從一個(gè)問(wèn)題看算法思維的培養(yǎng)

喻文喜 宋新波

● 問(wèn)題的提出

給定一個(gè)n×n的方格棋盤，問(wèn)從左下角走到右上角共有多少種方案？（規(guī)則：每次只能向右或向上移動(dòng)一個(gè)方格邊長(zhǎng)的距離）

例如，當(dāng)n=2時(shí)，方案數(shù)為2;當(dāng)n=3時(shí)，方案數(shù)為6;當(dāng)n=6時(shí)，如圖1。

● 教學(xué)過(guò)程

1.動(dòng)手動(dòng)腦，探究交流

（1）問(wèn)題提出之后，學(xué)生拿出紙筆，以n=6為例，分析問(wèn)題，思考探究，建立數(shù)學(xué)模型，尋找問(wèn)題的答案。

（2）教師走下講臺(tái)，深入學(xué)生中間，與學(xué)生們交流、討論與答疑。

（3）以鄰座為小組，學(xué)生之間相互交流，各自分享自己解決問(wèn)題的辦法，展開(kāi)討論。

2.分析講解，圖例演示

教師邀請(qǐng)幾位學(xué)生上講臺(tái)借助黑板分析講解演示自己解決問(wèn)題的方法，其他同學(xué)思考并進(jìn)行評(píng)價(jià)。主要方法如下。

（1）規(guī)律。以n=6為例，每個(gè)方格中的數(shù)字為從左下角到達(dá)所在方格的方案數(shù)，如圖2所示。其中的數(shù)字排列方式類似于楊輝三角形，根據(jù)楊輝三角的規(guī)律，得出給定一個(gè)n×n的方格棋盤（如圖3），從左下角走到右上角的方案數(shù)等于楊輝三角形中第2n-1行第n列的數(shù)，即為（2n-2）！/（（n-1）?。╪-1）！）。

（2）組合問(wèn)題。給定一個(gè)n×n的方格棋盤，從左下角走到右上角，其中向上移動(dòng)由n-1種方式排列而成，向右移動(dòng)由n-1種方式排列而成，共有2n-2種方式。因此，求解方案總數(shù)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是從2n-2種方式中，取出n-1種方式的所有組合（去除所有重復(fù)的方案）的個(gè)數(shù)，故方案總數(shù)為。

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生使用的兩種方法都是建立在已有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，自然而然想到的方法，其中涉及較多的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為下一步提出信息技術(shù)常用的算法思維解決同一個(gè)問(wèn)題作了鋪墊。

3.拓展思維，精講算法

（1）寬度搜索。將棋盤看作二維坐標(biāo)，棋盤的左下角設(shè)為二維坐標(biāo)的原點(diǎn)（1，1），棋盤的右上角設(shè)為二維坐標(biāo)（n，n）（坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度為方格的邊長(zhǎng)）。以n=3為例，各個(gè)方格坐標(biāo)值如圖4，使用寬度搜索方法，可得的方案總數(shù)為6（如圖5）。

（2）遞推法。仍舊將棋盤看作二維坐標(biāo)，棋盤的左下角設(shè)為二維坐標(biāo)的原點(diǎn)（1，1），棋盤的右上角設(shè)為二維坐標(biāo)（n，n）（坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度為方格的邊長(zhǎng)）。用f（I，j）表示從（1，1）到坐標(biāo)（i，j）的方案總數(shù)，其中1<=I，j<=n，f（1，j）=1，f（I，1）=1。于是求解f（i，j）轉(zhuǎn)換為遞推問(wèn)題：f（I，j）=f（i-1，j）+f（I，j-1） （i>1，j>1）。

4.歸納總結(jié)，知識(shí)延伸

（1）針對(duì)提出的問(wèn)題，學(xué)生們憑借數(shù)學(xué)思維能力找到解決問(wèn)題的方法，其后，體驗(yàn)了運(yùn)用信息技術(shù)算法解決同一問(wèn)題的全過(guò)程，理解了寬度搜索與遞推兩種常見(jiàn)算法的思想。通過(guò)兩種思維的對(duì)比，感受到設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)乃惴ɡ糜?jì)算機(jī)解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)與便捷。

