借助數(shù)形結(jié)合 走進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

☉陸紅梅

數(shù)形結(jié)合不僅是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法，也是教師常用的教學(xué)策略——把直觀形象的事物呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，由此引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察、思考，進(jìn)而得出抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)然，在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也只有將直觀與抽象緊密結(jié)合起來(lái)，才能讓他們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有深度?；诖?，筆者從數(shù)學(xué)思想方法的基本內(nèi)涵、實(shí)踐價(jià)值與方法思考三個(gè)方面進(jìn)行相關(guān)闡述。

一、數(shù)形結(jié)合的基本思想內(nèi)涵

就數(shù)學(xué)的本質(zhì)而言，數(shù)形結(jié)合指的就是把直觀形象與抽象數(shù)量進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，它不僅有具體生動(dòng)的形象，還有一定的數(shù)量變化與空間形式。當(dāng)然，在對(duì)于形象事物的觀察時(shí)能夠抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)東西來(lái)，還需要學(xué)習(xí)者有一定的數(shù)感能力與空間意識(shí)。因而，在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要能緊緊依托可供數(shù)學(xué)觀察的形象來(lái)引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，這樣才能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵體現(xiàn)在以下兩個(gè)層面：一是以數(shù)表形，即用數(shù)字來(lái)表示事物的數(shù)量，或是用數(shù)量的增減變化來(lái)表達(dá)事物的多少；二是借形表數(shù)，即用形象化的事物來(lái)表示數(shù)量或數(shù)量之間的關(guān)系。從低年級(jí)起，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就常常用到數(shù)形結(jié)合思想方法，例如，學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)》《20以內(nèi)加減法》等知識(shí)時(shí)，就用到以數(shù)表形或借形表數(shù)的方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐價(jià)值

（一）強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

眾所周知，唯有讓學(xué)生進(jìn)行多感官體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，其才有可能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師就要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，引發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)問(wèn)題的思考，促進(jìn)學(xué)生自主提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析問(wèn)題，乃至解決問(wèn)題，讓他們經(jīng)歷一個(gè)完整的、系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)探究過(guò)程。在這樣的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)這些客觀事物進(jìn)行觀察與思考，繼而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，也讓數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，使他們數(shù)學(xué)思維能力與創(chuàng)新意識(shí)得到漸進(jìn)式生長(zhǎng)。

現(xiàn)行的部編版小學(xué)數(shù)學(xué)教材也是以數(shù)與形的方式進(jìn)行編排的，更多地契合了小學(xué)生喜愛感性事物的心理特征，遵循了這個(gè)階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。例如，關(guān)于行程類應(yīng)用題教材的編排中，不僅有具體的文字語(yǔ)言敘述，還伴隨著線段圖的思考填空。這樣的編排就能引發(fā)學(xué)生將應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系用直觀形象的線段來(lái)進(jìn)行合理建構(gòu)。在教學(xué)完這樣的習(xí)題之后，學(xué)生不僅能夠掌握畫線段圖的方法，還能獲得一定的操作體驗(yàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也自然就有了深度。

在借助于數(shù)形結(jié)合思想方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師還要能夠促進(jìn)學(xué)生掌握一定的解題路徑，這樣才能讓解題方法真正在學(xué)生的頭腦中形成建構(gòu)。例如，在教學(xué)《梯形的面積計(jì)算》這一課內(nèi)容時(shí)，教師就要有序開展活動(dòng)，形成一定的步驟：1.數(shù)學(xué)猜想，得出計(jì)算方法；2.動(dòng)手操作，用兩個(gè)完全一樣的梯形拼成平行四邊形；3.數(shù)學(xué)觀察，分析拼成的平行四邊形與梯形之間的數(shù)量關(guān)系；4.探討梯形面積計(jì)算方法，加以實(shí)踐應(yīng)用。在此過(guò)程中，教師引領(lǐng)學(xué)生借助于數(shù)形結(jié)合的思想，將計(jì)算方法與推導(dǎo)的過(guò)程一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，讓學(xué)生在自己的頭腦中形成清晰的認(rèn)知：將S梯形＝（a＋b）×h÷2這一公式與其推導(dǎo)的兩個(gè)完全一樣的梯形拼成平行四邊形的相關(guān)示意圖建構(gòu)起來(lái)。這樣，也就讓學(xué)生的頭腦中留下了“兩個(gè)完全一樣的梯形拼成平行四邊形，每個(gè)梯形面積是這個(gè)平行四邊形面積的一半”這一具體形象，同時(shí)也讓學(xué)生能夠?qū)⒆帜阜?hào)公式進(jìn)行簡(jiǎn)要表達(dá)。

