淺析初中生學(xué)習(xí)函數(shù)的困惑

彭秋怡

摘 要：函數(shù)是初中學(xué)生最怕學(xué)、最難學(xué)的內(nèi)容之一。學(xué)生對函數(shù)概念的理解和記憶是學(xué)習(xí)函數(shù)的一大障礙。學(xué)生需要在文字語言、幾何語言與代數(shù)語言之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，是貫穿函數(shù)學(xué)習(xí)始終的一個難點(diǎn)，從應(yīng)用的角度來說，數(shù)學(xué)模型又是函數(shù)的一個難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)模型

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，更是中考中主要考查內(nèi)容之一，初中函數(shù)是對初中知識的概括和總結(jié)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中知識的基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高中數(shù)學(xué)知識的紐帶，是變量數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)的滲透。然而，它也恰恰是學(xué)生最怕學(xué)、感到最難學(xué)的內(nèi)容之一。學(xué)生為什么會有這樣的感覺，到底函數(shù)難在何處？教師又要如何幫助他們走出困境？學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)困難的原因主要體現(xiàn)在以下三個方面。

一、初中生要習(xí)慣從“數(shù)”的角度思考

從“質(zhì)樸單純”的自然數(shù)，到不可思議的無理數(shù)，數(shù)一直伴隨初中生長大。所以很自然地把函數(shù)理解成數(shù)。其實(shí)，函數(shù)不是數(shù)，就像蝸牛不是牛，傻瓜不是瓜一樣，它既不是有理數(shù)，也不是無理數(shù)，而是在一個變化過程中，兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)的研究對象是一個變化過程中的兩個變量（x、y）以及它們之間的對應(yīng)關(guān)系。

二、函數(shù)的顯著特征是概念抽象

學(xué)生對函數(shù)概念的理解和記憶是學(xué)習(xí)函數(shù)的一大障礙。函數(shù)概念是初中階段最抽象的概念之一，往往學(xué)生學(xué)完一個章節(jié)后大部分學(xué)生對該章節(jié)的概念仍模糊不清，對其與實(shí)際的應(yīng)用也不甚了解，所以在學(xué)習(xí)函數(shù)初始階段多少都會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；加之學(xué)生對函數(shù)的概念、性質(zhì)及有關(guān)的結(jié)論缺乏理解，忽視數(shù)形結(jié)合，從而導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)圖形不熟悉，進(jìn)一步造成學(xué)習(xí)上的障礙。

三、在文字語言、幾何語言與代數(shù)語言之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換是貫穿學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)始終的一個難點(diǎn)

大部分學(xué)生都能輕松自如地使用代數(shù)語言，但對幾何語言就不習(xí)慣，不能靈活、有效地運(yùn)用。新教材更加注重?cái)?shù)與式、式與形之間的結(jié)合。因此，在教學(xué)中應(yīng)始終提倡學(xué)生學(xué)會作圖，習(xí)慣作圖，作正確的圖，多強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象的數(shù)形結(jié)合，從數(shù)、式、形等不同的角度充分認(rèn)識函數(shù)。函數(shù)圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)換，要求學(xué)生能靈活自如地運(yùn)用，但學(xué)生往往是用代數(shù)方法或幾何方法后，就陷入其中，不能從一種形式迅速轉(zhuǎn)換到另一種形式。對于這種既要進(jìn)行圖形分析又要進(jìn)行代數(shù)問題分析，學(xué)生在思維方式及習(xí)慣等方面確實(shí)存在轉(zhuǎn)換問題的困難。

四、從應(yīng)用的角度來說，數(shù)學(xué)模型又是函數(shù)學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)

在現(xiàn)實(shí)生活中，函數(shù)知識能夠幫助我們解決許多問題，新教材函數(shù)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，突出實(shí)際問題的解決，應(yīng)用非常廣泛。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下，現(xiàn)行教材加入很多與實(shí)際生活相關(guān)的例子，其中有很多例子是在描述某個數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程或是在生活中的應(yīng)用，這使得數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系更加緊密，但由于地區(qū)之間經(jīng)濟(jì)差距以及城鄉(xiāng)差別，某些例子在某些地區(qū)學(xué)生并不熟悉，所以造成學(xué)生理解困難。其實(shí)，從新課程的理念來看也并不是非要講教材中的例子，某些例子可以根據(jù)實(shí)際情況換成適合的例子，從現(xiàn)實(shí)生活中出發(fā)，學(xué)生會產(chǎn)生濃厚的興趣。如：

1.我們學(xué)校正在規(guī)劃球場，要在校園內(nèi)劃出一塊面積是400 m2的長方形土地做球場，設(shè)這個長方形相鄰兩邊的長分別為x m和y m，其中，x受建高鐵的影響，最大取40 m，最小取20 m，則y的取值范圍是 。

2.你吃過拉面嗎？實(shí)際上在做拉面的過程中就滲透著數(shù)學(xué)知識，一定體積的面團(tuán)做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細(xì)（橫截面積）S（mm2）的反比例函數(shù)，如圖1所示：

