Lagrange插值法在電能計量中的應(yīng)用

劉芳芳 張治銀 趙言濤

【摘要】文章提出了一種基于Lagrange插值法的電能諧波計量算法。分析了插值引起的諧波分量幅值誤差和相位誤差。通過仿真和理論擬合曲線，計算出各次諧波幅值和相位的理論誤差，并采用該方法修正實(shí)測值。

【關(guān)鍵詞】線性插值;諧波分量;曲線擬合;理論誤差

Abstract：This Article put forward a kind of power harmonic measurement algorithm，which based on lagrange interpolation method.The amplitude error and phase error of the harmonic component caused by interpolation is analysed.Through simulation and theory of fitting curve，the theory error of each harmonic amplitude and phase is calculated.Also the actuallly measured values is corrected based on the above method.

Key words：linear interpolation;harmonic component;curve fitting;theory error

引言

電能計量是為發(fā)電企業(yè)、輸配電企業(yè)、電力用戶之間進(jìn)行貿(mào)易結(jié)算提供依據(jù)，它的準(zhǔn)確與否直接影響到三者的利益以及交易的合理性。隨著電力電子技術(shù)的迅速發(fā)展，大量具有非線性特性的電力設(shè)備（如電氣化鐵路和電解工廠領(lǐng)域的大功率硅整流設(shè)備，煉鋼交、直流電弧爐，電石爐，感應(yīng)加熱爐和交流逆變器裝置，大功率的電力拖動設(shè)備和電機(jī)變頻調(diào)速裝置等）投入電網(wǎng)運(yùn)行，電網(wǎng)中出現(xiàn)大量的諧波，造成電力系統(tǒng)諧波污染，對電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行構(gòu)成潛在威脅，給周圍電氣環(huán)境也帶來了極大影響，同時也對電能計量表的計量準(zhǔn)確度提出了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。本文提出一種基于Lagrange插值法的準(zhǔn)同步采樣諧波分析法，通過理論擬合曲線計算出各次諧波幅值的理論誤差，以便于很好的修正實(shí)測值的理論方法。

1.Lagrange插值法在準(zhǔn)同步采樣中的應(yīng)用

具有諧波分析及諧波能量計量功能的沖擊負(fù)荷計量裝置中。常常會采用傅立葉分析法進(jìn)行分析處理，本文亦采用此種方法。而FFT方法要求波形的周期采樣點(diǎn)數(shù)N必須滿足N=2n，才能保證較高的分析精度，因此硬件實(shí)現(xiàn)同步整周期采樣是保證諧波分析及諧波能量計量精度的前提。但實(shí)際使用中，沖擊負(fù)荷表的采樣模塊采用的是固定采樣率（12.8KHz）模式，負(fù)荷實(shí)際頻率的波動會導(dǎo)致非同步采樣的結(jié)果。當(dāng)實(shí)際頻率偏離理想的工頻頻率50Hz時，需要進(jìn)行軟件插值來達(dá)到同步或者準(zhǔn)同步的效果。設(shè)原模擬信號為：

（1）

并設(shè)為離散信號的頻率，為對應(yīng)的周期，所得信號序列為，設(shè)為采樣頻率，為對應(yīng)的采樣周期，則其理想的采樣序列應(yīng)為：

（2）

由于常常不是整數(shù)，不能進(jìn)行直接的抽取，因此可以對其相鄰的采樣點(diǎn)進(jìn)行線性Lagrange插值。設(shè)，設(shè)是小于的最大整

數(shù)部分，是的小數(shù)部分，即。設(shè)插值所擬合的為多項(xiàng)式，有Vandermonde行列式：

（3）

可知，只要，有，于是方程組存在唯一解，也就是說插值多項(xiàng)式的唯一性保證了無論用什么方法滿足插值條件的多項(xiàng)式都是同一個多項(xiàng)式。因此，可以采用運(yùn)行速度快，可以預(yù)知中間值，精度高的插值法。

設(shè)已知，則擬合的拉格朗日多項(xiàng)式為L（p），且滿足L（p）=，L（p+1）=幾何上，L（p）為過的直線，從而得到：

（4）

由于滿足方程既有拉格朗日插值法，可知：

（5）

以此類推，對于不相鄰區(qū)間可以采取以下推導(dǎo)：如果互不相關(guān)，那么對于就存在惟一的小于等于次的多項(xiàng)式利用該方程可獲得通過第+1個數(shù)據(jù)點(diǎn)的次多項(xiàng)式。真正的多項(xiàng)式是：

（6）

將每個數(shù)據(jù)點(diǎn)都作為一項(xiàng)。這時存儲編寫代碼就很容易，因?yàn)樗械狞c(diǎn)可以分解到：

（7）

這一步運(yùn)算的可以做進(jìn)一步化簡為：

（8）

假設(shè)除外的所有取樣點(diǎn)都已定義了一個多項(xiàng)式或函數(shù)，則有：

（9）

寫出只用于非零點(diǎn)的方程：

（10）

這樣就可以利用方程（10）對方程（9）做歸一化處理來得到方程（7）。

為了提高運(yùn)行速度，由于中間值都可以預(yù)先知道，可以預(yù)先算出方程的這些值來減少插值計算時所需的運(yùn)算量。采用該方法，只需要有限幾十條記錄的表格就能夠獲得其它線性插值法要用上千條記錄的表格才能夠達(dá)到的精度，并且速度還很快。