（二）助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展

數(shù)學(xué)思維就是指人用數(shù)學(xué)的方法來(lái)思考問(wèn)題，也是人腦對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的反應(yīng)。數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)往往體現(xiàn)在靈活性、準(zhǔn)確性、邏輯性等幾個(gè)層面。倘若一個(gè)人具有了良好的思維品質(zhì)，那么他就能在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中表現(xiàn)出超乎常人的速度，不光是解決問(wèn)題的方法選擇比較靈活，解決問(wèn)題的過(guò)程也合乎邏輯，得出的結(jié)論也是比較精準(zhǔn)的。當(dāng)然，良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)，需要借助于“數(shù)形結(jié)合”的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，需要學(xué)生從直覺(jué)思維走向創(chuàng)造性思維發(fā)展。

借助于數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以通過(guò)圖形來(lái)找到數(shù)量間的多種關(guān)系，進(jìn)而能根據(jù)相關(guān)的數(shù)量建立運(yùn)算關(guān)系，從而能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題進(jìn)行有效解決。長(zhǎng)此利用數(shù)形結(jié)合這一思想方法，學(xué)生的直覺(jué)思維可以得到長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展，抽象思維也能夠以此為基點(diǎn)不斷進(jìn)行生長(zhǎng)。在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識(shí)積累也是成正比遞增的。通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，學(xué)生還可以從多個(gè)方向與多個(gè)層面來(lái)分析問(wèn)題，打破常規(guī)思維的局限性，進(jìn)而走向創(chuàng)新。

例如，在教學(xué)運(yùn)算規(guī)律的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師就可以放手讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)算式的計(jì)算與觀察，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)算式中的共同特征，并能用創(chuàng)新思維來(lái)表示出運(yùn)算規(guī)律：有的孩子用圖形來(lái)表示加法交換律與結(jié)合律，有的孩子用字母來(lái)表示加法交換律與結(jié)合律……這也是學(xué)生在形象思維方面的創(chuàng)新，他們嘗試著運(yùn)用字母、符號(hào)、圖形與實(shí)物等對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的存在形式進(jìn)行建構(gòu)。通過(guò)研究也發(fā)現(xiàn)，表象是具象思維的基本形式，而表象的載體也就涵括在圖形與符號(hào)兩種形式之中。

在面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師就要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)用建構(gòu)表象的方式來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律與形式，促進(jìn)學(xué)生通過(guò)猜想來(lái)獲得數(shù)學(xué)初步結(jié)論，繼而開展操作與觀察活動(dòng)，進(jìn)行合理驗(yàn)證，并加以應(yīng)用，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接性經(jīng)驗(yàn)。與此同時(shí)，學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中將相關(guān)的數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，讓抽象的邏輯推理與數(shù)量之間的關(guān)系更加具象化，從而對(duì)獲得的知識(shí)形成深刻記憶。

