“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”“支架式”教學(xué)模式的應(yīng)用研究

何娟娟

【摘要】 “支架式”的教學(xué)方法有別于傳統(tǒng)灌輸型的教學(xué)方法，它的特點(diǎn)是教師要引導(dǎo)學(xué)生積極探索，為了讓學(xué)生擁有探索方向、減少學(xué)生的探索困難，教師要由低至高，一級(jí)一級(jí)的搭好支架，以這種方式學(xué)習(xí)，學(xué)生在登上該知識(shí)的頂峰時(shí)，就能對(duì)這類知識(shí)有非常詳盡的了解.只要合理地應(yīng)用這種方法，教師就能達(dá)到自己的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo).本文闡述了“支架式”教學(xué)模式的概念以及教學(xué)方法的使用意義、“支架式”教學(xué)模式在“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”的運(yùn)用以及教學(xué)方法應(yīng)用的流程、教學(xué)方法應(yīng)用的要點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 支架式教學(xué)；函數(shù)；連續(xù)性；間斷性；應(yīng)用

一、“支架式”教學(xué)模式的概念以及教學(xué)方法使用的意義

在傳統(tǒng)的教學(xué)方法中，數(shù)學(xué)教師以灌輸式的教學(xué)方法讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，教師直接告訴學(xué)生數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、公式應(yīng)用等，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)貌似聽懂了，但是實(shí)際應(yīng)用時(shí)發(fā)現(xiàn)自己根本不知識(shí)該用什么公式，或者應(yīng)用公式時(shí)不會(huì)舉一反三.就以一個(gè)腳手架作比方，現(xiàn)在學(xué)生在一棟樓的底下，教師用一根繩把學(xué)生直接吊到樓頂上去，學(xué)生省略了爬每棟樓的過(guò)程，所以他們對(duì)這棟樓的了解只有一知半解，不能了解這棟樓的全貌.而所謂的“支架式”教學(xué)法，實(shí)際上是教師為學(xué)生搭好上樓的樓梯，學(xué)生一邊爬樓一邊探索自己想要了解的風(fēng)景，等到學(xué)生爬到樓頂時(shí)，就會(huì)對(duì)這棟樓有比較全面的了解.這種引導(dǎo)學(xué)生探索的教學(xué)方法能提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)效率.

二、“支架式”教學(xué)模式的概念以及教學(xué)方法應(yīng)用的流程

現(xiàn)以“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”教學(xué)流程來(lái)說(shuō)明“支架式”教學(xué)方法：

教師要引導(dǎo)學(xué)生用“支架”的方式完成學(xué)習(xí)，就要先設(shè)計(jì)好教學(xué)目標(biāo)，教師了解自己的教學(xué)目標(biāo)后，在教學(xué)時(shí)才會(huì)知道應(yīng)該如何搭階梯引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”教學(xué)的目標(biāo)包含知識(shí)目標(biāo)、素質(zhì)目標(biāo)、情感目標(biāo).

知識(shí)目標(biāo)：教師要讓學(xué)生理解“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”概念，能對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類，能靈活應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性與間斷性對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析.

素質(zhì)目標(biāo)：在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生用化歸思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，用建模思想完善自己的知識(shí)系統(tǒng)，用寬廣的思路應(yīng)用函數(shù)的問(wèn)題.

情感目標(biāo)：用“支架式”的教學(xué)方法讓學(xué)生對(duì)探索知識(shí)更感興趣.

1.“支架式”教學(xué)模式的課堂導(dǎo)入

“支架式”的教學(xué)方法是一種引導(dǎo)學(xué)生探索的教學(xué)方法，它要求教師在讓學(xué)生探索知識(shí)以前引導(dǎo)學(xué)生一個(gè)方向，學(xué)生只要結(jié)合以前學(xué)過(guò)的舊知識(shí)就能探索出需要了解的新知識(shí).這種導(dǎo)入方法即為“支架式”教學(xué)模式.