（2）課余思考：對(duì)于同一問(wèn)題，假設(shè)走步范圍限定于黃色區(qū)域（如圖6），問(wèn)從左下角走到右上角有多少種方案？

● 教學(xué)反思

信息技術(shù)課程的發(fā)展經(jīng)歷了程序設(shè)計(jì)文化論、工具論，到現(xiàn)在的信息素養(yǎng)論等幾個(gè)不同階段，其中信息技術(shù)本身具有日新月異的特性，也有社會(huì)發(fā)展與需求等因素。作為信息技術(shù)學(xué)科的一線教師，我們也時(shí)常在想，《算法與程序設(shè)計(jì)》模塊作為信息技術(shù)課程的一部分，教學(xué)目標(biāo)是什么？它的核心價(jià)值在哪里？究竟培養(yǎng)學(xué)生什么能力？能否挖掘該模塊特有的一些東西？

按照課程標(biāo)準(zhǔn)要求，該模塊的學(xué)習(xí)目的是使學(xué)生在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步體驗(yàn)算法思想，了解算法和程序設(shè)計(jì)在解決問(wèn)題中的地位和作用;能從簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的算法，并能初步使用一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編寫程序?qū)崿F(xiàn)算法解決問(wèn)題。

參照多年的教學(xué)實(shí)踐，我們將培養(yǎng)學(xué)生的算法思維確立為該模塊的最根本教學(xué)目標(biāo)。算法思維以程序設(shè)計(jì)為載體，讓學(xué)生能清楚地理解問(wèn)題解決的規(guī)則，能夠認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的起點(diǎn)、邊界和限定范圍，按部就班地完成任務(wù)或解決問(wèn)題。算法思維盡管涉及程序，但更關(guān)注算法的實(shí)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)的是通過(guò)算法來(lái)理解計(jì)算機(jī)對(duì)預(yù)設(shè)問(wèn)題的解決過(guò)程，并能清楚地分析問(wèn)題解決的優(yōu)劣。

基于此，我們嘗試在《算法與程序設(shè)計(jì)》模塊教學(xué)中探索算法思維培養(yǎng)的途徑及方法。本節(jié)課合理地設(shè)計(jì)了教學(xué)過(guò)程，相繼安排了“問(wèn)題”、“探究”、“交流”、“展示”等多種認(rèn)知活動(dòng)，以學(xué)習(xí)者為主體，鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手去探索，通過(guò)數(shù)學(xué)思維與計(jì)算機(jī)算法思維的對(duì)比，引導(dǎo)和組織學(xué)生通過(guò)靈活多樣的學(xué)習(xí)方式和活動(dòng)方式建構(gòu)算法思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)。

在優(yōu)化算法的過(guò)程中，學(xué)生均能在自身原有水平基礎(chǔ)上得到發(fā)展。優(yōu)化的主體是學(xué)生，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，把選擇判斷的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，將優(yōu)化的過(guò)程作為引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)尋找更好算法的過(guò)程，尊重學(xué)生的選擇，并以合作方式展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)。優(yōu)化的過(guò)程是學(xué)生自我完善的過(guò)程，產(chǎn)生修正自我的內(nèi)需，從而“悟”出屬于自己的最佳方法。在評(píng)價(jià)算法時(shí)，主要評(píng)價(jià)算法的“特點(diǎn)”，讓學(xué)生自己去感悟算法的“優(yōu)點(diǎn)”，進(jìn)而達(dá)到優(yōu)化的目的。

當(dāng)然，由于信息技術(shù)課程存在課時(shí)少、鞏固難等問(wèn)題，因此，我們?cè)谡n堂教學(xué)中主要采用“重算法培養(yǎng)，輕編程實(shí)現(xiàn)”的策略，但也導(dǎo)致少數(shù)學(xué)生在算法思維鞏固方面出現(xiàn)了一些困難。

