巧解幾何體的外接球問題

喬曉林

摘要：在近幾年的高考中，經常出現(xiàn)幾何體的外接球問題。為了使學生能夠很好地解決此類問題，本文在已有幾何體的基礎上，結合具體的例題，歸納了此類問題的解題方法。

關鍵詞：幾何體；外接球；轉化

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0147

一、正方體的外接球

外接球的直徑為正方體的體對角線。

設正方體的棱長為a，則外接球的直徑為■a。

二、長方體的外接球

外接球的直徑為長方體的體對角線。

設長方體的長，寬，高分別為a，b，c，則外接球的直徑為■。

三、三棱錐的外接球

1. 正四面體：轉化為正方體的外接球。

方法：如圖所示正四面體ABCD的外接球，可轉化為正方體的外接球。

例1. 一個四面體的所有棱長為a，四個頂點在同一個球面上，求該球的表面積。

分析：求該球的表面積關鍵是找半徑；該四面體為正四面體，如圖所示，將正四面體ABCD的外接球轉化為正方體的外接球，球的直徑為正方體的體對角線；因此先由正四面體的棱長求正方體的棱長，再求正方體的體對角線。

答案：■a2π。

變式：如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2，DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點P，求三棱錐P-DCE的外接球的體積。

分析：折起后可證明三棱錐P-DCE為正四面體，因此可轉化為求正方體的外接球。

答案：■π

2. 有三個面是直角三角形的三棱錐：轉化為正方體或長方體的外接球

方法：如圖所示，在有三個面是直角三角形的三棱錐P-ABC中，若PA=PB=PC，則轉化為正方體的外接球；若PA，PB，PC不全相等，則轉化為長方體的外接球

例2. 已知三棱錐P-ABC，∠BPC=90°，PA⊥平面BPC，

其中AB=BC=AC=a，P，A，B，C四點均在球的表面上，求該球的表面積。

分析：三棱錐P-ABC有三個面是直角三角形，且PA=PB=PC，因此可轉化為正方體的外接球，且正方體的面對角線長度為a，則正方體的棱長為■a，由此求出體對角線即為正方體的外接球直徑。

答案：■a2π。

變式：已知正方形AEFG的邊長為4，B，C分別為EF， FG的中點，將AB，BC，CA折疊成一個三棱錐P-ABC（使E，F(xiàn)，G重合于點P），求三棱錐 P-ABC的外接球的表面積。

分析：如上圖所示，PA=4，PB=PC=2，所以三棱錐P-ABC的外接球是以PC，PB，PA為長，寬，高的長方體的外接球。

答案：24π。

3. 有四個面是直角三角形的三棱錐：轉化為正方體或長方體的外接球

方法：如圖所示，在有四個面是直角三角形的三棱錐A-PBC中，若AP=PC=BC，則轉化為正方體的外接球；若AP，PC，BC不全相等，則轉化為長方體的外接球。

例3. 已知球O的表面上有四個點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=■，求球O的體積。

分析：三棱錐D-ABC中有四個面是直角三角形，且DA=AB=BC，因此可轉化為正方體的外接球，則體對角線即正方體的外接球直徑為■。

答案：■π。

變式：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=■，BC=1，DA⊥平面ABC，DA=■，求三棱錐D-ABC的外接球的體積。

分析：如上圖所示，DA=■，AB=■，BC=1，所以三棱錐D-ABC的外接球是以DA，AB，AC為長，寬，高的長方體的外接球。

答案：■π

4. 對棱相等的三棱錐：轉化為長方體的外接球

方法： 如圖所示，在三棱錐A-BCD中，

所有對棱相等，即AC=BD，AD=BC，AB=CD

則三棱錐A-BCD的外接球可轉化長方體的外接球.

例4. 在四面體ABCD中，AB=CD=3■，AC=BD=AD=BC=3，求該四面體的外接球的表面積。

分析：四面體ABCD對棱相等，因此可轉化為長方體的外接球. 假設長方體的長，寬，高分別為a，b，c，則由a2+b2=9，c2+b2=18，c2+a2=9，得a2+b2+c2=36即長方體的體對角線長度為6。

答案：36π。

變式：上述條件改為“AB=CD，AC=BD，AD=BC，并且AB⊥CD，AC⊥BD”，則三棱錐為正四面體，因此可轉化為正方體的外接球。

5. 底面是直角三角形，側面均是等腰三角形且一個側面與底面垂直的三棱錐。

方法：找截面

例5. 一個幾何體的三視圖如下圖所示依次為正視圖，側視圖，俯視圖，正視圖是一個正三角形，求這個幾何體的外接球的表面積。

分析：由題可知幾何體為如圖所示的三棱錐，底面是直角三角形，其余面為等腰三角形。

在Rt△ABC中，E為中點且SE⊥平面ABC，過底面ABC作三棱錐外接球的截面，則E為截面圓的圓心。因此球心一定在SE上，設球心為O，連接OB，在直角三角形OEB中可求得外接球的半徑。

答案：■π。

四、三棱柱的外接球

1. 底面是直角三角形的直棱柱：轉化為正方體或長方體的外接球。（或者過上下底面作外接球的截面，截面圓圓心連線的中點為球心）（如右圖）

例6. 已知直三棱柱ABC-A1B1C16個頂點都在球O的表面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，A1A=12，求該球的半徑。

分析：如右圖所示，兩種方法都可以。

答案：■。

2. 直三棱柱：過上下底面作截面，找截面圓的圓心（求半徑，可考慮正弦定理），球心為截面圓圓心連線的中點。在球心，圓心，頂點構成的直角三角形中求外接球的半徑。

例7. 三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為2■，頂點在一個球面上，求該球的表面積。

分析：分別上下兩底面作截面，截面圓的圓心為三角形的重心。

答案：28π。

五、圓錐的外接球

過頂點作底面的截面（截面與底面垂直），截出的等腰三角形外接圓的圓心為球心

例8. 已知一個幾何體的正視圖及側視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，求該幾何體的外接球的表面積。

分析：由題可知，△SAB為等邊三角形，O為其外接圓的圓心。在Rt△OBC中求出OB，即為外接球的半徑。

答案：■π。

六、圓柱的外接球

上下底面圓心連線的中點為球心

例9. 已知圓柱的底面半徑為2，高為6，求圓柱的外接球的體積。

分析：如圖所示，上下底面圓心連線的中點O為外接球的球心，在Rt△O1OA中， OA=■

答案：■■π。

（作者單位：內蒙古包頭市一機一中 014000）