三、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐原則

（一）對(duì)等性

在數(shù)學(xué)中，數(shù)字與圖形之間具有著緊密的聯(lián)系，兩者所表達(dá)的意義往往存在著對(duì)等的關(guān)系，并且在特定的條件下可以相互替代或轉(zhuǎn)換。因而，筆者認(rèn)為，在數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐應(yīng)用中應(yīng)遵循對(duì)等性原則。具體而言，在對(duì)圖形類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題分析時(shí)，學(xué)生要將其面積或周長(zhǎng)的計(jì)算方法與數(shù)量之間建構(gòu)好聯(lián)系，并保持好對(duì)等關(guān)系。

例如，在利用平行四邊形的面積計(jì)算公式求面積時(shí)，學(xué)生就要找準(zhǔn)底邊和與其對(duì)應(yīng)的高，并與公式中的符號(hào)或文字進(jìn)行對(duì)等起來(lái)，依據(jù)模型來(lái)進(jìn)行解題。當(dāng)然，在面臨一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師也應(yīng)啟發(fā)學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)表達(dá)問(wèn)題中的數(shù)量，并從圖形中直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的運(yùn)算關(guān)系，進(jìn)而得出解題的具體方法。例如，解決這樣一個(gè)問(wèn)題：“將一個(gè)平行四邊形通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形，求原來(lái)平行四邊形的面積?！惫P者就設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：1.首先，畫出轉(zhuǎn)化后的正方形；2.接著，假設(shè)補(bǔ)出的部分（三角形），并還原；3.觀察還原后的平行四邊形；4.得出觀察結(jié)論，如平行四邊形的面積與轉(zhuǎn)化后的正方形面積不變、正方形的邊長(zhǎng)與原來(lái)平行四邊形的底相等、正方形的邊長(zhǎng)與原來(lái)平行四邊形的高相等；5.將圖形與數(shù)量之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，平行四邊形的底是4分米長(zhǎng)，平行四邊形的高也是4分米長(zhǎng)，最終得出計(jì)算方法。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生只有真正找到圖形的基本要素與數(shù)量之間的對(duì)等關(guān)系，才能將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程與方法之間達(dá)成契合，不斷提升數(shù)學(xué)思維能力。

（二）互換性

互換性是指在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中，既可以用數(shù)來(lái)代替圖形，也可以用圖形來(lái)表示數(shù)。筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)與形也是各有優(yōu)勢(shì)的，“數(shù)”彰顯其獨(dú)特的抽象性，“形”具有學(xué)生所受的直觀性。通過(guò)代數(shù)可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、理性化，可以形成邏輯關(guān)系；通過(guò)圖形，可以讓抽象的形式直觀化、具體化，清晰可見、一目了然。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要能依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，靈活運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想方法，做到“數(shù)”中有“形”，“形”中有“數(shù)”［2］。例如，在教學(xué)低年級(jí)比較大小時(shí)，教師就可以用圖形的多少來(lái)讓學(xué)生建構(gòu)起數(shù)量的大??；在教學(xué)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)，教師就可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)讓學(xué)生建構(gòu)起長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的大小，等等。

簡(jiǎn)而言之，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，教師要積極貫徹互換性原則，或用“數(shù)”來(lái)表示“形”，或用“形”來(lái)呈現(xiàn)“數(shù)”，真正讓“數(shù)”與“形”相互配合起來(lái)。學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得靈活的數(shù)學(xué)思維。

四、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

（一）借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)概念的形成與基本算理的理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要前提。對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，最為重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就是獲得數(shù)學(xué)概念的通透理解與基本算理的明晰，由此展開數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)，提升數(shù)學(xué)綜合能力。在這一學(xué)段中，就需要常常借助于數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得感性的數(shù)學(xué)知識(shí)。到了小學(xué)高年級(jí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系變得相對(duì)復(fù)雜，教師僅僅依靠簡(jiǎn)單的講解就想讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念與算理理解得十分通透，是不可能的。此時(shí)，也更加需要將“數(shù)”與“形”有效結(jié)合起來(lái)，借助于直觀的圖形把數(shù)量間的運(yùn)算關(guān)系表達(dá)清楚；反之，也需要以“數(shù)”的形式來(lái)簡(jiǎn)潔表示出復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，教師就要充分利用學(xué)生“由感性思維向理性思維發(fā)展”的這一規(guī)律來(lái)構(gòu)建生活化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

