數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個(gè)著力點(diǎn)

劉明讓

【摘要】 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個(gè)著力點(diǎn)：深入研究教材，挖掘教材背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法；細(xì)化教學(xué)過程，有意識(shí)地落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法；突出數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中的指導(dǎo)與統(tǒng)攝.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)；著力點(diǎn)

數(shù)學(xué)思想方法是指支配學(xué)習(xí)者如何學(xué)習(xí)、如何思考、如何解決問題的一套程序.這套程序支配的不是外在的數(shù)學(xué)符號(hào)，而是學(xué)生自己的思維過程，因而從心理學(xué)角度看，它屬于策略性知識(shí)范疇，即數(shù)學(xué)認(rèn)知策略. 數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能之中，需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)來進(jìn)行教學(xué). 然而中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的編排一般是沿知識(shí)的縱方向展開的.大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié).這就產(chǎn)生了如何在數(shù)學(xué)課中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問題.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐就數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的三個(gè)著力點(diǎn)作以探討.

一、深入研究教材，挖掘教材背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是前人探索數(shù)學(xué)真理過程的積累，但數(shù)學(xué)教材并不是這種探索過程的真實(shí)記錄，恰恰相反，教材對(duì)完美演繹形式的追求往往掩蓋了內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，因此我們必須深入分析教材，挖掘教材背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，使教材發(fā)揮更大的學(xué)習(xí)功能.

這樣，對(duì)初中階段絕對(duì)值概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法就有了一個(gè)完整的認(rèn)識(shí).于是教師對(duì)絕對(duì)值概念的教學(xué)可以重點(diǎn)地進(jìn)行如下兩方面的設(shè)計(jì)：引入絕對(duì)值概念時(shí)，有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法； 運(yùn)用絕對(duì)值概念解題時(shí)，運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等常用的數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)學(xué)生的思考，讓學(xué)生對(duì)絕對(duì)值概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法不斷地得到領(lǐng)悟.

又如“一元二次方程”這一章，化歸思想是本章的主導(dǎo)思想.一元二次方程化歸為一元一次方程來解，無理方程化歸為有理方程來解，分式方程化歸為整式方程來解，高次方程化歸為一元一次方程或一元二次方程來解，二元二次方程組化歸為一元二次方程或二元一次方程組來解.還有整體思想，根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用就體現(xiàn)了整體思想. 這章還滲透了配方法、消元法、降次法、換元法等數(shù)學(xué)方法.教師對(duì)教材中數(shù)學(xué)思想方法理解的深度和廣度，直接影響著教學(xué)方法的設(shè)計(jì)，決定著教學(xué)的成敗，所以我們必須把研究教材放在第一位，全面把握教材，理解教材背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以制訂出良好的教學(xué)策略.

二、細(xì)化教學(xué)過程，有意識(shí)地落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法

1. 在數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)中，有意識(shí)地落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念、定理本身就蘊(yùn)含者數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時(shí)要有意識(shí)地落實(shí).所謂有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理教學(xué)的過程進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念、定理中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗(yàn)、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動(dòng)打開，并設(shè)計(jì)一定的載體（如教學(xué)情境、教師講解、學(xué)生探究和反思、變式訓(xùn)練等），用以展開這些數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，從而使數(shù)學(xué)的思想方法、思維方法及研究方法得以滲透和提煉，充分地向?qū)W生展現(xiàn)如何思考的過程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.

例如，在教學(xué)“圓周角”一節(jié)時(shí)，教師有意識(shí)地設(shè)置下面的問題情境，來滲透數(shù)學(xué)思想方法.

問題1：請(qǐng)你畫出同一條弧對(duì)應(yīng)的圓心角及圓周角的基本圖形.

設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生畫圖能力，滲透分類的思考方法，讓學(xué)生通過畫圖（如圖1、圖2、圖3）觀察到：一條弧對(duì)應(yīng)一個(gè)圓心角，但一條弧對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)圓周角，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.

問題2：一條弧所對(duì)的圓心角與它所對(duì)的圓周角有什么大小關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量、觀察，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，并得出猜想：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想的數(shù)學(xué)思維方法.

問題3：根據(jù)圖1，請(qǐng)說一說你的思路：如何證明上面得到的猜想？

問題4，對(duì)于圖2、圖3的情況，請(qǐng)你獨(dú)立證明，證明后與同伴交流.

設(shè)計(jì)意圖：有意識(shí)地滲透轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想方法.

事實(shí)上，中學(xué)數(shù)學(xué)概念、定理在教科書中往往是在抽象意識(shí)、化歸意識(shí)、分類、一般化思想指導(dǎo)下設(shè)計(jì)的，教學(xué)時(shí)，要把這些數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生在探索思考的過程中獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)和領(lǐng)悟，進(jìn)而形成運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考的意識(shí)和習(xí)慣.

