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    基于2013年泉州市數學中考第25題的變式探究

    2014-04-29 10:00:15林友通
    中學理科園地 2014年2期
    關鍵詞:泉州中考探究

    林友通

    摘 要:本文對2013年福建省泉州市中考數學第25題試題的命制從考點分析及其思想方法的體現,解題思路的分析,題目的拓展延伸及變式分析,反思及感悟等幾個方面做深入探討.

    關鍵詞:泉州;中考;考題命制;探究

    2013年福建省泉州市中考數學第25題是綜合性較強的試題,值得我們深入探究。下面就題目的考點分析及其思想方法的體現,解題思路的分析,題目的拓展延伸及變式分析,反思及感悟等方面做探討.

    一、考題內容

    如圖1,直線y=

    -■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.

    (1)求∠ABC的大??;

    (2)求點P的坐標,使∠APO=30°;

    (3)在坐標平面內,平移直線BC,試探索:

    當BC在不同位置時,使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變?若不變,指出點P的個數有幾個?若改變,指出點P的個數情況,并簡要說明理由.

    二、考題分析

    考題分析如表1:

    三、解題思路

    題(1)分析:求角的值,已知一些線段的長度,一般可考慮利用求該角的三角函數值.由條件可得B(2,0),C(0,2■)

    則OB=2,OC=2■

    于是在Rt△COB中tan∠ABC=■=■=■,

    ∴∠ABC=60° .

    題(2)分析:(解法一)如圖2,利用特殊三角形的性質,本小題注意到△ABC為等邊三角形,易得∠ACO=30°,即C是所求的一點P,另注意到邊BC的中點P,由等邊三角形ABC可得∠APB=90°,且O為AB中點,故得OB=OP,∠OPB=∠ABC=60°,所以∠APO=∠APB-∠OPB=30°.

    (解法二)如圖3,利用解法一知∠ACO=30° . 以AC為直徑作圓,與直線BC的兩個交點即滿足題目條件的點P.

    題(3)分析:以AO為弦,且所對圓心角為60°的圓有兩個(⊙Q和⊙Q′),直線BC與兩圓的公共點P都滿足∠APO=■∠AQO=■∠AQ′O=30°.當BC在不同位置時,滿足P的個數情況有五種.即當BC在不同位置時,點P的個數會發(fā)生改變,使∠APO=30°的點P的個數情況有五種:1個、2個、3個、4個、0個.(如圖4)

    四、拓伸變式

    拓變一:條件拓變,結論不變.

    變式1:如圖5,直線y=-x+2分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.

    (1)求∠ABC的大??;

    (2)求點P的坐標,使∠APO=30°;

    (3)在坐標平面內,平移直線BC,試探索:

    當BC在不同位置時,使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變?若不變,指出點P的個數有幾個?若改變,指出點P的個數情況,并簡要說明理由.

    變式2:如圖6,直線 y=-■x+■■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.

    (1)求∠ABC的大??;

    (2)求點P的坐標,使∠APO=30°;

    (3)在坐標平面內,平移直線BC,試探索:

    當BC在不同位置時,使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變?若不變,指出點P的個數有幾個?若改變,指出點P的個數情況,并簡要說明理由.

    變式3:如圖7,直線y=kx-2k(k<0)分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.

    (1)求∠ABC的大?。?/p>

    (2)求點P的坐標,使∠APO=30°;

    (3)在坐標平面內,平移直線BC,試探索:

    當BC在不同位置時,使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變?若不變,指出點P的個數有幾個?若改變,指出點P的個數情況,并簡要說明理由.

    說明:變式1-3運用從特殊到一般的數學思想方法來變式命題.

    拓變二:條件不變,結論拓變.

    變式1:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.求線段AP的最小值.

    變式2:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.試問是否存在點P,使得△AOP周長最短.若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    說明:變式1-2從數學中常見的求最值問題方面來變式命題.

    變式3:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.試問是否存在點P,以A、P、B為頂點的三角形與△OBC相似.若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    變式4:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.試問是否存在點P,以A、P、C為頂點的三角形與△OBC相似.若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    說明:變式3-4從數學中相似三角形的綜合應用方面來變式命題.

    變式5:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.試問是否存在點P,使得S△AOP=S△OBC .若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    變式6:如圖8,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點 . 試問是否存在點P,使得S△AOP=S△ABC .若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    說明:變式5-6體現了數學中面積應用問題的變式命題.

    拓變三:增添條件,拓展延伸.

    變式1:如圖9,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的點.若以A為圓心,以AP為半徑的圓與直線BC相切,試求出點P的坐標.

    變式2:如圖9,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的點. 若以O為圓心,以OP為半徑的圓與直線BC相切,試求出點P的坐標.

    變式3:如圖9,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,P是直線BC上的點.若以P為圓心,以為半徑的圓與兩坐標軸均相切,試求出點P的坐標.

    變式4:如圖9,直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C,點A(-2,0),P是直線BC上的動點.試問是否存在點P,以P為圓心,以r為半徑的圓P,與以A為圓心,以AO為半徑的圓A相切,且與橫軸也相切.若存在,請求出r值及點P的坐標;若不存在,請說明理由.

    說明:變式1-4從直線與圓、圓與圓的位置關系的應用來進行變式命題.

    五、反思感悟

    《義務教育數學課程標準》(2011年版)對數學評價提出了明確建議:“在設計試題時,應該關注并且體現《課程標準》的設計思路中提出的幾個核心詞:數感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數據分析觀念.”“根據評價的目的合理地設計試題的類型,有效地發(fā)揮各種類型題目的功能.例如,為考查學生從具體情境中獲取信息的能力,可以設計閱讀分析的問題;為考查學生的探究能力,可以設計探索規(guī)律的問題;為考查學生解決問題的能力,可以設計具有實際背景的問題;為了考查學生的創(chuàng)造能力,可以設計開放性問題.”為今后數學中考命題指明了方向.總之,中考試題要體現《義務教育數學課程標準》(2011年版)的課程理念,要有利于改善學生的數學學習方式、豐富學生的數學學習體驗、提高學生學習數學的效率,有效地評價學生的數學學習情況.在基礎知識與基本技能的考查方面,避免簡單的記憶,注重真正的理解,避免重復的訓練,注重對數學本質的認識,命題應加強數學與社會實際和學生生活的聯系,注重考查學生對基礎知識和基本技能的真正理解與掌握情況,特別是在具體情境中合理運用所學知識分析和解決問題的能力,在基本思想與基本活動經驗的考查方面,突出創(chuàng)新精神和應用意識,重視歸納能力的考查.要關注學生數學學習的水平,更要關注他們在數學活動中所呈現出的基本活動經驗,突出評價的創(chuàng)新性、創(chuàng)造性.

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