例如，在教學(xué)《圖形的變換方式》時(shí)，很多學(xué)生在畫圖操作時(shí)會(huì)將格數(shù)數(shù)錯(cuò)。究其原因，就是學(xué)生未能將“數(shù)”與“形”真正對(duì)應(yīng)起來(lái)。為了幫助學(xué)生深刻理解平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)這三種圖形的變換方式，教師就要借助于生活中的實(shí)物圖形進(jìn)行操作，讓學(xué)生從直觀觀察中看到數(shù)量的變化，引發(fā)學(xué)生將“數(shù)”與“形”有效對(duì)應(yīng)起來(lái)。如：將一個(gè)直角三角板圍繞它的直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。筆者讓學(xué)生用直角三角板自主操作，進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后三角形與旋轉(zhuǎn)前的位置變化關(guān)系與數(shù)量持恒情況，讓學(xué)生將旋轉(zhuǎn)后三角形與旋轉(zhuǎn)前三角形邊的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)起來(lái)，旋轉(zhuǎn)后的邊與旋轉(zhuǎn)前的邊對(duì)應(yīng)起來(lái)，同時(shí)將“數(shù)”與“形”有效結(jié)合，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)圖形變換方式的真正理解。

（二）借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，并非都是讓學(xué)生建立計(jì)算性、規(guī)律性的模型知識(shí)結(jié)構(gòu)，往往還有一些集具象與抽象為一體的概念，需要學(xué)生在頭腦中形成合理的建構(gòu)。［3］當(dāng)然，同時(shí)讓學(xué)生將抽象與具象集一體化的知識(shí)記憶深刻，還是具有一定困難的。因?yàn)閷W(xué)生的具象思維與抽象思維并非完全融合在一起的。例如，在借助于圖形掌握了運(yùn)算知識(shí)后，學(xué)生往往就只會(huì)記住算理，形成了知識(shí)建構(gòu)。此時(shí)，他們也就習(xí)慣于用抽象的算理來(lái)解決問(wèn)題，不會(huì)再去借助直觀思維解決問(wèn)題。

例如，在教學(xué)長(zhǎng)度單位時(shí)，教師就要促進(jìn)學(xué)生具象性地認(rèn)識(shí)到：大拇指指甲的長(zhǎng)度大約1厘米、1個(gè)粉筆盒的底邊長(zhǎng)約1分米……在教學(xué)面積單位長(zhǎng)度時(shí)，教師就要促進(jìn)學(xué)生記憶?。?平方厘米有一個(gè)手指頭的大小、1平方分米大約有1個(gè)巴掌大小……唯有學(xué)生對(duì)這些單位性概念深刻記憶，他們才能對(duì)長(zhǎng)度、面積等概念形成知識(shí)建構(gòu)。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段的學(xué)生往往會(huì)對(duì)長(zhǎng)度、面積與體積知識(shí)混淆，原因就在于他們對(duì)基本單位沒(méi)有形成有效的建構(gòu)。

在信息教育時(shí)代，數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，并非僅僅靠教師與學(xué)生的動(dòng)手操作就能完全實(shí)現(xiàn)，往往還要借助信息化技術(shù)手段。例如，在教學(xué)較為復(fù)雜的圖形面積計(jì)算中，教師就可以利用信息技術(shù)將面積相等的部分圖形用動(dòng)畫的方式，直觀呈現(xiàn)，這樣才能讓學(xué)生更為深刻透徹地理解。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是無(wú)時(shí)不在、無(wú)處不在的，教師要充分利用好數(shù)形結(jié)合思想，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)新路徑，遵循小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，開展有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引領(lǐng)他們走進(jìn)深度學(xué)習(xí)，不斷發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力。