經(jīng)過(guò)對(duì)整個(gè)模塊長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)，學(xué)生普遍反映教學(xué)效果不錯(cuò)，具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：①促進(jìn)了信息技術(shù)學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科的深度融合。從新課程促使學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的角度看，算法教學(xué)為數(shù)學(xué)學(xué)科提供了數(shù)學(xué)實(shí)習(xí)的課程內(nèi)容和課程環(huán)境，教學(xué)使學(xué)生在更廣泛的范圍內(nèi)全面地學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐能力。算法教學(xué)作為信息技術(shù)的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生更加深入地理解了數(shù)學(xué)學(xué)科在信息技術(shù)學(xué)科中的基礎(chǔ)作用，使學(xué)生感受和體會(huì)到在使用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模與程序設(shè)計(jì)的關(guān)系和作用，對(duì)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維方式的形成具有促進(jìn)作用。②拓展了《課程標(biāo)準(zhǔn)》中算法的教學(xué)內(nèi)容。由于課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的算法不是很多，主要有解析法、窮舉法、查找算法、排序算法與遞歸算法等。經(jīng)過(guò)反復(fù)論證，我們?cè)谠袃?nèi)容的基礎(chǔ)上

甄選了搜索、遞推、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、分治、貪心等算法作為拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)列舉了這些算法的具體應(yīng)用，并結(jié)集成冊(cè)形成校本課程。③增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)算法知識(shí)的興趣。首先，每位學(xué)生都有著獨(dú)特的先天生理遺傳和不同的家庭背景、生活經(jīng)歷，因此他們的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維方式也各不相同。認(rèn)知上的差異不可避免地影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在新知建構(gòu)和解決問(wèn)題的過(guò)程中表現(xiàn)為從不同角度進(jìn)行分析、思考，由此而產(chǎn)生了不同的算法。在教學(xué)中，我們尊重學(xué)生的個(gè)體差異，鼓勵(lì)算法的多樣化，以便讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)。其次，學(xué)生覺(jué)得算法是有用的。將教學(xué)活動(dòng)定位于用編程方法解決實(shí)際問(wèn)題，算法只有融入到實(shí)際運(yùn)用中，其價(jià)值才能表現(xiàn)出來(lái)。例如，在講述窮舉算法時(shí)，學(xué)生動(dòng)手解決物質(zhì)調(diào)運(yùn)、產(chǎn)品安排、生產(chǎn)下料等規(guī)劃類問(wèn)題，體驗(yàn)感受算法在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值。④提升了學(xué)生的多種能力與素養(yǎng)。首先，不同的算法展示了學(xué)生不同的認(rèn)知方式，讓每位學(xué)生都能發(fā)表自己的觀點(diǎn)，傾聽(tīng)別人的想法，有利于學(xué)生感受解決問(wèn)題策略的多樣性與靈活性，從中受到啟發(fā)，學(xué)會(huì)理解他人、欣賞他人。其次，學(xué)生增強(qiáng)了自信心，情感意志均得到了發(fā)展。教學(xué)中，教師要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生各種想法的可取之處，及時(shí)給予學(xué)生肯定與贊揚(yáng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。思維的火花相互撞擊、閃爍，才能更好地推動(dòng)學(xué)生努力思考、探索、創(chuàng)造，享受成功的喜悅，逐步形成積極進(jìn)取的學(xué)習(xí)心態(tài)，促進(jìn)心理的健康發(fā)展。再次，算法的多樣化，能在學(xué)生中形成一種積極思考、大膽求異的心理氛圍，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和進(jìn)取精神。學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)獲得了重要的算法知識(shí)，學(xué)生在多樣、豐富的學(xué)習(xí)過(guò)程中，思維能力與學(xué)習(xí)能力有所提高，創(chuàng)新意識(shí)得到培養(yǎng)，激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散性思維、批判性思維以及創(chuàng)造性思維。

● 結(jié)語(yǔ)

算法來(lái)源于生活，是人類智慧的結(jié)晶。從某一問(wèn)題出發(fā)，以算法思維培養(yǎng)為核心思想，關(guān)注課堂教學(xué)生活化，編寫程序解決學(xué)生生活與學(xué)習(xí)中遇到的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于《算法與程序設(shè)計(jì)》模塊的教學(xué)可能具有一定的普適意義。在不增加任何硬件投入的前提下，日積月累，也會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)動(dòng)力、算法思維能力、動(dòng)手實(shí)踐能力、創(chuàng)新思維能力等方面會(huì)得到有效提升。