比如，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生解釋一首詩(shī)歌：“少小離家老大回，鄉(xiāng)音未改鬢毛衰.兒童相見不相識(shí)，笑問(wèn)客從何處來(lái).”教師讓學(xué)生解釋這首詩(shī)的意思，學(xué)生說(shuō)，這是一個(gè)人很久沒(méi)有回到家鄉(xiāng)，等到有一天回去以后發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)不是原來(lái)的自己，家鄉(xiāng)的孩童都把自己當(dāng)客人.教師引導(dǎo)學(xué)生思考他的容貌是一天改變的嗎？學(xué)生回答不是.教師說(shuō)，如果是他身邊朝夕相處的人會(huì)怎么看待他呢？學(xué)生回想到身邊的人、事、物，回答教師說(shuō)如果是身邊朝夕相處的人不會(huì)感受到他有變化，但是有一天，發(fā)現(xiàn)他頭發(fā)也白了，胡子也白了的時(shí)候，會(huì)感慨說(shuō)，我們都老了.教師說(shuō)，那么他是那一天變老的，以前從來(lái)沒(méi)有變老嗎？學(xué)生回答說(shuō)他每天都在變老，但是他的變化太微小，他身邊的人沒(méi)有察覺，只有看到他身上發(fā)生質(zhì)的變化時(shí)才真正感覺到他變老了.教師引導(dǎo)學(xué)生開始觀察“函數(shù)的間斷性與連續(xù)性”.

從以上“支架式”教學(xué)應(yīng)用中可以看到如果教師直接給學(xué)生講解“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”知識(shí)，學(xué)生可能不理解自己到底要學(xué)習(xí)什么，也可能會(huì)因?yàn)橛X得新知識(shí)太復(fù)雜而對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)不感興趣.教師應(yīng)用以前學(xué)生學(xué)過(guò)的詩(shī)歌讓學(xué)生思考，這既給學(xué)生定義一個(gè)學(xué)習(xí)框架，同時(shí)也讓學(xué)生有思考的方向，學(xué)生會(huì)減少探索的難度.

2.“支架式”教學(xué)模式的課堂引導(dǎo)

（1）概念的引導(dǎo)

教師引導(dǎo)學(xué)生寫出以下描述的公式，并畫出坐標(biāo)關(guān)系圖：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自 變量x由x0變到x0+Δx時(shí)，函數(shù)y則由f（x0）變?yōu)閒（x0+Δx）.

圖1函數(shù)關(guān)系表達(dá)式 學(xué)生畫出關(guān)系表達(dá)式，通看圖1，并 求出函數(shù)y的變化為Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)函數(shù)的規(guī)律，要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這個(gè)函數(shù)的規(guī)律，學(xué)生結(jié)合過(guò)去學(xué)習(xí)的舊知識(shí)得到結(jié)論：

設(shè)變量u由初值u1變化到終值u2，它的終值與初值之差為u2-u1，即Δu=u2-u1.教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考，舉出滿足這個(gè)規(guī)律的函數(shù)例子.學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系以鏡像的方式也同樣成立，Δu可為正也可為負(fù)，當(dāng)Δu>0時(shí)，u的變化是增大的，反之，Δu<0時(shí)，u的變化是減小的.教師引導(dǎo)學(xué)生理解滿足該函數(shù)關(guān)系的即為函數(shù)的增量.

教師引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)函數(shù)的變化特征，學(xué)生認(rèn)為這個(gè)函數(shù)每個(gè)數(shù)值變化都很微小，可是它一直在變化，同時(shí)，函數(shù)變化的每個(gè)數(shù)值都滿足函數(shù)表達(dá)式的關(guān)系.教師引導(dǎo)學(xué)生理解到這就是函數(shù)的連續(xù)性.

在這段教學(xué)中，教師用學(xué)生以前學(xué)過(guò)的舊知識(shí)開始學(xué)習(xí)新知識(shí)，這是教師為學(xué)生搭的階梯，學(xué)生跳上階梯后，觀察新知識(shí)的特點(diǎn)，通過(guò)學(xué)生自己的觀察和探索，他們自己總結(jié)出新知識(shí)的規(guī)律，得到數(shù)學(xué)概念.由于這個(gè)知識(shí)的形成是學(xué)生自己探索得到的，所以學(xué)生能對(duì)概念有很深的理解.

在學(xué)生掌握了概念以后，就要讓學(xué)生掌握與知識(shí)相關(guān)的定理，教師可以繼續(xù)以搭階梯的方式，讓學(xué)生完成函數(shù)描述以后，自己畫出函數(shù)的關(guān)系圖，自己總結(jié)每個(gè)函數(shù)描述式的必然規(guī)律.經(jīng)過(guò)這樣的引導(dǎo)，學(xué)生能完成函數(shù)增量的定理學(xué)習(xí).

