一道課本例題的多解探求

學(xué)習(xí)7.2節(jié)時(shí)，我并沒有滿足課本上例題的一種解法，而是在自習(xí)課上想到了多種解法，下面是我的一些解法：

例 如圖1，AB∥CD，∠A=∠D，判斷AF與ED的位置關(guān)系，并說明理由.

教材上說明“AF∥ED”是利用“∠D=∠BED”“∠A=∠D”等量代換到“∠A=∠BED”實(shí)現(xiàn)問題的突破. 我首先想到的是利用“∠A=∠AFC”“∠A=∠D”等量代換到“∠D=∠AFC”，請看：

解法二：AF∥ED.

因?yàn)锳B∥CD，所以∠A=∠AFC.

又∠A=∠D，可得∠D=∠AFC.

所以AF∥ED. 理由仍然是：同位角相等，兩直線平行.

由于平行線的性質(zhì)、識別方法除了基于“同位角”角度外，也可從“內(nèi)錯(cuò)角”或“同旁內(nèi)角”的角度來推導(dǎo).

解法三：基于“同旁內(nèi)角”的角度.

因?yàn)锳B∥CD，所以∠A+∠AFD=180°.

又∠A=∠D，

可得∠D+∠AFD=180°.

所以AF∥ED. 理由是：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

解法四：基于“內(nèi)錯(cuò)角”的角度.

如圖2，延長AF到G，因?yàn)锳B∥CD，所以∠A=∠DFG.

又∠A=∠D，

可得∠D=∠DFG.

所以AF∥ED. 理由是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

反思：老師說幾何問題往往有不同的求解方法，以前我總不以為然，通過這個(gè)例題的多種解法，我發(fā)現(xiàn)，幾何問題確實(shí)很有趣，不同的思考角度往往都能達(dá)到最終的目標(biāo). 看來數(shù)學(xué)真是很奇妙，我還要多花精力去探究其中的奧秘！

劉老師點(diǎn)評：皇甫同學(xué)由教材上這道例題出發(fā)，基于“三線八角”（即同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）的不同視角都獲得了問題的求解，體現(xiàn)了對同一數(shù)學(xué)題求解過程中的“路徑差”，這種“一題多解”“多解歸一”的現(xiàn)象反映出數(shù)學(xué)問題求解的顯著特點(diǎn). 對這道例題來說，像皇甫同學(xué)這樣從不同的角度思考確實(shí)能加深對平行線的性質(zhì)、條件的深刻理解. 順便指出，皇甫同學(xué)在“解法三”和“解法四”中呈現(xiàn)的基于“同旁內(nèi)角”和“內(nèi)錯(cuò)角”的思路，是不是可以找到對應(yīng)的另外方法呢？就把這個(gè)追問或成果擴(kuò)大留給熱心的小讀者吧！

（指導(dǎo)老師：江海人）