2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第12題的探究

高考是學(xué)生人生中的第一次大考，關(guān)乎著人生的走向，所以高考試題的變化牽動(dòng)著億萬學(xué)生及家長(zhǎng)的心.2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的第12題對(duì)正方體、球、棱錐、圓柱進(jìn)行了綜合考查.其中D選項(xiàng)難度較大，而且在網(wǎng)上給出的答案中，對(duì)D選項(xiàng)的說明是：圓柱高度可以忽略不計(jì).這種解釋在以往的解答中沒有遇到過，它給課堂教學(xué)提出了新的問題.其實(shí)利用圖形軟件和高中數(shù)學(xué)知識(shí)，還是可以通過計(jì)算解決問題的.

1 試題呈現(xiàn)

（2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·第12題）（多選題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）.

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體

2 試題解析

對(duì)于A選項(xiàng)的考查非常簡(jiǎn)單，由于球的直徑小于

正方體的棱長(zhǎng)，故球體可以放入正方體容器內(nèi)，如圖1所示.

對(duì)于選項(xiàng)B，可以理解為從棱長(zhǎng)為1 m的正

方體中，截出的最大正四面體（如圖2）的棱長(zhǎng)為2m，大于1.4 m，故可以放進(jìn)正方體容器內(nèi).

在C選項(xiàng)中，圓柱的高度為1.8 m，而棱長(zhǎng)為

1 m的正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度為3 m，由于1.8大于

3，故選項(xiàng)C不正確.

對(duì)D選項(xiàng)的判斷是本題的難點(diǎn).首先，我們要解決的問題是，直徑為1.2 m的圓是否可以放進(jìn)正方體內(nèi);其次，再解決圓柱的高度問題.在正方體的所有截面中，面積最大的是哪個(gè)？其實(shí)這個(gè)問題在2018年的高考中已經(jīng)出現(xiàn)過了.

（2018全國(guó)Ⅰ卷·理科數(shù)學(xué)第12題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得的截面面積的最大值為（ ）.

A.334

B.233

C.324

D.32

分析：如圖3，當(dāng)截面過正方體中心，且與體對(duì)角線垂直的時(shí)候，截面面積最大，此時(shí)截面與正方體各個(gè)棱的交點(diǎn)M，L，K，J，I，N為所在邊的中點(diǎn)，多邊形MLKJIN為正六邊形（如圖4），邊長(zhǎng)為22，其面積可以利用六個(gè)邊長(zhǎng)為22的正三角形來計(jì)算，結(jié)果為334，故選擇A選項(xiàng).

由于圓柱的高為0.01 m，比較小，可以忽略不計(jì)，因此只要考慮直徑為1.2 m的圓是否可以放入正方體內(nèi)即可，也就是正六邊形MLKJIN的內(nèi)切圓（如圖5）直徑是否大于1.2 m.

易得內(nèi)切圓圓心O到邊IJ的距離為64.

同理，圓心O到邊ML的距離也為64，則正六邊形內(nèi)切圓的直徑為62.

因?yàn)?2=1.5>1.2=1.44，所以

直徑為1.2 m的圓可以放入正六邊形MLKJIN中.由于圓柱的高度忽略不計(jì)，因此可得，圓柱可以放入正方體內(nèi).

圓柱的高度忽略不計(jì)這種情況在平時(shí)沒有遇到過，學(xué)生很難想到，即使在看到答案后，也不是完全接受這種作答方法.那么，是否能夠計(jì)算出正方體內(nèi)部可以放入底面直徑為1.2 m的圓柱的最大高度呢？

首先，我們要了解用過正方體體對(duì)角線上一點(diǎn)，且與體對(duì)角線垂直的平面去截正方體，截面有哪些形狀？

截面形狀如圖6、圖7、圖8所示，分別為正三角形、一般六邊形、正六邊形.

當(dāng)截面為正三角形時(shí)，如圖9，截面為△BDG時(shí)面積最大，其內(nèi)切圓直徑為63（小于1.2），并且其最大高度為平面BDG與平面AHF間的距離即為33，故不符合題意.

當(dāng)截面為一般六邊形時(shí)，由正方體的對(duì)稱性可知，其內(nèi)部的圓只能與IJ，LK，MN三邊相切或是與另外的三邊相切，如圖10所示，則圓心O1到正方體中心O的距離即為圓柱高度的一半.

如圖11，設(shè)AC與IJ的交點(diǎn)為P，在△PCO1中，PO1=1.22=0.6，tan∠PCO1=22（可以利用三角形ACE求解此角正切值），則

O1C=PO122=325.

又因?yàn)镺C=32，

所以O(shè)O1=32-325，則圓柱的高最大為232-325≈0.035>0.01，故D選項(xiàng)滿足題意.

當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，點(diǎn)O1與O重合，則圓柱兩個(gè)底面重合，圓柱高度為0，圓柱不存在.

這種計(jì)算圓柱最大高度的方法，思路復(fù)雜，計(jì)算困難，而且要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，對(duì)學(xué)生平時(shí)的知識(shí)積累要求也很高，在考試中不一定是最好的選擇.其實(shí)，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況，分析適合自己的解題方法.比如一般的學(xué)生，應(yīng)該很容易判定選項(xiàng)A正確，那么在高考這種時(shí)間緊迫、壓力巨大的考試中，可以直接選擇選項(xiàng)A，得兩分，比不得分要好得多.有一定能力的學(xué)生可以很容易確定選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)不能判定的時(shí)候以得分為主，以免因錯(cuò)選而不得分.能力較強(qiáng)的學(xué)生可以仿照網(wǎng)上答案的思路，忽略圓柱的高度進(jìn)行分析.

3 變式練習(xí)

半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖12，將棱長(zhǎng)為2的正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)半正多面體，它們的棱長(zhǎng)都相等，若該半正多面體可以在一個(gè)正四面體框架內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體體積最小值為______.

分析：若“阿基米德多面體”可以在正四面體框架內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則此多面體的外接球與正四面體的六條棱均相切，如圖13所示.又因?yàn)檎拿骟w可由正方體截得，所以多面體的外接球即為正方體的內(nèi)切球，如圖14所示.由圖12中可知半正多面體的外接球半徑R=2，圖13中正四面體的棱長(zhǎng)為43，則正四面體的體積V=13Sh=13×12×43×43×32×42=166.

此類題既考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，又考查了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).試題在突出基礎(chǔ)的同時(shí)，又彰顯綜合性要求和創(chuàng)新性要求，有助于推動(dòng)高中課堂教學(xué)的優(yōu)化與改革.