“俄羅斯方塊”之?dāng)?shù)學(xué)辨析

說起“俄羅斯方塊”這個(gè)入門級游戲，也許如今許多網(wǎng)游迷并不熟悉，但對于年齡稍長的或骨灰級的玩家而言，當(dāng)初迷戀這個(gè)游戲的程度，用目不轉(zhuǎn)睛和廢寢忘食來形容亦不為過，由此可見“俄羅斯方塊”面世后的魅力和誘惑.這種結(jié)果甚至出乎游戲制作者——電腦工程師阿列克謝·帕基特諾夫的預(yù)料，因?yàn)樗伴_發(fā)的電腦小游戲，無一例外遭受冷遇.1984年夏天他又琢磨起“俄羅斯方塊”，但完成制作后仍缺乏信心.

事實(shí)令他瞠目結(jié)舌——“俄羅斯方塊”在莫斯科迅速流行，并在此后的30年里風(fēng)靡全球.它被移植到了幾乎所有的電腦系統(tǒng)和游戲平臺(tái)上，包括MP3、MP4、手機(jī)、電視，最近甚至有人把它組裝在了T恤上.借助這些日益普及的傳播工具，“俄羅斯方塊”很快成為無人不知無人不玩的經(jīng)典游戲.盡管這個(gè)曾廣為流傳的游戲現(xiàn)在已淡出玩家視線，但細(xì)細(xì)辨析并研究其中蘊(yùn)含的一些數(shù)據(jù)規(guī)律，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，仍具追思意味和現(xiàn)實(shí)意義.

俄羅斯方塊的游戲空間是一個(gè)寬為10、高為20的矩形.游戲里共有7種方塊（如圖）不斷隨機(jī)下落，根據(jù)它們的形狀分別命名為I， J， L， O， S， T， Z.玩家需要調(diào)整變換方塊使之填放到合適位置，被填滿的1行至4行將自動(dòng)消除.一次性消除的行數(shù)越多，得分就越高.

在游戲過程中，一次消去1行得100分…①，一次消去2行得300分…②，一次消去3行得600分…③，一次消去4行得1000分…④，從這些數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)，在各種情況下，每行消去后的得分并不是恒定不變的，換句話說，一次的得分與消掉的行數(shù)的比有所變化.①式中的得分與消掉的行數(shù)的比是100∶1；②式中的得分與消掉的行數(shù)的比是150∶1；③式中的得分與消掉的行數(shù)的比是200∶1；④式中的得分與消掉的行數(shù)的比是250∶1.顯然它們的比值是呈遞增形式的，而且依次增值的數(shù)額是50.這是從單行得分?jǐn)?shù)上去分析的，如果我們從總得分上來分析，可發(fā)現(xiàn)100、300、600、1000的變化規(guī)律是300-100=200，600-300=300，1000-600=400，相鄰兩個(gè)數(shù)間的差額也是呈遞增形式的，而且依次增值的數(shù)額是100.這兩條規(guī)律都說明同一個(gè)事實(shí)：如果一次聚積到2行、3行，甚至是4行消掉的話，那得分會(huì)比一行一行消去的分?jǐn)?shù)要多得多.此游戲就是鼓勵(lì)玩家盡可能拼成完整的幾行一塊兒消去，這樣積分增加的速度會(huì)大大提高.這就是老玩家經(jīng)常大比分獲勝的訣竅所在.

而另一個(gè)令人沮喪的事實(shí)是：隨著被消除總行數(shù)的增加，方塊下落速度會(huì)越來越快.一旦某個(gè)方塊放置后超出了場地高度界限，游戲便告結(jié)束.無論新老玩家，有多少竅門或熟練手法，到最后都無法避免手忙腳亂左右不能顧及的局面，只能在搖頭嘆息中從頭再來.由此，“俄羅斯方塊”引出的第一個(gè)數(shù)學(xué)問題是：如果玩家的技術(shù)足夠高，游戲是否永遠(yuǎn)也不會(huì)結(jié)束？1988年，約翰？布魯托斯基的一篇論文指出，若“S”型和“Z”型方塊以適當(dāng)?shù)拈g隔交替出現(xiàn)時(shí)，游戲區(qū)域中將不可避免地出現(xiàn)越來越多無法消去的行，最終導(dǎo)致游戲結(jié)束.雖然這種情況發(fā)生的概率并不高，但考慮到問題的假設(shè)——游戲的無限操作，這樣的情形肯定會(huì)出現(xiàn)，因此理論上問題的答案是否定的.

如果說以上解釋略顯模糊，那么下面問題的答案就非常確定.“俄羅斯方塊”有7種方塊，每種方塊都由4個(gè)小方格組成，即它們的總面積為28.如果每塊只能用一次，并允許翻轉(zhuǎn)，請問你能用它們拼出4×7的長方形（如圖1）嗎？

對這個(gè)問題的巧妙解答可借助染色策略.即將圖1的每個(gè)小方格用黑白兩色相間染色（如圖2） ，黑白小方格的數(shù)量相同，各14個(gè)，這就表明，七種俄羅斯方塊如果能夠拼成圖2，那么它們蓋住的黑白方格數(shù)必須相等.而對于游戲中7種俄羅斯方塊，稍加試驗(yàn)可知：I， J， L， O， S， Z無論如何擺放，都各蓋住兩個(gè)黑色小方格與兩個(gè)白色小方格，但“T”型方塊無論如何擺放，都一定蓋住一個(gè)黑色小方格和三個(gè)白色小方格或一個(gè)白色小方格和三個(gè)黑色小方格.正由于“T”型方塊所占的黑白格子個(gè)數(shù)始終不等，才導(dǎo)致這7種俄羅斯方塊蓋住的小方格與白色小方格的數(shù)量不可能相等，這就說明用7種俄羅斯方塊拼成圖（1）是不可能的.

不難理解的是，7個(gè)俄羅斯方塊可以拼成圖3，因?yàn)樘厥獾摹癟”型方塊對應(yīng)放在了特殊的位置——突出的一塊.如此一來，這7種俄羅斯方塊恰好能構(gòu)成一個(gè)平面鑲嵌（如果一組幾何圖形能夠既無重疊又無空缺地填滿整個(gè)平面，我們就把它稱作一種平面鑲嵌）.

也正因?yàn)榇?，許多家裝公司的設(shè)計(jì)師別出心裁，把墻磚或地磚做成了圖3平鋪，巧妙運(yùn)用“俄羅斯方塊”給居家生活帶來幾分創(chuàng)意（圖4）.

類似的創(chuàng)意還體現(xiàn)在用“俄羅斯方塊”構(gòu)成的各種趣味拼圖.比如：如何把6個(gè)“L”形狀的方塊擺放在一起，使得每個(gè)“L”恰好都和另外三個(gè)“L”相鄰？（答案如圖5）；怎樣用奇數(shù)個(gè)“L”擺成一個(gè)軸對稱圖形？（如圖6）.這些看起來極易上手，但實(shí)際操作起來卻困難重重的拼圖，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維與空間想象的巧妙新穎.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)師范學(xué)院）