數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)要貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終

擺在數(shù)學(xué)教師面前的任務(wù)是艱巨的，需要兩個轉(zhuǎn)化：一是在重視教法的基礎(chǔ)上向重視學(xué)生學(xué)法的研究上轉(zhuǎn)化；二是要求教師由講授型向科研型進(jìn)而向創(chuàng)新型轉(zhuǎn)化。筆者認(rèn)為：要提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量，必須千方百計地培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而這些能力的培養(yǎng)關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)實踐，把數(shù)學(xué)思想方法貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終。毛澤東曾教導(dǎo)我們：“馬克思主義的理論，要能精通它，應(yīng)用它，精通的目的完全在于應(yīng)用?！睌?shù)學(xué)思想方法屬于理論的范疇，理論源于實踐，高于實踐，又反作用于實踐。

一、數(shù)形結(jié)合思想的滲透

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)量關(guān)系是對客觀現(xiàn)象的概括，空間形式是對空間圖形的直觀描繪。數(shù)學(xué)學(xué)科有些內(nèi)容既有空間圖形的刻畫，又有相應(yīng)數(shù)據(jù)的描述。此類問題的解決，往往需要以數(shù)定形或以形定數(shù)。圖形特征呈現(xiàn)直觀，對其研究需要用數(shù)或數(shù)量關(guān)系來描述，進(jìn)行抽象概括；數(shù)或數(shù)量關(guān)系具有深奧、抽象的特征，數(shù)或數(shù)量關(guān)系的概括要借助于圖形直觀性，可操作性來完成。數(shù)與形的結(jié)合正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微?！边@就是說數(shù)與形各有所長、各有所短，需要揚長避短，只有二者密切結(jié)合、互補，才是解決問題的最佳途徑。

例如：學(xué)生學(xué)了正方形、長方形與圓之后，在習(xí)題課上我出示下面一個計算題，從一張長是10厘米，寬是8厘米的長方形紙上剪半徑是1厘米的圓，最多可以剪出多少個？我讓班內(nèi)學(xué)生分組討論，探索解題思路與方法，然后分組匯報。有一個小組同學(xué)甲很快找到了方法，認(rèn)為這道題很簡單，先分別算出長方形面積和一個圓的面積，再用長方形的面積除以一個圓的面積，所得的商就是該題要求的結(jié)果。我讓其它組的同學(xué)對這種思路和方法進(jìn)行評議。有位同學(xué)反駁道：除法的結(jié)果是無限循環(huán)小數(shù)與題目要求的整數(shù)不符，但方法似乎很有道理。同學(xué)乙發(fā)言，按照前面的算法：（10×8）÷（12×3.14）≈25.48，這個結(jié)果與實情況相矛盾，因為把長為10厘米，寬為8厘米的長方形可以平均分成4個長為10厘米，寬為2厘米的小長方形，而圓的半徑是1厘米，則其直徑是2厘米，一個小長方形可以剪出5個半徑為1厘米的圓，所以4個小長方形可能剪出5×4=20（個）半徑是1厘米的圓，其他同學(xué)聽完后，都拍手叫好，一致認(rèn)為思路正確，方法得當(dāng)，能以理服人。我及時予以評議：同學(xué)甲按平均分的思路算出的結(jié)果，近似于25個。如果不考慮圖形的特征，忽視圓在長方形紙上的分布及圓與圓的特殊位置關(guān)系，那么算出的結(jié)果將會出現(xiàn)錯誤。同學(xué)乙的思路很好，既聯(lián)想到從數(shù)的角度用平均分的思路，又兼顧到從形的角度注意到圓與圓的特殊位置關(guān)系，每兩個圓必須親切毗鄰，但不能重疊。同學(xué)乙的思路，我用直觀的示意圖展示在白板上，并標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)據(jù)，長方形內(nèi)圓的排列整齊有序，清晰可數(shù)，數(shù)形并舉，學(xué)生受到美感的熏陶，并報以熱烈的掌聲。

又如在《位置》一章的教學(xué)中，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)用有序數(shù)對表示物體的位置的具體情境，再將實際問題的具體情境數(shù)學(xué)化，后抽象成平面圖上確定點的位置，有效地幫助學(xué)生理解并掌握如何用有序數(shù)對確定點的位置的方法。反之，引導(dǎo)學(xué)生掌握如何用點的位置來確定有序數(shù)對的方法。教師在教學(xué)中應(yīng)充分利用類似的素材，架起數(shù)與形之間的橋梁，使學(xué)生初步體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法，增強了空間觀念，為第三學(xué)段直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

二、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

辨證唯物主義理論認(rèn)為：事物在一定條件可以轉(zhuǎn)化。雞蛋在適宜的條件下可以轉(zhuǎn)化為小雞。同樣，有些較難的數(shù)學(xué)題目也可以在特定的條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以達(dá)到化難為易的目的。轉(zhuǎn)化可分為等價轉(zhuǎn)化和條件轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化僅僅是手段，而不是目的，目的是將未知轉(zhuǎn)化為已知，將繁雜轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體。筆者在教學(xué)中是怎樣培養(yǎng)學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想解決實際問題的？下面通過個例加以闡述。

等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

例：完成下面的計算：3﹒14×37+3﹒14×25+3﹒14×38

先讓學(xué)生觀察算式的特征，考慮參與運算的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，你能否找到計算的最佳方法？在老師的啟發(fā)下，大多數(shù)同學(xué)能用乘法分配律進(jìn)行簡便運算。如果按照運算順序進(jìn)行計算，則費時費力。同學(xué)們經(jīng)過兩種計算方法的比較，體會到觀察的重要性和轉(zhuǎn)化的優(yōu)越性。我給以小結(jié)：觀察是入門的向?qū)?，將宏觀與微觀相結(jié)合是最好的觀察方法。乘法分配律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為ma+mb+mc=m（a+b+c），等號兩邊的式子的值是相等的，也就是等價的。

三、數(shù)學(xué)建模思想的感悟

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào)：數(shù)學(xué)課程要特別注重發(fā)展學(xué)生的模型思想。數(shù)學(xué)模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有肋于學(xué)生初步形成模型思想。下面通過具體例題，說明對學(xué)生模型思想形成的訓(xùn)練。

例1、行程問題中假設(shè)汽車的速度為60千米/小時，路程y千米，時間為x小時，時間x的值分別取1，2，3，4，5，…，然后用列表的形式求出對應(yīng)的y的值。讓學(xué)生分析、探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系和y隨x的變化規(guī)律。同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)y=60x，或y/ x=60，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)x的變化，導(dǎo)致y隨之變化，但y/ x的值始終不變，總等于常量60，如果常量用K表示，則y/ x=K或y=Kx就是一個正比例關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在現(xiàn)實生活或具體情境中類似的數(shù)量關(guān)系不勝枚舉。這個模型的形成過程就是把具體問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程，來表示數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。反比例模型、解決實際問題的方程模型的形成也是如此。數(shù)學(xué)模型從實際問題中來，是實際問題的高度抽象概括，反過來又服務(wù)于實際，即應(yīng)用數(shù)學(xué)模型可以幫助我們解決實際問題。

數(shù)學(xué)思想方法的種類較多，比如還有分類思想，整體思想，分解與組合思想等，由于文章的篇幅有限，不能一一涉獵，謹(jǐn)請讀者原諒。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透乃至形成是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)付予我們的重要任務(wù)之一。這個任務(wù)的達(dá)成不可能一蹴而就。數(shù)學(xué)思想方法一旦形成，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，就如同高屋建瓴，對學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識大有裨益。