數(shù)學(xué)模型方法在解題中的應(yīng)用

祁金陵

摘要：數(shù)學(xué)模型是針對或參考數(shù)學(xué)對象的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型方法是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種重要方法，也是處理各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法需要有較強(qiáng)的理解實際問題的能力，以及通過實踐加以驗證的能力。重視數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)可以大大提高學(xué)生的解題能力，對培養(yǎng)學(xué)生的能力是十分有益的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)模型方法；數(shù)學(xué)解題

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）02-0077-03

數(shù)學(xué)模型方法是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種重要方法，也是處理各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法?，F(xiàn)代各門應(yīng)用數(shù)學(xué)之所以具有解決實際問題的能力，主要就是通過提供數(shù)學(xué)模型方法而顯示出來的。

一、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型方法

數(shù)學(xué)模型的含義很廣，粗略地講，數(shù)學(xué)模型是針對或參考數(shù)學(xué)對象的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一種用數(shù)學(xué)概念和符號刻畫的關(guān)系結(jié)構(gòu)，它通過抽象分析拋棄了一切與關(guān)系無本質(zhì)聯(lián)系的其他屬性。

數(shù)學(xué)模型有廣義和狹義兩種解釋，從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種方程式、函數(shù)關(guān)系、各種數(shù)學(xué)公式以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可以叫數(shù)學(xué)模型。

例1：自然數(shù)1、2、3……n……是用以描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。

例2：公式S=πr2是計算圓的面積的數(shù)學(xué)模型。

例3：歐拉把“哥尼斯堡七橋問題”抽象為一筆畫出下圖的問題（所謂一筆畫成，就是筆不離開紙，而且每條線都只能畫一次，不許重復(fù)），后者便是前者的數(shù)學(xué)模型。

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的，就是為了解決具體的實際問題，因此，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型都作狹義的解釋。

數(shù)學(xué)模型方法就是針對要解決的問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，來解決實際問題的一種數(shù)學(xué)方法。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型方法解決實際問題

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。利用數(shù)學(xué)模型方法解決實際問題，一般分三步：

1.根據(jù)實際問題的特點(diǎn)，恰當(dāng)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。對所研究的實際問題即現(xiàn)實原型，要分析其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，抓往具有關(guān)鍵性作用的量的關(guān)系進(jìn)行考察，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)表達(dá)式簡潔地刻畫事物對象及關(guān)系。如現(xiàn)有數(shù)學(xué)工具不夠用時，還可提出新的數(shù)學(xué)概念和方法，去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。

2.在建立的數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求得解答。

3.把從數(shù)學(xué)模型上得到的理論解答返回到現(xiàn)實中去，看看能否確實解決問題。

以上步驟可用框圖表示如下：

如以解決“哥尼斯堡七橋問題”為例。其解題過程用框圖表示如下：

從上可見構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵性的一步。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法，還需要有較強(qiáng)的理解實際問題的能力，以及通過實踐加以驗證的能力。為此學(xué)生要多學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)科的知識，經(jīng)常接觸實際問題，這樣就會有助于提高構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的能力和利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。

三、數(shù)學(xué)模型方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。師范數(shù)學(xué)教學(xué)雖然比較重視對數(shù)學(xué)概念的理解，數(shù)學(xué)公式、定理的推導(dǎo)和證明，但對如何從實際問題出發(fā)，通過抽象概念，建立數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)模型的分析研究去解決實際問題方面的訓(xùn)練較少，致使學(xué)生解決實際問題的能力不強(qiáng)。因此重視數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的能力，尤其是學(xué)生的解題能力是十分有益的?，F(xiàn)舉幾例來說明數(shù)學(xué)解題的模型方法。