（2）規(guī)律的引導(dǎo)

學(xué)生完成概念的學(xué)習(xí)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)變化的規(guī)律，在這個(gè)過(guò)程中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的多種能力.

比如以上的教學(xué)過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)完定理后，可以給學(xué)生一個(gè)例子，讓學(xué)生觀察這個(gè)函數(shù)的特征：

函數(shù)y= x2-1 x-1 在點(diǎn)y=1沒(méi)有意義，然而lim x→1 x2-1 x-1 =lim x→1 （x+1）=2，畫出它的函數(shù)關(guān)系圖.學(xué)生畫出該函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為圖2，教師引導(dǎo)學(xué)生觀看該函數(shù)與以上的連續(xù)性函數(shù)有什么區(qū)別？學(xué)生發(fā)現(xiàn)該函數(shù)不是每個(gè)表達(dá)式都滿足同一個(gè)函數(shù)關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生理解這就是函數(shù)的間斷性.教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考除了圖2這種間斷性的關(guān)系以外，它們還可能存在哪種間斷性的關(guān)系？有些發(fā)散性思維很強(qiáng)的學(xué)生畫出圖3、圖4、圖5四種關(guān)系圖.教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)公式描述出四種關(guān)系.

圖2 圖3

圖4 圖5

函數(shù)間斷性分類圖

教師引導(dǎo)學(xué)生以上面的圖形為基礎(chǔ)，思考以上四種間斷性函數(shù)有什么共同的特征，學(xué)生總結(jié)到：

f（x）在一個(gè)區(qū)域范圍內(nèi)有定義，然而在另一個(gè)區(qū)域范圍內(nèi)沒(méi)有定義或者不存在lim x→x0 f（x）≠f（x0），造成函數(shù)不連貫，教師引導(dǎo)學(xué)生理解這就是函數(shù)的間斷性.

教師引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方法描述間斷性函數(shù)的特征，學(xué)生總結(jié)的結(jié)果如下：

教師在引導(dǎo)學(xué)生理解連續(xù)性函數(shù)后，開始引導(dǎo)學(xué)生觀察間斷性函數(shù)，這種引導(dǎo)學(xué)生一層一層探索的方法就是“支架式”的教學(xué)方式.由于學(xué)生已經(jīng)有前面的知識(shí)為基礎(chǔ)，且有一定的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)，這就是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的階梯，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面學(xué)習(xí)的知識(shí)來(lái)繼續(xù)探索間斷性函數(shù)的概念并引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)散性的思維方式探索，引導(dǎo)學(xué)生用化歸的方式探索，在這個(gè)探索過(guò)程中，學(xué)生不僅能學(xué)習(xí)到需要學(xué)習(xí)的知識(shí)，還能培養(yǎng)思維能力.

（3）應(yīng)用的引導(dǎo)

教師在引導(dǎo)學(xué)生了解所有的概念和定理后，要通過(guò)應(yīng)用了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況，如果學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)有缺陷，教師需要引導(dǎo)學(xué)生完善前面的知識(shí).

在教師引導(dǎo)學(xué)生理解了增量、連續(xù)性函數(shù)與間斷性函數(shù)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極限的知識(shí).該知識(shí)是前面知識(shí)的綜合應(yīng)用，教師可以從較容易的習(xí)題，讓學(xué)生由淺入深地探索并思考.

習(xí)題1：下列函數(shù)在哪些點(diǎn)處間斷？說(shuō)明這些間斷點(diǎn)的類型，如果間斷點(diǎn)可去，那么補(bǔ)充定義使它連續(xù).

（1）y= 1[]（x+2）2 ； （2）y=（1+x） 1[]x （3）y=sin 1[]x ；（4）y= sinx[]|x| .

只要學(xué)生真正理解了前面的知識(shí)，學(xué)生就能解出該習(xí)題.這就是學(xué)習(xí)繼續(xù)向上學(xué)習(xí)的支架，教師可以通過(guò)做習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生理解極限的知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生思考哪些間斷性函數(shù)的間斷點(diǎn)需要分左極限與右極限，哪些函數(shù)不必分.

教師通過(guò)學(xué)生做習(xí)題，讓學(xué)生在理解前面知識(shí)的基礎(chǔ)上更深入理解“函數(shù)的連續(xù)性與間斷性”知識(shí)，使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整.

