《垂直于弦的直徑》設(shè)計(jì)感悟

張德玲

摘要：生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題稱之為生活化數(shù)學(xué)問(wèn)題。如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透這一理念呢？本文以《垂直于弦的直徑》為例，從設(shè)計(jì)理念、目標(biāo)預(yù)設(shè)、設(shè)計(jì)感悟三個(gè)層面闡述了筆者的主張。

關(guān)鍵詞：生活化；趙州橋；感悟

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0142

一、設(shè)計(jì)初衷

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)背景出發(fā)，采取不同的內(nèi)容呈現(xiàn)方式，幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)知識(shí)離我們很近，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，主要問(wèn)題有兩點(diǎn)：一是學(xué)生一見(jiàn)到實(shí)際問(wèn)題就畏懼，根本不去讀題；二是學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題不熟悉。為此本節(jié)課設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這樣做的好處：一是具有非常實(shí)際的用處；二是與本節(jié)課的內(nèi)容具有直接關(guān)系。這個(gè)問(wèn)題解決了，以后見(jiàn)到類似的實(shí)際問(wèn)題就不會(huì)感到陌生。

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了圓的概念及弧、弦等概念的基礎(chǔ)上的一節(jié)課。本節(jié)課有兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是圓的軸對(duì)稱性；二是垂徑定理及其推論。開(kāi)始以趙州橋的問(wèn)題引課題，帶著問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)。圓的軸對(duì)稱性主要是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，得出結(jié)論。圓是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱性進(jìn)一步研究圓中相等的弦、弧，學(xué)生總結(jié)出垂徑定理及其推論。利用此定理再去解決趙州橋的問(wèn)題。

二、目標(biāo)預(yù)設(shè)

1. 經(jīng)歷探索圓的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法。2. 理解并運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。3. 學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理解決一些有關(guān)證明計(jì)算和作圖問(wèn)題。

三、教學(xué)過(guò)程展示

1. 創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題

問(wèn)題：觀察網(wǎng)絡(luò)或者教材上趙州橋圖片并思考問(wèn)題，它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離為7.2m），你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

2. 新課流程

（1）圓的對(duì)稱性

互動(dòng)探究：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折。

問(wèn)題1：你發(fā)現(xiàn)了什么？

問(wèn)題2：你能得出什么結(jié)論？

（2）垂徑定理及其推論

如右圖AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E。

問(wèn)題1：該圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（學(xué)生對(duì)折、探究）

問(wèn)題2：你能發(fā)現(xiàn)圖中相等的線段和弧嗎？為什么？（小組合作交流，教師指導(dǎo)）

討論與歸納：①在上圖中連接OA、OB，垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸，又是⊙O的對(duì)稱軸。②把圓沿著直徑CD折疊，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC與AD分別與BC與BD重合。因此AE=BE，AC=BC，AD=BD，即直徑CD平分弦AB，并且平分AB及弧ACB。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。▋?yōu)弧、劣?。?。

問(wèn)題3：一條直線若滿足：①過(guò)圓心；②垂直于弦；又可得到什么結(jié)論？

學(xué)生：平分弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧。

問(wèn)題4：已知直徑AB，弦CD，且CE=DE，那么又能得到什么結(jié)論？（學(xué)生自己畫(huà)圖，小組討論）

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

問(wèn)題5：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，為什么不是直徑強(qiáng)調(diào)的作用是什么？

學(xué)生：如果這條弦是直徑，平分但不一定垂直。

（3）解決趙州橋的問(wèn)題

如右圖用AB表示主拱橋，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R，經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB交于C，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，CD就是拱高，AB=37.4m，CD=7.2m，AD=■AB=■×37.4=18.7m，OD=OC-CD=R-7.2

在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=AD2+OD2

即：R2=18.722+（R-7.2）2 解得：R≈27.9（m）

因此趙州橋主橋拱半徑約為27.9m。

3. 變式訓(xùn)練，熟練技能

練習(xí)：判斷：（1）圓是軸對(duì)稱圖形，直徑是它的對(duì)稱軸。（2）平分弦的直徑垂直于弦。

4. 遷移應(yīng)用，深化提高

你能利用上面的結(jié)論，幫助小明利用尺規(guī)作圖的方法，確定右圖殘缺圓盤的圓心嗎？

5. 總結(jié)

（1）本節(jié)課你認(rèn)為自己解決最不好的問(wèn)題是什么？（2）本節(jié)課你的收獲。（3）通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你想進(jìn)一步探究的問(wèn)題是什么？