2. 重視歸納總結(jié)，落實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的概括和提煉

數(shù)學(xué)思想既來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，又高于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，它指導(dǎo)知識(shí)與方法的運(yùn)用，能使知識(shí)向更深更高層次發(fā)展. 在數(shù)學(xué)課上，由于能力、心理發(fā)展的限制，學(xué)生往往只注意了數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識(shí)的觀點(diǎn)，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略.即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”“似有所悟”的狀態(tài).所以在反復(fù)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納總結(jié).例如，涉及比較大小的問題，可這樣提問：“到今天為止，比較兩個(gè)數(shù)的大小或兩個(gè)代數(shù)式的大小，你會(huì)哪些方法了？”來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié).在課堂小結(jié)中，既要讓學(xué)生小結(jié)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能，又要讓學(xué)生小結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)與技能背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.例如，“同底數(shù)冪的乘法（1）”這節(jié)課的小結(jié)可這樣設(shè)計(jì)：今天我們發(fā)現(xiàn)、歸納、運(yùn)用了一個(gè)新的法則，請(qǐng)同學(xué)們思考：

（1）法則的內(nèi)容是什么？

（2）我們是怎樣發(fā)現(xiàn)和歸納這個(gè)法則的（從特殊到一般、觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)思想方法）？

（3）在運(yùn)用法則過程中要注意什么？

通過概括和提煉，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解由“朦朦朧朧”到逐漸明朗.

三、突出數(shù)學(xué)思想方法在解題教學(xué)中的指導(dǎo)與統(tǒng)攝

1. 解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)術(shù)，它的正確含義是要通過解題和反思活動(dòng)，在解題的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納解題方法，并上升到思想的高度. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法一般來說可分以下三個(gè)階段：模仿形式階段；初步應(yīng)用階段；自覺應(yīng)用階段.

在模仿階段，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié).如學(xué)生開始學(xué)習(xí)用換元法解分式方程時(shí)，對(duì)換元法的理解是按老師要求——設(shè)未知數(shù)、換元、解換元后的方程等解題步驟，這些解題步驟教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié).此時(shí)，學(xué)生是把換元法當(dāng)做解題步驟來記憶，而未能體會(huì)出換元思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法.

在初步應(yīng)用階段，教師應(yīng)設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用和反思數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生慢慢理解解題過程中所使用的探索方法和策略，并會(huì)概括總結(jié)出來.如換元法解分式方程，由題目注明要求用換元法解分式方程，到題目沒有注明換元法時(shí)，學(xué)生能主動(dòng)地用換元法解方程.這說明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)已經(jīng)比較明朗，能夠初步應(yīng)用.

隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法深入地理解與應(yīng)用，學(xué)生能依據(jù)題意，恰當(dāng)運(yùn)用某種思想方法進(jìn)行探索，以求得問題的解決.

例如，對(duì)于解下列關(guān)于x的方程：

事實(shí)上，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，是不可能一步到位的，應(yīng)有一個(gè)相應(yīng)的循序漸進(jìn)、由淺入深和循環(huán)反復(fù)的過程.

2.充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對(duì)發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想與轉(zhuǎn)化功能，突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的統(tǒng)攝與引領(lǐng)作用.

例如，對(duì)“簡(jiǎn)單的二元二次方程組的教學(xué)”，教師在講每一道例題時(shí)，要從總體上把握住消元和降次這兩種數(shù)學(xué)方法，將其確立為解這類題的指導(dǎo)思想，并由此設(shè)計(jì)教學(xué)方法，促使學(xué)生明白，什么情況下可以考慮用消元法，如何運(yùn)用消元的方法（代入、加減），什么情況下可以考慮用降次的方法，如何運(yùn)用降次的方法（因式分解），這樣，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法這一層次上，就能比較全面和確切地把握解二元二次方程組的解法.

又如，比較 | a | + | b | 與 | a + b | 的大小.

解這道題要分析數(shù)a，b，a + b的符號(hào)，如按常規(guī)，仍將a，b分別劃分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，那么問題就有九種可能情況，顯然很繁雜，但如果引導(dǎo)學(xué)生將a，b的符號(hào)分為“同號(hào)”“異號(hào)”“至少一個(gè)為零”，那么問題就只有三種可能.由此，滲透分類思想的本質(zhì)屬性，使學(xué)生領(lǐng)悟到分類思想方法的重要作用.

數(shù)學(xué)思想方法的形成絕不是一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的，必須日積月累、長(zhǎng)期滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握.學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的反復(fù)學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)不斷提高，可以逐漸內(nèi)化為自己的行動(dòng)方式，這時(shí)就可以使他們對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程、解決問題的過程以及解題時(shí)所采用的數(shù)學(xué)方法的合理性等進(jìn)行自覺的、及時(shí)的調(diào)控.一旦學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法具備了這樣的水平，我們就可以說學(xué)生的思考達(dá)到了策略水平.

【參考文獻(xiàn)】

[1]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想方法[J].上海：上海教育出版社，2009 .