

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* 基金項(xiàng)目：貴州省科技廳自然科學(xué)基金（〔2013〕2144）、貴州民族大學(xué)2013校級(jí)重點(diǎn)基金