感悟“有理數(shù)”中的數(shù)學(xué)思想方法

掌握數(shù)學(xué)思想方法可以使數(shù)學(xué)知識(shí)更易于理解和記憶，更重要的是，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法有助于形成知識(shí)遷移. 下面結(jié)合具體例題，幫助同學(xué)們梳理《有理數(shù)》這一章中常見的思想方法.

一、 抽象思想

讓我們以數(shù)軸為例來幫助同學(xué)們感受“抽象”.

如圖1，溫度計(jì)對(duì)大家來說都很熟悉.

我們很容易將“溫度計(jì)”進(jìn)一步抽象，用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸（如圖2）.

由此可知，數(shù)軸是一條特殊的直線，注意，它還要滿足以下要求：原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可.

畫數(shù)軸的技術(shù)處理：

（1） 畫直線、定原點(diǎn)：通常原點(diǎn)選在直線中間，若問題中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)較多時(shí)，原點(diǎn)選得靠右些；正數(shù)的個(gè)數(shù)較多時(shí)，原點(diǎn)選得靠左些.

（2） 定方向：通常取原點(diǎn)向右的方向?yàn)檎较?

（3） 定單位長度：選取適當(dāng)?shù)拈L度（如0.5 cm）為單位長度，若要在數(shù)軸上表示0.000 1和-0.000 4，則可取一個(gè)單位長度為0.000 1；在數(shù)軸上表示3 000與-4 000，則可規(guī)定一個(gè)單位長度為1 000.

（4） 標(biāo)數(shù)：在數(shù)軸上依次標(biāo)出1，2，3，4，

-1，-2，-3，-4等各點(diǎn).

二、 轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想，就是將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題. 具體地說，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”問題轉(zhuǎn)化為“簡單”問題.

有理數(shù)的各種運(yùn)算須先確定符號(hào)再計(jì)算絕對(duì)值，而符號(hào)確定以后，絕對(duì)值的計(jì)算就是小學(xué)已經(jīng)學(xué)過的問題. 例如：計(jì)算-2+3= +（3-2）；（-3）×2×（-4）×

-=-

3×2×4×. 這里“3-2”和“3×2×4×”就是小學(xué)學(xué)過的減法和乘法運(yùn)算.

再比如，有理數(shù)的減法運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算. 這就是說，有理數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確地確定符號(hào)，有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用法則將其轉(zhuǎn)化為小學(xué)學(xué)過的加、減、乘、除運(yùn)算. 更徹底一點(diǎn)說，所有運(yùn)算追根究底都是加法運(yùn)算，而加法的本質(zhì)是自然數(shù)的性質(zhì)（逐次加1，即1+1=2，2+1=3，……）.

三、 分類討論

在《有理數(shù)》一章中研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則等，都是將有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三類分別研究的. 分類必須遵循下列兩條原則：（1） 每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2） 分類要做到不重復(fù)、不遺漏. 例如，把有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類就錯(cuò)了，錯(cuò)誤原因是漏掉了零. 再如：

若a，b均為整數(shù)，且滿足a=5，b=3，求a+b的值.

在這個(gè)問題中，根據(jù)絕對(duì)值的定義，a可取兩個(gè)值±5，b也可取兩個(gè)值±3. a=5時(shí)，b可以是±3，同理a=-5時(shí)，b也可以是 ±3，所以共有四種情況：

當(dāng)a=5，b=3時(shí)，a+b=8；

當(dāng)a=5，b=-3時(shí)，a+b=2；

當(dāng)a=-5，b=3時(shí)，a+b=-2；

當(dāng)a=-5，b=-3時(shí)，a+b=-8.

（作者單位：江蘇省海門市東洲中學(xué)）