對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

汪淳樸

近年來(lái)，我國(guó)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究不斷地深入和拓廣，解決了不少教學(xué)實(shí)際問(wèn)題，積極地推動(dòng)了數(shù)學(xué)教育改革的進(jìn)程. 盡管越來(lái)越多的中學(xué)數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的意義，但理念并不代表實(shí)踐，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重知識(shí)的傳授與記憶和模仿，而忽視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和教學(xué)的問(wèn)題仍比較普遍. 有的老師將中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法混為一談，把數(shù)學(xué)思想說(shuō)成方法，而把數(shù)學(xué)方法說(shuō)成數(shù)學(xué)思想. 這些現(xiàn)象的原因之一就是一些數(shù)學(xué)教師未真正理解數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，未真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的意義.

一、什么是數(shù)學(xué)思想方法

1. 什么是數(shù)學(xué)方法

“方法”一詞，其語(yǔ)義學(xué)解釋是指關(guān)于某些調(diào)節(jié)原則的說(shuō)明，這些調(diào)節(jié)原則是為了達(dá)到一定的目的所必須遵循的，是從實(shí)踐或理論上把握現(xiàn)實(shí)的，為解決具體課題而采用的手段或操作的總和. 美國(guó)的《哲學(xué)百科全書》將方法解釋為“按給定程序達(dá)到既定成果必須采取的步驟”. 我國(guó)《辭源》中解釋“方法”為“辦法、方術(shù)或法術(shù)”. 從科學(xué)研究的角度來(lái)說(shuō)，方法是人們用以研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的手段和工具，這種手段和工具與人們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、理論水平密切相關(guān)，是指導(dǎo)人們行動(dòng)的原則.

基于以上解釋，我認(rèn)為數(shù)學(xué)方法就是提出、分析、處理和解決問(wèn)題的概括性策略.

2. 什么是數(shù)學(xué)思想

“思想”字面解釋為客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果. 《中國(guó)大百科全書》認(rèn)為“思想”是相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)成果. 《蘇聯(lián)大百科全書》指出“思想是解釋客觀現(xiàn)象的原則”. 綜合起來(lái)看，思想是認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，是對(duì)事物本質(zhì)的高度抽象的、概括的認(rèn)識(shí). 而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中的理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)中的高度抽象、概括的內(nèi)容，它蘊(yùn)含于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程之中. 也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的概括性的認(rèn)識(shí).

認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)思想和方法的概念之后，我們來(lái)澄清一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法認(rèn)識(shí)的幾個(gè)誤區(qū).

二、思想方法教學(xué)中的幾個(gè)誤區(qū)

1. 是“方法”還是“技能”

由于方法和技能都是解決問(wèn)題的常用程序，因此方法一詞在日常教學(xué)中常常與技能混為一談. 許多本應(yīng)屬于技能的具體操作，如公式法、配方法、割補(bǔ)法等經(jīng)常性的被一些老師在教學(xué)課堂上或發(fā)表的文章中納入方法范疇. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)方法應(yīng)該是具有一定的抽象度，是為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供策略，但一般不提供解決問(wèn)題的程序.

2. 是“思想”還是“方法”

一些文章常將數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法稱為思想，如初中解方程組用的代入法、高一數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式用的換元法等稱為“思想”，造成數(shù)學(xué)思想數(shù)量大、內(nèi)容多，不利于數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用. 其實(shí)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí). 這種認(rèn)識(shí)更具普遍性，可以應(yīng)用于更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，更進(jìn)一步講，許多數(shù)學(xué)思想可能滲透于許多行業(yè)中. 而數(shù)學(xué)方法雖然也是理性認(rèn)識(shí)，但因其概括性較數(shù)學(xué)思想弱，所以其遷移范圍遠(yuǎn)，不如數(shù)學(xué)思想廣，而更多的是運(yùn)用于某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域.

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想和方法

1. 數(shù)學(xué)方法

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視的教學(xué)方法包括：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、分類討論法、變換法等.

（1）數(shù)學(xué)模型法

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象化產(chǎn)物，是對(duì)現(xiàn)實(shí)原始的概括反映. 其原型可以是具體對(duì)象及其關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)對(duì)象及其關(guān)系. 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型可以是數(shù)、式、方程、空間等. 按其功能可分為兩類：概念型，指將客觀事物或現(xiàn)象直接抽象成數(shù)學(xué)概念，如自然數(shù)、奇數(shù)、整式、代數(shù)式和空間等；方法型，指將客觀事物或現(xiàn)象間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)中的公式、運(yùn)算法則等. 概念型和方法型數(shù)學(xué)模型的建立，一般都需要借助于數(shù)學(xué)符號(hào)，如自然數(shù)集“N”、映射“f： A→B”等.

