高中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的教學(xué)策略

賈良才

數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、法則的進(jìn)一步抽象與概括，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，借助它可以方便地思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)捷地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括和數(shù)學(xué)推理。因此，數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性是造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的又一個(gè)主要原因之一。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)符號(hào)主要是：“加、減、乘、除”運(yùn)算符號(hào)；“大于、等于、小于、約等于、不等”等關(guān)系符號(hào)；用字母表示數(shù)；還有少量的概念符號(hào)：如：冪、三角函數(shù)、算術(shù)根等。高中階段的數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了大量的抽象的概念符號(hào)，還有一些新的運(yùn)算符號(hào)。例如，在高一數(shù)學(xué)第一章中就會(huì)遇到各種常見(jiàn)數(shù)集的列舉法表示，描述法表示，集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算符號(hào)；第二章中，函數(shù)符號(hào)f（x）、函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的符號(hào)化定義、冪的符號(hào)、對(duì)數(shù)的符號(hào)以及這些符號(hào)表示的運(yùn)算公式等等。學(xué)生在面對(duì)大量的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言時(shí)，往往感到不理解甚至于恐懼。對(duì)于中等水平的學(xué)生，進(jìn)入高中后數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)幾乎成為他們學(xué)習(xí)的一個(gè)最大困難。因?yàn)閿?shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的心理過(guò)程是一個(gè)從感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程。學(xué)生不僅要理解符號(hào)引進(jìn)的必要性，還要理解符號(hào)的內(nèi)涵，更要熟練掌握它的用法，這樣才能達(dá)到理性認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)策略有以下兩點(diǎn)：

一、注重理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義

從客觀(guān)上看，數(shù)學(xué)中大量的概念、公理、定理、法則等等是由符號(hào)來(lái)表示的。概念、公理、定理、法則等本身就是從眾多規(guī)律、現(xiàn)象中概括總結(jié)出來(lái)的，勢(shì)必會(huì)很抽象，而符號(hào)又是這些概念、定理的外在的表現(xiàn)形式，因此從某種意義上說(shuō)更加抽象。要使學(xué)生能夠接受并理解這種高度抽象性的符號(hào)，教學(xué)時(shí)就必須采用生動(dòng)有趣、通俗易懂的語(yǔ)言，從具體的描述性語(yǔ)言開(kāi)始，逐步抽象成比較簡(jiǎn)約的語(yǔ)言。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究中引進(jìn)符號(hào)的必要性和優(yōu)越性，理解數(shù)學(xué)概念及其符號(hào)表示，明確符號(hào)的條件，熟練掌握符號(hào)變換的規(guī)則。理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義需要經(jīng)歷從具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

1.使學(xué)生經(jīng)歷概念的符號(hào)化過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)符號(hào)的必要性和優(yōu)越性

我們知道數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)需要一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，使學(xué)生在經(jīng)歷概念的符號(hào)化過(guò)程中逐步感受引進(jìn)符號(hào)的必要性和優(yōu)越性，首先，讓學(xué)生從心理上去接受數(shù)學(xué)符號(hào)；其次，從大量的具體的數(shù)字開(kāi)始，逐步抽象概括為用字母表示，幫助學(xué)生完成從感性到理性的過(guò)渡，這可以有效地減少學(xué)生接受的困難程度。

2.重視對(duì)比、辨析，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)

要引導(dǎo)學(xué)生將新的數(shù)學(xué)符號(hào)與相關(guān)的舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，分析它們的聯(lián)系與區(qū)別。

3.注意數(shù)學(xué)符號(hào)的隱含意義

由于數(shù)學(xué)符號(hào)常常與特定概念聯(lián)系在一起，是概念的形式化表征，往往具有一定的使用條件，要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)學(xué)符號(hào)的隱含意義。

4.注意某些數(shù)學(xué)符號(hào)的多義性

在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展的過(guò)程中，某些數(shù)學(xué)符號(hào)被賦予了許多意義，如果不準(zhǔn)確理解和判斷其本質(zhì)含義，就會(huì)出現(xiàn)推理和證明上的混亂。例如，有序數(shù)對(duì)（a，b）就是具有多義性的一種數(shù)學(xué)符號(hào)，它可以表示直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)向量的坐標(biāo)，還可以表示一個(gè)開(kāi)區(qū)間，初中還用它來(lái)表示a，b的最大公約數(shù)。

5.使用大量豐富的背景材料促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)涵的理解，就是要建立簡(jiǎn)約化的數(shù)學(xué)符號(hào)與其所表征的數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。在其中我們既要注意概念與實(shí)際對(duì)象的聯(lián)系，又要注意概念與相應(yīng)符號(hào)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理解每個(gè)符號(hào)的含義與實(shí)質(zhì)。

二.數(shù)學(xué)符號(hào)的掌握需要一個(gè)長(zhǎng)期滲透與使用的過(guò)程

1.注意后續(xù)的掌握需要一個(gè)長(zhǎng)期滲透與使用的過(guò)程

學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)符號(hào)后，即使當(dāng)時(shí)已經(jīng)理解了符號(hào)的含

義，若在后續(xù)學(xué)習(xí)中長(zhǎng)期不加使用，就會(huì)逐漸淡忘數(shù)學(xué)符號(hào)的含義。比如對(duì)數(shù)符號(hào)及其運(yùn)算公式，特別是常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)符號(hào)更容易忘記。還有些數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵理解需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)與練習(xí)中去反復(fù)強(qiáng)化，要引導(dǎo)學(xué)生把符號(hào)與其所表征的內(nèi)涵緊密聯(lián)系在一起，提升對(duì)符號(hào)的整體認(rèn)識(shí)。

2.在后續(xù)學(xué)習(xí)中注意實(shí)現(xiàn)符號(hào)語(yǔ)言與自然語(yǔ)言的互譯

用符號(hào)化的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，對(duì)正確理解題意、理清解題思路、進(jìn)行思維推理非常重要。使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言可使數(shù)學(xué)思想的表述與交流更方便，同時(shí)也可使問(wèn)題的實(shí)質(zhì)得到揭示。這里包括兩個(gè)方面的問(wèn)題：①將自然語(yǔ)言改用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，例如，自然語(yǔ)言“函數(shù)f（x）是個(gè)偶函數(shù)”可用符號(hào)語(yǔ)言表示為“f（x）=f（-x）”；自然語(yǔ)言“y=f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y=kx+1上方”可用符號(hào)語(yǔ)言表示為

“f（x）>kx+1恒成立”；自然語(yǔ)言“函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）交于點(diǎn)A（x1，y1）”可用符號(hào)語(yǔ)言表示為“f（x）=g（x）”等等。②需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中反復(fù)將符號(hào)還原為其原來(lái)的含義。例如，符號(hào)“f（2-x）=f（2+x）”的含義是函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=2成軸對(duì)稱(chēng)；f（a）f（b）<0說(shuō)明連續(xù)函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點(diǎn)等等。

教學(xué)實(shí)踐證明如在教學(xué)中能經(jīng)常注意這兩方面的訓(xùn)練，將會(huì)有效加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解。

（作者單位 甘肅省渭源縣教育體育局教研室）

編輯 楊兆東