1.概念型數(shù)學(xué)模型：建模與概念原型

例1：設(shè)a>0，b>0，a+b=1，證明：■+■≤2■

思考：只要將求證式變形成

■≤2

即可想象左式為點(diǎn)A（■，■）到直線x+y=0的距離。

又因a+b=1，（■）2+（■）2=4

可看出點(diǎn)A在圓弧x2+y2=4（x>0，y>0）上。最后由AO≥AD即可證明得結(jié)論。

此題的證明，引導(dǎo)學(xué)生將舊知進(jìn)行遷移和提升，主要借助于“點(diǎn)到直線的距離”和“圓”的概念來解決的。這可以看作是一種概念型數(shù)學(xué)模型。很多這樣的模型都是基于現(xiàn)實的生活情境作出適度抽象后的產(chǎn)物。

2.方法型數(shù)學(xué)模型：建模與符號化思想

例2：設(shè)a、b、c為非負(fù)數(shù)，求證：■+■+■≥■（a+b+c）

思考：觀察求證式之左邊為算術(shù)根之和，且根號內(nèi)出現(xiàn)平方和，由此結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，故不等式左端可視作復(fù)數(shù)的模之和。由于a、b、c為非負(fù)數(shù)，右端則有a+b+c=a+b+c

由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：z1+z2+z3≤z1+z2+z3※為模型，設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=b+ci，z3=c+ai

由式※可以得

■+■+■≥

■=■（a+b+c）

此種建?？煽醋魇且环N方法性模型。作為一種方法型數(shù)學(xué)模型，不能僅僅滿足于形式化地將模型揭示出來，更要知曉其背后的原理，這也許就是大家常說的算法與算理的統(tǒng)一吧。

3.結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型：建模與變式理論

例3：證明：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

分析：此等式當(dāng)然可應(yīng)用配方等方法來證明。但由左邊式子的特點(diǎn)可以看出它是一個三階行列式的展開式，若能以a、b、c為元素構(gòu)造一個三階行列式的模型，則可利用三階行列式的性質(zhì)展開行列式，從而達(dá)到證題的目的。

證明：以a、b、c為元素構(gòu)造行列式，并有

a b cc a bb c a=a3+b3+c3-3abc

根據(jù)行列式的性質(zhì)得：

a b cc a bb c a=a+b+c b cc+a+b a bb+c+a c a=（a+b+c）1 b c1 a b1 c a=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

∴a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）

上例可以看作是這一類問題的結(jié)構(gòu)型模型，模型只有與變式相伴才有活力和魅力，也才能彰顯其意義。

通過上面的幾個例子，我們可以初步領(lǐng)略在解決問題中數(shù)學(xué)模型是怎樣發(fā)揮其功能的。在解答數(shù)學(xué)題時，教師如果有意識地引導(dǎo)學(xué)生從題目的特點(diǎn)出發(fā)恰當(dāng)構(gòu)造幾何、代數(shù)、三角等數(shù)學(xué)模型，往往能另辟蹊徑，尋找出簡便解法，闖出一條新路子。學(xué)有余力的同學(xué)，將這種方法作為其他解法的補(bǔ)充，于發(fā)展智力、培養(yǎng)能力是有益的，尤其有助于提高解題能力。

總的說來，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，在作了必要的簡化和假設(shè)之后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言提煉、表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、解題方法及某類知識的特征等。有了建模意識，把數(shù)學(xué)模型方法恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用到數(shù)學(xué)解題中，可以讓我們對數(shù)學(xué)問題的把握更貼近本原，目光更長遠(yuǎn)，見解更獨(dú)到。

責(zé)任編輯：石萍

Application of Mathematics Mold Method in Problem Solving

QI Jin-ling

（Yancheng Higher Normal College， Yancheng 224006， China）

Abstract： Mathematics mold is actually a kind of mathematics structure by referring to the features or quantitative relations of mathematics objects and by adopting the formalized language of mathematics. Mathematics mold method is an important method of dealing with mathematic questions and also a mathematic way of solving practical problems. Using the method needs stronger abilities of understanding and testing through practice. Emphasis on using this method may greatly increase students ability of solving questions， which is extremely salutary to the cultivating of their competence.

Key words： mathematics mold； mathematics mold method； mathematic problem solving