（2）數(shù)形結(jié)合法

華羅庚先生指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微. ”數(shù)和形作為數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本對(duì)象，是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量與空間形式的反映. 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合法可將代數(shù)與幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，幾何又給代數(shù)概念以幾何解釋，賦予那些抽象概念以直觀的形象. 如一元二次不等式及解法的教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合不僅避免了學(xué)生機(jī)械記憶公式，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)表結(jié)合意識(shí)，將孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，并有意識(shí)地用數(shù)形結(jié)合的方法處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

（3）函數(shù)法

函數(shù)在數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展中起著舉足輕重的作用，在中學(xué)，函數(shù)也是一個(gè)包容性很強(qiáng)的概括性知識(shí)，因此函數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)中從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和處理問(wèn)題的一個(gè)重要方法. 利用函數(shù)法可以分析中學(xué)數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容，如數(shù)、式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等.

（4）分類討論法

分類討論法是當(dāng)問(wèn)題含有多種可能的情況，人們難以對(duì)它進(jìn)行統(tǒng)一處理時(shí)，只能按其出現(xiàn)的各種情況分類進(jìn)行討論，分別得出與分類相應(yīng)的結(jié)論，綜合這些結(jié)論，便得到原來(lái)問(wèn)題的解答. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論法被廣泛使用，幾乎貫穿于全部教學(xué)過(guò)程中，其運(yùn)用分類討論法有下面幾種常用情況：由定義引起的分類討論，由運(yùn)算引起的分類討論，由性質(zhì)引起的分類討論，由圖形位置引起的分類討論和由結(jié)論引起的分類討論.

（5）變換法

中學(xué)數(shù)學(xué)中，常把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變換成與之等價(jià)的一個(gè)或幾個(gè)較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使原問(wèn)題得到解決. 在運(yùn)用變換法處理問(wèn)題時(shí)，既可以變換問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論，還可以運(yùn)用幾何變換方法，對(duì)圖形的形狀、大小加以變化.

這樣，余弦定理應(yīng)用范圍擴(kuò)大了.

2. 數(shù)學(xué)思想

在中學(xué)教學(xué)中，集合思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想、對(duì)應(yīng)思想和化歸思想幾乎包括了中學(xué)數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容，而且結(jié)合中學(xué)生的思維能力和實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，這幾種數(shù)學(xué)思想有可能被他們理解和掌握.

（1）集合思想

在生活實(shí)踐中，人們常把具有某種共同屬性的事物放在一起，視為一個(gè)整體，對(duì)它們做統(tǒng)一的研究和處理，這種整體思想在數(shù)學(xué)中就是集合思想，集合思想體現(xiàn)于所有數(shù)學(xué)分支中. （2）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的教學(xué)，主要是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛關(guān)聯(lián)性. 這種廣泛關(guān)聯(lián)性主要體現(xiàn)為兩個(gè)方面：

第一，各種數(shù)學(xué)模型的建立，表面上它們可能毫不相干，然而利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想?yún)s可以把它們統(tǒng)一在結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)中，如將函數(shù)作為一條紅線串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思想.

第二，知識(shí)間的相互轉(zhuǎn)換性，數(shù)學(xué)表層知識(shí)之間可利用變換法相互轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)知識(shí)間的轉(zhuǎn)換均是通過(guò)某個(gè)變換實(shí)現(xiàn)的，并且轉(zhuǎn)換法則對(duì)于某些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)是封閉的，如整數(shù)對(duì)于加法運(yùn)算就是封閉的，即任意兩個(gè)整數(shù)相加所得的數(shù)仍是整數(shù).

（3）化歸思想

在中學(xué)數(shù)學(xué)分析、處理和解決問(wèn)題時(shí)，常常將較復(fù)雜的問(wèn)題向易解決的問(wèn)題方向轉(zhuǎn)化，即化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知. 化歸思想主要體現(xiàn)于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題之中. 如運(yùn)用數(shù)學(xué)模型法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，就體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的化歸思想.

上面僅是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法. 還有如對(duì)應(yīng)思想、優(yōu)化思想、概率統(tǒng)計(jì)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也有不同程序的體現(xiàn). 一般的數(shù)學(xué)思想方法與實(shí)際生活中的思想方法有許多類似之處. 學(xué)生只有學(xué)會(huì)了“點(diǎn)石成金”“漁魚”的策略和方法，才會(huì)在高速發(fā)展的科學(xué)知識(shí)面前運(yùn)籌帷幄、應(yīng)對(duì)自如.