（1）寫出y與S的函數(shù)關(guān)系式：

（2）求當(dāng)面條粗1.6 mm2時，面條的總長度是多少米？

五、函數(shù)與各類知識間的聯(lián)系

新教材函數(shù)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，突出實(shí)際問題的解決，函數(shù)與各類知識間的聯(lián)系。比如：用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程（組）、不等式，新教材對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)提出了更高的要求。

例如：如圖2，已知A（-4，2）、B（n，-4）

是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=■的圖象的兩個交點(diǎn)；

（1）求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；

（3）求△AOB的面積。

分析：其中的第（2）（3）問始終是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是第（2）問，不能從圖象中形象看出。

六、函數(shù)存在的范圍

自變量的取值決定于函數(shù)關(guān)系式本身和函數(shù)所反映的現(xiàn)實(shí)意義。

解決困惑的對策下面以求一次函數(shù)的解析式為例尋求突破口，讓學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識。

教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)提問

（1）什么是一次函數(shù)？一次函數(shù)的表達(dá)式中關(guān)鍵的量是什么？

（2）在一次函數(shù)中為什么要求k≠0？

（3）在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中，k、b的值能確定一次函數(shù)圖象所在的象限嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這些問題的目的是承上啟下，讓教師了解學(xué)生是否具備了教學(xué)所需的基礎(chǔ)知識，對能否順利完成本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容做到心中有數(shù)。】

2.導(dǎo)入新課

如圖3，BA、OA分別表示甲、乙兩人進(jìn)入賽跑訓(xùn)練時路程y（米）與時間x（秒）的函數(shù)圖象。求：

（1）甲、乙兩人進(jìn)行的是多少路程的比賽？

（2）甲比乙晚出發(fā)多少秒，結(jié)果兩人同時到達(dá)；

（3）求出線段OA、AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式。

【設(shè)計(jì)意圖：將函數(shù)圖象與實(shí)際問題結(jié)合在一起，讓學(xué)生顯示識圖的能力。】

3.探索新知

一次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時b=0，因而，可設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式是y=kx，然后代入另一個已知條件求解。

根據(jù)前面研究的一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能求出一次函數(shù)的表達(dá)式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以自己思考，也可以小組相互研究，目的就是讓學(xué)生靈活應(yīng)用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合方法，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈需求，這有利于真正體現(xiàn)學(xué)生的主體、教師的主導(dǎo)作用?！?/p>

4.練習(xí)（題型歸納、整理如下）

（1）已知一次函數(shù)y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)（4，-1），求一次函數(shù)的表達(dá)式。

（2）已知一次函數(shù)y=■x+b經(jīng)過點(diǎn)（2，5），求一次函數(shù)的表達(dá)式。

（3）已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，3），求這個正比例函數(shù)的表達(dá)式及當(dāng)x=-■時，y的值是多少？

（4）已知一次函數(shù)y=kx+b中，x與y的對應(yīng)值如右表，求一次函數(shù)的表達(dá)式；

■

（5）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖4，求一次函數(shù)的表達(dá)式。

■

【設(shè)計(jì)意圖：在表中、圖中讀取數(shù)據(jù)信息是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時的一個難點(diǎn)。在解決圖象分析題時，教師應(yīng)多講對圖象的分析方法，引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注圖象中的關(guān)鍵點(diǎn)及其坐標(biāo)，由形轉(zhuǎn)化為數(shù)，建立方程，從而使問題得到解決，真正將數(shù)形有機(jī)地結(jié)合在一起?！?/p>

5.學(xué)生反饋中的資源在互動中，教師要真誠地傾聽學(xué)生在課堂中的聲音，尤其是學(xué)生的見解，體會和把握學(xué)生的思維動向，及時敏銳地從學(xué)生反饋信息中捕捉有效的教學(xué)資源，相機(jī)引導(dǎo)。例、習(xí)題的互動，是一個完善學(xué)生的思維，是糾錯解惑的過程，是潛移默化地提高學(xué)生思維能力的過程，是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用的過程。

6.課堂小結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)小結(jié)應(yīng)從三個方面歸納學(xué)習(xí)的收獲。

（1）知識與技能方面；（2）過程與方法方面；（3）情感態(tài)度價值觀方面。

在學(xué)生充分表達(dá)意見的基礎(chǔ)上，教師點(diǎn)明本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：

①確定一次函數(shù)表達(dá)式。

②方法：A.轉(zhuǎn)化，建立數(shù)學(xué)模型；B.數(shù)形結(jié)合。

【設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)可以促進(jìn)學(xué)生梳理本節(jié)課的知識，真正將所學(xué)知識納入自己的知識體系中，做到知識內(nèi)化，轉(zhuǎn)化為能力?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]常磊.如何備好一堂數(shù)學(xué)課.華東師范大學(xué)出版社，2009-10.

[2]王術(shù)江，苗春艷.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的幾點(diǎn)注意.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（8）.

（作者單位 廣東省東莞市沙田廣榮中學(xué)）

編輯 溫雪蓮