密鋪中的數(shù)學(xué)

日常生活中，我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說(shuō)，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪（鑲嵌）. 我們知道，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能夠拼成一個(gè)平面圖形.

一、 單一正多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪

1. 正n邊形的內(nèi)角度數(shù)

從內(nèi)角和公式考慮：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°，而正n邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，則其度數(shù)為. 從外角和考慮：多邊形的外角和等于360°，正n邊形的每個(gè)外角相等，則每一個(gè)外角的度數(shù)為，所以正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°-.

2. 能單獨(dú)密鋪的正n邊形

幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角. 據(jù)此，單一正n邊形若能密鋪，則周角是正n邊形內(nèi)角的整數(shù)倍，即360°能被整除.

===2+

∵2+為正整數(shù)且n為正整數(shù)，

∴n-2為1或2或4，

即n=3、4、6.

因此，能夠單獨(dú)密鋪的正多邊形僅有正三角形、正四邊形和正六邊形.

現(xiàn)在，我們就能明白為什么不能用正五邊形形狀的材料鋪滿(mǎn)地面，原因是正五邊形的地磚會(huì)留有不少縫隙.

3. 任意全等三角形，任意全等四邊形也可密鋪

我們已經(jīng)知道，正三角形和正四邊形可以單獨(dú)密鋪，其實(shí)，任意全等三角形，任意全等四邊形也可以單獨(dú)密鋪. 由于任意三角形內(nèi)角和都等于180°，所以6個(gè)形狀大小完全相同的三角形就能密鋪，如圖1：

并且可以發(fā)現(xiàn)，三角形的每個(gè)內(nèi)角在每個(gè)拼接點(diǎn)出現(xiàn)兩次，且相等的邊互相重合.

由于任意四邊形的內(nèi)角和等于360°，所以4個(gè)形狀大小完全相同的四邊形也能密鋪，如圖2：

四邊形的每個(gè)內(nèi)角在每個(gè)拼接點(diǎn)出現(xiàn)一次，且相等的邊互相重合.

二、 兩種或兩種以上的正多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪

1. 邊長(zhǎng)相等的正m邊形和正n邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪

其實(shí)質(zhì)仍然是圍繞一點(diǎn)能否拼成周角. 設(shè)A=，B=，假設(shè)邊長(zhǎng)相等的x個(gè)正m邊形、y個(gè)正n邊形能夠密鋪，則Ax+By=360°（x、y都是正整數(shù)），若x、y存在正整數(shù)解，則可以在某頂點(diǎn)密鋪，反之不能.

比如，用兩種邊長(zhǎng)相等的正三角形和正六邊形能否做平面密鋪（在某一頂點(diǎn)處）？

假設(shè)可以用x個(gè)正三角形、y個(gè)正六邊形進(jìn)行密鋪，則60°·x+120°·y=360°，化簡(jiǎn)得x+2y=6. 因?yàn)閤、y都是正整數(shù)，所以只有當(dāng)x=2，y=2或x=4，y=1時(shí)上式才成立，即2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形或4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形可以拼成一個(gè)無(wú)縫隙、不重疊的平面圖形.

用類(lèi)似的方法，我們可以發(fā)現(xiàn)正三角形和正方形可以密鋪，正八邊形和正方形可以密鋪……

2. 邊長(zhǎng)相等的正m邊形、正n邊形和正p邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪

同上，設(shè)A=，B=，C=，假設(shè)邊長(zhǎng)相等的x個(gè)正m邊形、y個(gè)正n邊形、z個(gè)正p邊形能夠密鋪，則Ax+By+Cz=360°（x、y、z都是正整數(shù)），若x、y、z存在正整數(shù)解，則可以在一個(gè)頂點(diǎn)密鋪，反之不能.

比如，等邊長(zhǎng)的正三角形、正方形和正六邊形可以在一個(gè)頂點(diǎn)處密鋪，等邊長(zhǎng)的正方形、正六邊形和正十二邊形也可以，有興趣的同學(xué)可以去試試.

3. 四種及四種以上等邊長(zhǎng)正多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪

由于正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°-，隨著邊數(shù)n的增大，內(nèi)角也隨之增大，即60°→90°→108°→120°→…，顯然60°+90°+108°+120°=378°>360°，所以根本不存在四種及四種以上等邊長(zhǎng)正多邊形在一個(gè)頂點(diǎn)的密鋪.

同學(xué)們，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活處處有數(shù)學(xué). 只要你我細(xì)心觀察，你就能發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)和奧妙.

（作者單位：甘肅省蘭州市蘭煉一校）