6. 作業(yè)：練習(xí)1-2題

四、設(shè)計(jì)感悟

1. 在情景設(shè)置中體現(xiàn)生活化。創(chuàng)設(shè)情境，求趙州橋主橋拱的半徑，引起學(xué)生思考，激活了學(xué)生思維，引起學(xué)生興趣，要解決這個(gè)問(wèn)題，需要用到本節(jié)課知識(shí)，從而自然引入新課，并引起了學(xué)生的求知欲。數(shù)學(xué)起源于生活，又作用于生活。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著力體現(xiàn)“小課堂、大社會(huì)”的理會(huì)，讓學(xué)生根據(jù)生活情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)以及做出決策的能力。在新講導(dǎo)入中，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，使課堂教學(xué)更接近于現(xiàn)實(shí)生活。

如教學(xué)八年級(jí)《變量與函數(shù)》時(shí)，由許多學(xué)生熟悉的問(wèn)題引入，先讓學(xué)生對(duì)就量有一定的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上再通過(guò)學(xué)生熟悉的問(wèn)題引出函數(shù)概念。引入的問(wèn)題如人體的體溫隨著時(shí)音質(zhì)變化在每個(gè)縣體的時(shí)刻溫度不是完全相同的。出租車車費(fèi)業(yè)是隨著行駛路程的遠(yuǎn)近而不同等等。雖然函數(shù)的定議較為抽象，但在教學(xué)中配以大量的事例進(jìn)行講解，學(xué)生還中可以接受的。又如在《抽對(duì)稱》教學(xué)中，老師給學(xué)生準(zhǔn)備了一些生活中的圖案請(qǐng)同學(xué)們欣賞，可以用實(shí)物投影儀體顯示。圖片可以是楓葉、蝴蝶、剪紙、故宮建筑圖片等，另個(gè)還有學(xué)生自己收集的銀行商標(biāo)、汽車商標(biāo)、一些工藝品、剪紙等。通過(guò)列舉盡可能的軸對(duì)稱圖形，使學(xué)生通過(guò)豐富的生活實(shí)例，欣賞并體會(huì)軸對(duì)稱圖形，發(fā)展學(xué)生的審美能力、鑒賞能力。所以，這種“生活化”的情景創(chuàng)設(shè)，可以大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性。

2. 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受生活化

《數(shù)學(xué)課程》中強(qiáng)調(diào)在特意的數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得一些初步的生活體驗(yàn)，因此教師要想方設(shè)法改變教學(xué)方式，再聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得生活體驗(yàn)。學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題歸納出圓是軸對(duì)稱的圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，總結(jié)出垂徑定理及推論，加深了學(xué)生對(duì)結(jié)論的記憶與掌握。

3. 數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)手段貼近生活化

從數(shù)學(xué)方法看，要堅(jiān)持啟發(fā)式，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生積極思維，引導(dǎo)它們自己發(fā)現(xiàn)和掌握有關(guān)規(guī)律。教師要并于提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考。所提出的問(wèn)題不論是實(shí)際問(wèn)題還是理論問(wèn)題都應(yīng)緊密結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，并編抓成科學(xué)的探究程序，使學(xué)生能形成一條清晰的思路。本節(jié)課根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫(huà)出圖形進(jìn)行解答，這樣很好地做到了前后呼應(yīng)，充分體現(xiàn)了學(xué)以致用，嘗試讓學(xué)生自己解決，然后師生共同訂正的步驟，加以規(guī)范，使學(xué)生凌亂的思維得到梳理。通過(guò)五個(gè)問(wèn)題對(duì)新知識(shí)的教學(xué)，學(xué)生互相討論，使學(xué)生的思維始終處于活躍、積極的思考狀態(tài)，使思維得到不斷的發(fā)展。

4. 回歸生活，引導(dǎo)學(xué)生把生活中實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題

我們知道，化歸思想是重要的數(shù)學(xué)思想，前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭有一句名言：數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是不斷的化歸過(guò)程。仔細(xì)體會(huì)我們平時(shí)的每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，都是遵循這一原則而展開(kāi)的，其實(shí)質(zhì)就是經(jīng)化歸后所得出的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)是已經(jīng)解決的，或者是較為熟知的、較為容易的、較為簡(jiǎn)單的。數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的解答自然也不例外。通常我們可以將其思路表示如下：

這樣，可以把解答生活化問(wèn)題思路破譯分解為四個(gè)步驟：閱讀理解、建立模型、模型求解、回歸實(shí)際。

閱讀理解：認(rèn)真閱讀題目，理解題意，收集、分析、處理數(shù)據(jù)，聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題做好準(zhǔn)備。

建立模型：針對(duì)題意，聯(lián)想已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)抽象、概括，歸納把實(shí)際問(wèn)題化歸為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)模型。

模型求解：運(yùn)用具備的數(shù)學(xué)知識(shí)，技能和方法，完成對(duì)所建數(shù)學(xué)模型的解答。

回歸實(shí)際：由于數(shù)學(xué)模型的解答并不一定完全符合問(wèn)題的實(shí)際意義，所以要針對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)際，對(duì)模型的解答進(jìn)行分析、反思，得出實(shí)際問(wèn)題的正確解答。

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（作者單位：湖北省公安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 434300）