關(guān)于二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究

鐘學(xué)敏

【摘要】 新課程標(biāo)準(zhǔn)改革以來，高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了不斷地更新，很多新內(nèi)容被添加到課本中。在本論文中，筆者首先簡(jiǎn)單介紹了一些二元一次不等式（組）的相關(guān)知識(shí)，然后介紹一下自己多年以來對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】 二元一次不等式 平面區(qū)域 學(xué)習(xí)方法

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2014）10-077-010

作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容之一，二元一次不等式確定平面區(qū)域這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)會(huì)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提高產(chǎn)生十分重要的影響。二元一次不等式本是高中數(shù)學(xué)中代數(shù)部分的重要內(nèi)容，由標(biāo)題就可以看出，在這一章中，教材編寫者用幾何知識(shí)來表示代數(shù)式的解集。幾何知識(shí)點(diǎn)解集代數(shù)問題，為學(xué)生開辟了新的解題思路，促進(jìn)了其綜合素質(zhì)的提高。新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這一章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提出了新的要求：一是充分了解二元一次不等式的幾何意義，二是能夠用平面區(qū)域來表示二元一次不等式或二元一次不等式組。結(jié)合自己多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域這部分的內(nèi)容進(jìn)行了全面的分析和了解，并對(duì)其解題方法進(jìn)行了相關(guān)探究。

1. 二元一次不等式（組）概述

二元一次不等式的學(xué)習(xí)，是建立在一元一次不等式的基礎(chǔ)之上的，兩者的基本知識(shí)點(diǎn)有很多的相通之處。所謂一元一次不等式，就是形如3x-4>12的不等式。也就是說，在一元一次不等式中，只有一個(gè)未知數(shù)x，未知數(shù)的冪數(shù)必須是1，并且要用不等號(hào)來表示前后兩者之間的關(guān)系。由此可以推斷，二元一次不等式中一定是有兩個(gè)未知數(shù)的，而且前后兩者的關(guān)系必須要用不等號(hào)（>，<等）來表示，例如，3x+2y<15。所謂的二元一次不等式組，就是指由兩個(gè)這樣的不等式形成的組合。

與二元一次方程的解法相類似，二元一次不等式組的解并不是某個(gè)特定的數(shù)字，而是形如x>3，y<4這樣的答案。當(dāng)然，如果求二元一次不等式組的解的話，同學(xué)們只要算到這一步就算是解完了。但是，我們必須意識(shí)到一點(diǎn)，這樣的表示方法并不形象，學(xué)生們并不知道二元一次不等式組答案的真正含義。為了使答案更直觀、更形象，很多數(shù)學(xué)教師都進(jìn)行了不懈的努力和研究，最后他們發(fā)現(xiàn)用幾何圖形（平面直角坐標(biāo)系）來表示二元一次不等式組的解集是一個(gè)不錯(cuò)的辦法。所以，用二元一次不等式來確定平面區(qū)域這塊知識(shí)點(diǎn)如何更加直觀的表現(xiàn)出來，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)起來才能輕松。

2. 教學(xué)方法分析

在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，為了使學(xué)生們更加輕易地融入到學(xué)習(xí)過程中，筆者首先創(chuàng)設(shè)了一定的問題情境：某銀行3月份計(jì)劃投入2600000元用于企業(yè)或者個(gè)人貸款，并希望這筆資金為本單位帶來至少40000元的收益，其中預(yù)定從企業(yè)貸款中獲益10%，從個(gè)人貸款中獲益8%，那么銀行應(yīng)該如何分配自己的資金呢？之后學(xué)生們進(jìn)行小組自由討論，然后筆者讓某個(gè)學(xué)生進(jìn)行回答，其答案如下：設(shè)該銀行用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元，那么可以列出不等式x+y≤2600000，x×10%+y×8%≥40000.

當(dāng)該同學(xué)回答完畢之后，筆者要對(duì)該學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)，并再次向他們提出問題：怎樣求出x或y的值或者取值范圍。當(dāng)學(xué)生們感到這方面的知識(shí)困惑時(shí)，筆者引入本堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：二元一次不等式確定平面區(qū)域。

3. 二元一次不等式組確定平面區(qū)域的教學(xué)過程

用二元一次不等式確定平面區(qū)域，怎樣才能更加簡(jiǎn)便地找出我們所要求的具體區(qū)域呢？筆者與同學(xué)們共同學(xué)習(xí)了課本上的例題：畫出不等式2x+y-6<0表示的平面區(qū)域。以下是筆者的具體教學(xué)過程：

第一步，先做出一個(gè)平面直角坐標(biāo)系標(biāo)有x軸和y軸。然后先畫出2x+y-6=0的這條直線，然后再選取其小于0的部分，下圖部分則為該題目的解集圖形：

為了讓學(xué)生們更加容易地作出該不等式的圖像，筆者從多方面進(jìn)行了探索：第一，從x的系數(shù)來看，在本題目中x的系數(shù)為2，大于0，又因?yàn)榇瞬坏仁阶笥覂蛇叺年P(guān)系用小于號(hào)表示，則x的系數(shù)與整個(gè)不等式的符號(hào)是不同的，這時(shí)我們選取了2x+y-6=0直線的左面部分。第二，從y的系數(shù)來看，系數(shù)為1，大于0，而不等號(hào)為小于號(hào)，兩個(gè)符號(hào)仍然互異，選取的是直線下面的部分。此后，筆者又對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了多次驗(yàn)證，并對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法進(jìn)行了總結(jié)：這些方法都首先要做出這條直線的圖象。

第一種方法：用點(diǎn)來判斷不等式圖像的方法。同學(xué)們可以帶入直線左右兩邊的數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證，如果該數(shù)字帶入之后，不等號(hào)左右兩邊的關(guān)系并不成立，則該不等式的圖像應(yīng)該在該點(diǎn)所在區(qū)域的對(duì)立區(qū)域。

第二種方法：用x的系數(shù)來判定不等式的圖像。我們?nèi)匀灰弥本€定邊界，然后看x的系數(shù)（是大于0，還是小于0）與不等號(hào)（大于號(hào)，還是小于號(hào)）的關(guān)系，如果兩者符號(hào)相同，則直線上方的區(qū)域?yàn)椴坏仁降慕饧瘓D像。假設(shè)兩者出現(xiàn)符合不相同，那么這條直線的下方區(qū)域就是我們所要求的區(qū)域。

第三種方法：用y的系數(shù)來判定不等式的圖像，該方法與第二種方法基本相同。如果y系數(shù)與不等號(hào)方向是相同的，那么以直線定邊界，直線右面部分是解集圖像。如果兩者符號(hào)不同，則直線左面部分是解集圖像。

相比課本上提到的以點(diǎn)來判斷不等式圖像的方法來說，用x或y的系數(shù)與不等號(hào)的關(guān)系來判定圖像區(qū)域的方法更為簡(jiǎn)便，值得推廣。

4. 總結(jié)

翻閱歷年的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)二元一次不等式確定平面區(qū)域這部分的內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容。為了取得較好的成績，提高自己數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和應(yīng)用能力，學(xué)生必須努力探究新的學(xué)習(xí)方法，不斷提高自己的學(xué)習(xí)效率和效果。而作為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要指導(dǎo)者，數(shù)學(xué)教師必須采用先進(jìn)的教學(xué)方法，提高自己課堂教學(xué)的有效性。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]劉洪見.對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高考數(shù)學(xué)），2011（5）.

[2]宋波.確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的另一種簡(jiǎn)易方法[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（1）.