淺談高等代數(shù)在空間解析幾何中的應(yīng)用

摘 要：高等代數(shù)與空間解析幾何具有緊密的聯(lián)系。本文主要是討論高等代數(shù)中的行列式、向量及線性方程組這三個數(shù)學(xué)工具在空間解析幾何中的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：行列式；向量；齊次線性方程組；空間解析幾何

空間解析幾何主要研究兩類問題，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的幾何結(jié)構(gòu)，及用圖形的方法給出方程的直觀幾何解釋。高等代數(shù)的知識是空間解析幾何的主要研究工具，同時空間解析幾何也可以使較抽象的高等代數(shù)有一個直觀的幾何應(yīng)用。因此高等代數(shù)與空間解析幾何具有緊密的聯(lián)系，本文主要討論高等代數(shù)中的行列式、向量及齊次線性方程組這三個代數(shù)工具在空間解析幾何中的應(yīng)用。

一、向量在空間解析幾何中的應(yīng)用

向量是高等代數(shù)中的重要內(nèi)容，空間解析幾何利用三維向量的相關(guān)代數(shù)知識把直觀的幾何圖形的幾何結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為代數(shù)的定量計(jì)算。由下面的例子來說明此問題：

例1：設(shè)L，M，N分別為ΔABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，證明：三中線向量■，■，■可以構(gòu)成一個三角形。

分析：這一題如果單以幾何角度來討論的話，需作出三條中線來直觀地觀察三條中線是否可以拼成一個三角形，這樣很難嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明。但若以向量的思想來考慮的話，只需利用■，■，■可以構(gòu)成一個三角形的充要條件是■，■，■=■這一性質(zhì)即可。

證明：由中點(diǎn)公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可構(gòu)成一個三角形。

二、行列式在空間解析幾何中的應(yīng)用

行列式是高等代數(shù)中的一個重要工具，應(yīng)用行列式可以使空間解析幾何的一些結(jié)論有結(jié)構(gòu)化的表達(dá)，并使一些繁雜的計(jì)算變得簡潔。下面舉例說明行列式的應(yīng)用。

1.結(jié)論的結(jié)構(gòu)化

例如定理：在仿射坐標(biāo)系{O；■，■，■}中，三個非零向量i■=（xi，yi，zi），（i=1，2，3）共面的充要條件是x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3=0.類似此類結(jié)論有很多。

2.計(jì)算的簡潔化

例2：已知兩直線l1：■=■=■，l2：■=■=■，試證明兩直線l1與l2為異面直線，并求l1與l2間的距離。

分析：該題如果利用幾何思想需建系畫出兩直線，并作出輔助圖形來求兩異面直線間的距離，但無論畫圖還是做輔助圖形都較為繁雜。若利用由行列式來表達(dá)的異面直線判定定理和距離公式計(jì)算就變簡潔了。

解：直線l1過點(diǎn)M1（3，8，3）方向向量為υ1=（3，-1，1），直線l2過點(diǎn)M2（-3，-7，6）方向向量為υ2=（-3，2，4），Δ=（■，υ1，υ2）=-6 -15 3 3 -1 1-3 2 4=270≠0，所以l1與l2為異面直線，則l1與l2間的距離為：

d=■=3■

三、齊次線性方程組在空間解析幾何中的應(yīng)用

空間解析幾何中，由于向量、行列式等知識的引入自然地也就有需要應(yīng)用線性方程組相關(guān)定理的地方。如：

性質(zhì)：三個平面πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0（i=1，2，3）相交于一點(diǎn)？圳Δ=A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3≠0

分析：此性質(zhì)的證明應(yīng)用了齊次線性方程組有唯一解的充要條件是其系數(shù)矩陣的行列式不為零這一定理。

證明：三平面交于一點(diǎn)？圳A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0有唯一解？圳Δ≠0.

高等代數(shù)較為抽象，而空間解析幾何則具有直觀性?？臻g解析幾何應(yīng)用了向量、行列式和齊次線性方程組等這些抽象的代數(shù)工具，很大程度上簡化了解題步驟，避免了繁雜的計(jì)算與推導(dǎo)?？梢姼叩却鷶?shù)為空間解析幾何賦予了量的含義，它們的這種數(shù)形結(jié)合的思想是空間解析幾何教學(xué)中的核心思想之一。

參考文獻(xiàn)：

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