現(xiàn)用相鄰區(qū)間Lagrange插值法驗(yàn)證上述問題研究。假設(shè)周期T的信號理想的采樣點(diǎn)數(shù)為N，實(shí)際的采樣點(diǎn)數(shù)為M，實(shí)際的采樣點(diǎn)值為S，插值后的采樣點(diǎn)值為S′，線性插值的流程為：

（1）求取M，設(shè)定N;

（2）采取每個點(diǎn)需要平移的平均量即：

（3）判斷的大小，整數(shù)部分為，小

數(shù)部分為;

（4） 求取平移后（插值后）的點(diǎn)值：利用方程（5）變形求解即：

（11）

通過循環(huán)執(zhí)行上述步驟，直至，可以得到全新的插值序列S′，該序列的長度為N。插值算法對波形中基波分量的影響非常小，但對諧波分量，特別是高次諧波分量會產(chǎn)生較大的影響，這種影響包括了幅值和相位兩個方面。

2.插值引起的諧波分量幅值誤差分析

建立插值算法的仿真模型并進(jìn)行大量仿真試驗(yàn)，得到了不同基頻條件下，各次諧波分量幅值偏離原始值的特性，如圖1所示。從圖上不難看出，隨著諧波次數(shù)的增加，諧波的幅值衰減呈變大的趨勢，50次諧波分量幅值的衰減超過10%。

對于諧波分量的幅值衰減，需要進(jìn)行補(bǔ)償才能保證計量精度。為此做出了以頻率偏移量為變量時的特性曲線，其中橫軸坐標(biāo)為實(shí)際頻率與50Hz之間的偏移量，縱坐標(biāo)為諧波幅值誤差。

圖1 不同頻率時各次諧波幅值誤差曲線

圖2 諧波幅值衰減誤差的曲線擬合

圖3 不同頻率時各次諧波相角誤差曲線

圖4 不同諧波次數(shù)時各次諧波相角誤差曲線

為表示清晰，選取諧波次數(shù)較大時的數(shù)據(jù)來做分析，此時諧波幅值誤差數(shù)據(jù)也較大。以圖中綠色的63次諧波誤差數(shù)據(jù)為例，其線性擬合的斜率為-0.006761，在-2.5Hz處的初始誤差為-16.613%，按sin（x）/x曲線進(jìn)行擬合，得到圖中的黃色曲線，可以看出，其擬合度是非常高的。在實(shí)際應(yīng)用時由于sin（x）運(yùn)算與除法運(yùn)算均需耗費(fèi)單片機(jī)大量資源，考慮到算法的實(shí)用性，可采用圖中所示的黑色折線進(jìn)行近似線性擬合，其中中間凹陷部分的寬度與諧波次數(shù)無關(guān)，均為±0.1Hz，此時只需保存各次諧波在-2.5Hz處的起始值與擬合斜率，即可根據(jù)實(shí)時頻率，按照理論擬合曲線計算出各次諧波幅值的理論誤差，然后對實(shí)測值進(jìn)行修正即可。

3.線性插值引起的諧波分量相位誤差分析

用同樣的仿真模型分析插值引起的相角誤差如圖3和圖4所示。雖然插值會引起信號諧波相角偏移，但對于計量而言，由于是同時對電壓電流信號進(jìn)行插值，對電壓信號與電流信號的影響是相同的，因此不會影響到兩者之間的相對相位差，對計量精度沒有影響，因此不需要特殊的補(bǔ)償修正。

4.結(jié)論

沖擊負(fù)荷電能表采用上述方法對結(jié)果進(jìn)行修正，使諧波精度較同類產(chǎn)品有明顯提高。2～39次諧波幅值誤差均優(yōu)于國標(biāo)GB_T_14549-93（電能質(zhì)量公共電網(wǎng)諧波）中所規(guī)定的A類諧波要求，2～50次諧波功率誤差均小于1%，其諧波精度已獲中國計量院的諧波校準(zhǔn)報告。

參考文獻(xiàn)

[1]同向前，薛鈞義.考慮諧波污染時用戶電量的計量[J].電力系統(tǒng)自動化，2002，26（22）：53-55.

[2]JavisE.J.，EmanuelA.E.，PileggiD.J..HarmonicPollutionMetering：TheoreticalConsiderations[J].IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY，2000（1）：9-12.

[3]周莉，劉開培.電能計量誤差分析與電能計量計費(fèi)問題的討論[J].電工技術(shù)學(xué)報，2005，20（2）：63-68.

[4]DomijanA.，Embriz-SantaIlder E.，GlaniA..Watt-hour Meter Accuray Under ControlledUnbanlencedHamonic Voltage and Current[J].IEEE TR ANSACTIONS ON POWERDELIVERY，1996，11（1）：64-70.

[5]張曉冰.畸變信號條件下電網(wǎng)功率潮流分析與電能計量新方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)博士學(xué)位論文，2007.

[6]馮力鴻.諧波對電能表計量誤差影響的分析[D].北京：華北電力大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008.

[7]JohallDriesen.Thieq Van Craenenbroeck and Daniel Van DomJllelen[J].TheRegistrationof Harmonic Power by Analog and Digital Power Meters，IEEE TRANSACTIONS ONINSTRUMENTATION AND MEASUREMENT，VOL-47，NO.1，F(xiàn)EBRUARY1998，47（1）：195-198.

[8]Definitions for the MeaSuremem of Electric Quantities Under Sinusoidal.Nonsinusoidal，Blanced，or Unbalanced Conditions，IEEE Std，1459-2000，Jan.2000.

[9]K.Riedmulle，R.Forsyth and A.Gierlinger，A Mixed-signal ASIC with Embedded DSPCore for Power Metering Application，460-463.