3.“支架式”教學(xué)模式的課后作業(yè)

教師引導(dǎo)學(xué)生做作業(yè)，是為了引導(dǎo)學(xué)生利用課余時(shí)間進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生自覺地完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu).要讓學(xué)生愿意自主地學(xué)習(xí)，教師要用生活化的思路引導(dǎo)學(xué)生做作業(yè)，學(xué)生只有了解到自己學(xué)習(xí)的知識(shí)與生活息息相關(guān)，他們才會(huì)愿意自主學(xué)習(xí)知識(shí)；要用精簡(jiǎn)的思路引導(dǎo)學(xué)生做習(xí)題，如果教師布置作業(yè)像書山題海那樣，學(xué)生會(huì)覺得做作業(yè)太耽誤他們的時(shí)間從而喪失自主學(xué)習(xí)的興趣.教師布置少而精的習(xí)題，該題具有代表性，學(xué)生才會(huì)有研究興趣.布置作業(yè)要注意層次化，讓每名學(xué)生都能針對(duì)自己的層次有研究機(jī)會(huì).

習(xí)題2：以函數(shù)的方式描述30天中氣溫的變化，描述該函數(shù)的增量與連續(xù)性.

習(xí)題3：設(shè)函數(shù)為f（x）= arctan 1 x x≠00 x=0 ，討論函數(shù)f（x）在x=0時(shí)的連續(xù)性.

學(xué)生只要能了解函數(shù)的連續(xù)性與間斷性的概念，就能很輕易的做出第一道題，在課堂中學(xué)到的知識(shí)是該題的支架；第二道題涉及函數(shù)連續(xù)性、間斷性、極限的討論，它具有一定的綜合性，學(xué)生真正掌握了課堂中學(xué)過(guò)的知識(shí)才能探索這一題中包含的知識(shí).教師通過(guò)給學(xué)生布置合理的作業(yè)，能讓學(xué)生在課后繼續(xù)探索數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣.如果學(xué)生能喜歡數(shù)學(xué)，教師的教學(xué)效率會(huì)提高.

三、“支架式”教學(xué)模式的概念以及教學(xué)方法應(yīng)用的要點(diǎn)

1.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

“支架式”教學(xué)方法是引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的一種方法，學(xué)生只有對(duì)學(xué)習(xí)抱有興趣，他們才會(huì)愿意自覺地探索，否則他們不會(huì)愿意自主學(xué)習(xí).

2.先易后難的教學(xué)思路

“支架式”教學(xué)方法是由教師先給學(xué)生搭好一個(gè)爬梯的知識(shí)，學(xué)生踏上云后就能看到知識(shí)的新天地，在這個(gè)過(guò)程中，教師要緊密地結(jié)合學(xué)生過(guò)往學(xué)過(guò)的舊知識(shí)，讓學(xué)生能夠通過(guò)舊知識(shí)來(lái)理解學(xué)習(xí)新的知識(shí)，先易后難的教學(xué)思路能讓學(xué)生愿意主動(dòng)學(xué)習(xí).如果教師直接讓學(xué)生思考過(guò)于困難的問(wèn)題，這等于教師憑空抽掉了讓學(xué)生向上攀登的階梯，學(xué)生就不會(huì)愿意自主學(xué)習(xí).

3.分層引導(dǎo)的教學(xué)方法

“支架式”教學(xué)方法中，教師要讓學(xué)生有探索的空間，讓學(xué)生在探索中最大限度地展現(xiàn)自己的才化.比如以上的課堂教學(xué)中，教師讓學(xué)生用發(fā)散性的方式思考、用化歸的方式思考等，擁有不同特長(zhǎng)的學(xué)生都有機(jī)會(huì)展現(xiàn)自己的能力，學(xué)生就會(huì)有學(xué)習(xí)的自主性.如果教師不給學(xué)生探索的機(jī)會(huì)，而要求學(xué)生一定要按自己的思路學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)覺得自己是被動(dòng)學(xué)習(xí)，他們就不會(huì)有探索的興趣.

“支架式”教學(xué)方法有別于傳統(tǒng)灌輸型的教學(xué)方法，它的特點(diǎn)是教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地探索，為了讓學(xué)生擁有探索方向、減少學(xué)生的探索困難，教師要由低至高，一級(jí)一級(jí)的搭好支架，以這種方式學(xué)習(xí)，學(xué)生在登上該知識(shí)的頂峰時(shí)，就能對(duì)這類知識(shí)有非常詳盡的了解.只要合理地應(yīng)用這種方法，教師就能達(dá)到自己的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo).