大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中的幾點體會

王穎　崔麗敏　吳春霞

【摘要】根據(jù)普通高等學(xué)校人才培養(yǎng)目標(biāo)的要求和教學(xué)對象的需要，研究多種教學(xué)方法相結(jié)合的概率統(tǒng)計課程教學(xué)模式是提高教學(xué)效果的必要環(huán)節(jié)，而考核方式多元化又是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種嘗試。概率統(tǒng)計與實際生活聯(lián)系緊密，通過教學(xué)方法和考核方式的多元化設(shè)計，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】做中學(xué) 問題驅(qū)動 案例教學(xué) 數(shù)學(xué)實驗

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0149-02

每門學(xué)科蘊(yùn)含的學(xué)科思想都是不同的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計作為我國本科教育中重要的數(shù)學(xué)課程，是對不確定現(xiàn)象的認(rèn)識和研究，這與其他數(shù)學(xué)分支的思維方式有所不同。鑒于此，加之學(xué)生在知識儲備、學(xué)習(xí)態(tài)度、興趣特長等方面有較大差異，這些因素都導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)該課程時有一定的難度，因此研究相應(yīng)的教學(xué)方法十分必要。在該學(xué)科的教學(xué)中，教學(xué)的方式方法應(yīng)采取多樣化，既有課堂教學(xué)、多媒體演示，又要有案例教學(xué)、實驗演示，努力將邏輯思維、形象思維和辯證思維有機(jī)的結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生全方位看問題和運(yùn)用多種思維方式的習(xí)慣。為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)和生活打下良好的思維基礎(chǔ)。該課程的考核方式也應(yīng)該靈活且多元化，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)不止是為了應(yīng)付考試，而是學(xué)會用數(shù)學(xué)思維考慮問題的方式。

本文從教學(xué)方法和考核方式兩方面著手，在實踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析總結(jié)，結(jié)合教學(xué)案例，來說明教學(xué)中的幾點體會。

1.教學(xué)方法多樣化

數(shù)學(xué)中的許多概念和定理都是從實際問題中抽象出來的，而在具體定義時拋開各自的背景，補(bǔ)充上了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)和證明。我們現(xiàn)在使用的教材也大多是按照定義，定理，證明，例題等順序簡潔羅列出來的，邏輯清晰，證明嚴(yán)謹(jǐn)，但對這些知識產(chǎn)生的背景及內(nèi)在聯(lián)系的闡述有些不足，學(xué)生弄不清為什么要學(xué)這些概念和定理，學(xué)了有什么用，從而失去了學(xué)習(xí)的動力和興趣。國家級教學(xué)名師李尚志先生倡導(dǎo)的“舊知識再發(fā)明一遍”的研究式教學(xué)方法給我們很多啟示，教師應(yīng)更新教學(xué)理念，以教材為根本但非照本宣科，以學(xué)生為主體教師適當(dāng)引導(dǎo)，以生活中的真實案例誘發(fā)學(xué)生的好奇心，以先進(jìn)的技術(shù)手段輔助教學(xué)，采取符合人們認(rèn)知規(guī)律的方式方法進(jìn)行教學(xué)實踐和探索。具體做法如下：

1.1 以學(xué)生為主體，采用“做中學(xué)”的教學(xué)方法

“從做中學(xué)”是美國教育家杜威提出的教育原則，他主張教學(xué)過程應(yīng)該是“做”的過程。如果學(xué)生沒有“做”的機(jī)會，只是單純的接受，那必然會阻礙他的平衡發(fā)展。杜威認(rèn)為，“從做中學(xué)”也就是“從活動中學(xué)”、“從經(jīng)驗中學(xué)”，它使得學(xué)校里知識的獲得與生活過程中的活動聯(lián)系起來。由于學(xué)生能從那些真正有教育意義和有興趣的活動中進(jìn)行學(xué)習(xí)，那就有助于學(xué)生的發(fā)展。

在教學(xué)過程中我們也發(fā)現(xiàn)，并不是老師講的知識點多，學(xué)生就掌握的好。很多情況下是老師講的過多，學(xué)生被動的跟著老師節(jié)奏走，沒有真正通過大腦認(rèn)真思考，結(jié)果就會導(dǎo)致學(xué)生以為自己聽懂了，而真正解決問題時卻不知從何下手。因此灌輸式的教學(xué)方式不太適合當(dāng)代的大學(xué)教育，我們應(yīng)把大部分時間還給學(xué)生，相信學(xué)生的能力，效果會更好。

例如，在講兩事件相互獨立時，正值十一放假的前幾天，我們舉出引例：甲和乙二人十一假期準(zhǔn)備去旅游，甲去西藏，乙去深圳，甲能買到火車票的概率是0.6，乙能買到票的概率是0.4。問（1）甲能買到火車票與乙能買到火車票這兩件事之間是否相互影響？（2）如果要他們兩個都買到火車票才能去旅游，則他們都能成行的概率是多少？

對于第一個問題，學(xué)生都可以判斷出兩件事無相互影響，第二個問題有些同學(xué)知道是兩個概率相乘。

接下來就讓學(xué)生自己看書，看書的目的有三個：

1.找到兩件事無相互影響的數(shù)學(xué)描述：

2.數(shù)學(xué)上如何定義獨立性：

3.剖斷獨立性有幾種方法。

以學(xué)生為主體，以問題探索為主線。采用“做中學(xué)”的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力，幫助他們在自主探索的過程中，真正理解和把握數(shù)學(xué)的基本知識、數(shù)學(xué)思想和方法。實踐表明，這樣的方法教學(xué)效果比單純講解要好很多。

1.2 以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法

好奇心是人類探索和進(jìn)步的源動力，問題導(dǎo)向式教學(xué)正是利用學(xué)生的好奇心、基于問題開展教學(xué)的一種方式。教學(xué)過程中教師提出貼近生活的實際問題，給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)和誘導(dǎo)，學(xué)生獨立自主學(xué)習(xí)和小組合作討論，以已有知識儲備、周圍世界和生活實際為參照對象，通過個人、小組等多種解難釋疑的活動，應(yīng)用自己所學(xué)知識解決實際問題。教師的提問要深思熟慮、有高度的技巧性。例如：

問題1你是否買過彩票或見過別人買彩票？

問題2你是否想過用數(shù)學(xué)方法計算中獎概率？

接下來拋出實際問題：彩票箱中有a張有獎彩票，b張無獎彩票，k個人依次不放回的從箱中抽取一張，求第i人（i=1，2，…，k）中獎的概率（k≤a+b）。此問題屬于古典概型，學(xué)生略經(jīng)思考很快就能給出答案。

進(jìn)而再提問：實際生活中，人們?yōu)樘岣咧歇劯怕释恢官徺I一張彩票，于是將上題略作修改：彩票箱中有a張有獎彩票，b張無獎彩票，某人從中任選n張，問其中恰有k（k≤a）張有獎彩票的概率。這樣就很自然的引入了超幾何概型的概念。

教師提問的原則：要對學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)有明確的認(rèn)識，找到新知識提問的切入點，將概念定義問題化，將定理直觀化，將例題生活化。同時也要把握好提問的時與度：學(xué)生處于思考狀態(tài)時才提問，不要提照本宣科就可以回答的問題，順應(yīng)學(xué)生思路，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，切實發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。

在以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法實施過程中，學(xué)生都能積極思考，思維活躍，學(xué)習(xí)主動性很強(qiáng)，足以表明這種教學(xué)方式可以驅(qū)動學(xué)生主動探索，符合人們的認(rèn)知規(guī)律。我們還發(fā)現(xiàn)，通過生活中的具體問題引入定義，學(xué)生在接受起來要比直接給出定義更易于理解而且印象深刻。

1.3 結(jié)合生活實際的案例教學(xué)方法

現(xiàn)在的學(xué)生生活在科技迅猛發(fā)展的時代，可以接受大量的來自各方面的信息，眼界開闊、思維活躍、興趣廣泛，他們樂于接受新鮮事物，希望從老師那里學(xué)到內(nèi)容新，具有實用價值的知識，這就給新時期的大學(xué)數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求。在講授概率統(tǒng)計理論知識的同時，我們希望能介紹一些生活中常見的具有實用價值的相關(guān)知識，現(xiàn)有的概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中使用的例題多是拋硬幣、摸球等，雖然易于理解但未與生活實際相結(jié)合，缺乏實用性。我們在課堂上列舉的例題如果與現(xiàn)實生活、時政要聞或?qū)W生專業(yè)的特點聯(lián)系在一起，一方面有助于激發(fā)學(xué)生的好奇心，另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生用概率統(tǒng)計的思維方式思考問題的能力和意識。比如在講全概率公式和貝葉斯公式時，恰逢食品安全事件頻頻曝光，于是我們設(shè)計出關(guān)于牛奶廠質(zhì)檢抽出次品奶的概率以及事后追究責(zé)任的題目。這類例題結(jié)合了生活實際和時政要聞，在教學(xué)中更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且在潛移默化中使學(xué)生理解了概率統(tǒng)計的思維方式。

1.4 通過數(shù)學(xué)實驗使理論教學(xué)與實踐教學(xué)相融合

在過去的概率統(tǒng)計課堂上，由于缺乏必要的硬件設(shè)備和軟件支持，使得一些重要的結(jié)論只是單純的羅列出來，略加解釋。這樣的講解既不形象也不生動，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生即使當(dāng)時記住了，過一陣也就忘了。

現(xiàn)在有了多媒體演示和各種軟件的幫助彌補(bǔ)了以往教學(xué)的不足，借助現(xiàn)代的技術(shù)手段，加強(qiáng)了教學(xué)的可視化程度，使學(xué)生較好地從直觀上升到抽象，并且能使學(xué)生初步掌握應(yīng)用軟件的使用方法，事半功倍。

（1）演示實驗

演示實驗是由教師在課堂上結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行的實驗。演示實驗?zāi)芫o扣課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，以其形象、生動的教學(xué)效果，靈活多變的實驗方式，有效的配合課堂教學(xué)，提高學(xué)生的興趣，有利于學(xué)生對知識的理解和掌握，啟發(fā)學(xué)生的思維活動。

教師在演示實驗過程中。引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、分析說明實驗現(xiàn)象，總結(jié)出結(jié)論。例如，在講解泊松定理時，可以用Excd分別畫出二項分布B（n，p）和泊松分布P（λ），（其中λ=np）的圖像，讓學(xué)生觀察兩圖像的特點，學(xué)生可以看出兩個分布都是離散的，且都先增后減。隨著試驗次數(shù)n取值的增大，從圖形上就能很直觀的看出這兩個分布圖像越來越接近，這樣就使得泊松定理以形象生動的方式展現(xiàn)出來。

（2）數(shù)學(xué)實驗

除了概念和定理，計算和數(shù)據(jù)分析也是十分重要的組成部分，通過對實際數(shù)據(jù)處理過程的演示，可以幫助學(xué)生充分理解概率統(tǒng)計與實際問題之間的聯(lián)系，學(xué)會自己挖掘數(shù)據(jù)中的重要信息。

例如，教師可以讓學(xué)生測量自己的腳長和身高，得出兩組對應(yīng)的數(shù)據(jù)，用Madab軟件輸入命令，就可以得到每組數(shù)據(jù)的直方圖，樣本均值、樣本方差等統(tǒng)計量，并且可以根據(jù)數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的回歸方程，得出腳長與身高的關(guān)系，告訴大家這就是法醫(yī)根據(jù)腳印的大小判斷犯罪嫌疑人身高的理論依據(jù)。這樣的課堂教學(xué)可以使學(xué)生拓寬眼界，明白了理論在實際中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)和參與的積極性都很高。

在教會學(xué)生理論知識的同時，介紹概率統(tǒng)計學(xué)在各個行業(yè)中的應(yīng)用，并且適當(dāng)?shù)募尤隕xcel、Madab等數(shù)據(jù)分析工具，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新能力，使學(xué)生真正感覺學(xué)有所用，而不僅僅是應(yīng)付考試。

2.考核方式多元化

在提倡素質(zhì)教育的今天，作為教育工作者我們應(yīng)該不斷思考怎樣才能使經(jīng)歷了應(yīng)試教育的學(xué)生轉(zhuǎn)變思想，提高自身能力，做到思想道德、能力個性和身心的全面健康發(fā)展。數(shù)學(xué)教育的目的不是讓學(xué)生死記硬背一些公式定理、會計算套路性的習(xí)題，而是能靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識思考、分析和處理學(xué)習(xí)和生活中的具體問題，真正具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此我們不僅要在教學(xué)方法上改進(jìn)，也應(yīng)在考核方式上進(jìn)行一些新的嘗試。

2.1 提交“小論文”作為期中成績

在教學(xué)中期，我們要求學(xué)生提交“小論文”作為期中成績，“小論文”的內(nèi)容，可以是對概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)體會，也可以是對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識和看法，寫出自己認(rèn)為的難點、不足以及需要改進(jìn)的地方，亦可以尋找生活中的概率統(tǒng)計實例，利用所學(xué)加以分析。這樣做的目的是培養(yǎng)學(xué)生查找資料、閱讀和寫作的能力，同時也訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維、辦公軟件的使用以及文件編輯能力。具備這些基本技能對他們將來的論文寫作、科研、寫工作報告都有一定的幫助。

2.2 綜合作業(yè)

在教學(xué)中，我們可以留一些綜合作業(yè)作為平時成績的一部分。綜合作業(yè)的目的是考察學(xué)生利用所學(xué)理論、借助數(shù)學(xué)軟件、解決實際問題的能力。在設(shè)計綜合作業(yè)時，教師的任務(wù)是結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點或生活中的實際問題，設(shè)計出恰當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)題目，提出相應(yīng)的作業(yè)要求：1.明確作業(yè)的目的是考察什么，2.寫明用到的理論知識和理論推導(dǎo)，3.計算機(jī)如何實現(xiàn)，4.具體的操作步驟。學(xué)生可以自由組合，相互探討，由于每個人看問題的角度不盡相同，在討論過程中學(xué)生常常會碰撞出頗有新意的火花，這也就是我們綜合作業(yè)的價值所在。

2.3 “半開卷”的期末考試方式值得借鑒

南開大學(xué)“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”實行的“半開卷”考試方式很值得我們借鑒?！鞍腴_卷”的含義是：允許學(xué)生帶進(jìn)考場一張帶有復(fù)習(xí)內(nèi)容的紙（A4大小），以避免死記硬背，提倡學(xué)懂學(xué)會。學(xué)生準(zhǔn)備這張紙的過程，就是很好的復(fù)習(xí)過程：也是思維能力、總結(jié)能力的訓(xùn)練過程?？荚囆问降母淖?，學(xué)生的應(yīng)試壓力會減輕，可以有更多時間用來思考。正如英國人懷特海所說，當(dāng)一個人把在學(xué)校學(xué)到的知識忘掉，剩下的就是教育。我們希望學(xué)生記住的不是公式定理，而是背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，具備縝密思維和嚴(yán)密的邏輯是我們希望通過數(shù)學(xué)這個載體傳授給學(xué)生的。南開大學(xué)的做法正是體現(xiàn)了這種素質(zhì)教育的思想，因此，對于很多學(xué)校來說，“半開卷”的考試方式不妨一試。

3.小結(jié)

教學(xué)實踐表明，多種方式相結(jié)合的教學(xué)模式可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的思維方式。有效多元的考核體系，使學(xué)生認(rèn)識到理論知識和實際知識可以相輔相成，切實提高學(xué)生分析和解決實際問題的能力，這些是學(xué)生需要掌握的技能，也是今后我們努力的方向。一個人在學(xué)校里學(xué)到的知識是很有限的，但只要有了學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神，今后的涉獵范圍和創(chuàng)造發(fā)明，都是無可限量的。教育工作者只有不斷的更新教學(xué)理念，教學(xué)方法與時俱進(jìn)，才可能培養(yǎng)出有思想、能創(chuàng)新的應(yīng)用型人才。

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作者簡介：

王穎（1977，11—），女，學(xué)歷：博士，職稱：講師。