生活中的一些有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題

王和平

統(tǒng)籌問(wèn)題在日常生活中會(huì)經(jīng)常遇到，是一個(gè)研究怎樣節(jié)省時(shí)間、提高效率的問(wèn)題。此外，購(gòu)物、乘車、支付費(fèi)用等活動(dòng)，也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。下面，我們通過(guò)一些例題從兩個(gè)方面來(lái)探討一些有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，希望能引起廣大數(shù)學(xué)愛好者發(fā)現(xiàn)、解決生活中實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣。

一、 數(shù)學(xué)中的統(tǒng)籌問(wèn)題

例1 一家三口在戶外野餐，有個(gè)烤肉架，正好能容納兩片烤肉。問(wèn)怎樣才能在最短的時(shí)間內(nèi)烤完三片肉。

父親：“烤一片肉的兩面需要20分鐘，因?yàn)槊恳幻嫘枰?0分鐘。同時(shí)烤兩片，花20分鐘就可烤完兩片。再花20分鐘烤第三片，全部烤完需40分鐘?！?/p>

女兒：“爸爸，我可以節(jié)省10分鐘。”設(shè)肉片為A、B、C，每片肉的兩面記為1、2。第一個(gè)10分鐘烤A1和B1。把B肉片先放到一邊，再花10分鐘烤A2和C1，此時(shí)肉片A可以烤完。再花10分鐘烤B2和C2，僅花30分鐘就烤完了三片肉。

這屬于數(shù)學(xué)中的統(tǒng)籌問(wèn)題。問(wèn)題的關(guān)鍵在于烤完肉片的第一面后并不一定馬上去烤其反面。

例2 甲、乙、丙、丁四個(gè)人過(guò)橋，分別需要1分鐘、2分鐘、5分鐘、10分鐘。因?yàn)樘旌?，必須借助于手電筒過(guò)橋，可是他們總共只有一個(gè)手電筒，并且橋的載重能力有限，每次最多過(guò)兩個(gè)人。怎樣才能在最短的時(shí)間內(nèi)過(guò)橋呢？

大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應(yīng)該比較節(jié)省時(shí)間。而只有一個(gè)手電筒，每次又只能過(guò)兩個(gè)人，所以每次過(guò)橋后，還得有一個(gè)人返回送手電筒。為了節(jié)省時(shí)間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔(dān)往返送手電筒的任務(wù)。那么就應(yīng)該讓甲和乙先過(guò)橋，用時(shí)2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過(guò)橋，用時(shí)10分鐘。接下來(lái)乙返回，送手電筒，用時(shí)2分鐘，再和甲一起過(guò)橋，又用時(shí)2分鐘。所以花費(fèi)的總時(shí)間為：2+1+10+2+2=17分鐘。

二、數(shù)學(xué)中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

例3 某超市購(gòu)買茶壺、茶杯可以優(yōu)惠，有兩種優(yōu)惠方法：（1）買一送一（即買一只茶壺送一只茶杯）；（2）打九折（即按購(gòu)買總價(jià)的90%付款）。其下還有條件是：購(gòu)買茶壺4只（茶壺20元/個(gè)，茶杯5元/個(gè)）。這兩種優(yōu)惠有區(qū)別嗎？到底哪種更便宜呢？我們可以聯(lián)想到函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)將此問(wèn)題解決。

設(shè)某顧客買茶杯x只，付款y元，（x>3且x∈N），則：

用第一種方法付款y1=4×20+（x-4） ×5=5x+60；

用第二種方法付款y2=（20×4+5x）×90%=4.5x+72。

接著比較y1，y2的相對(duì)大小。

設(shè)d=y1-y2=5x+60-（4.5x+72）=0.5x-12。

然后便要進(jìn)行討論：

當(dāng)d>0時(shí)，0.5x-12>0，即x>24；當(dāng)d=0時(shí)，x=24；當(dāng)d<0時(shí)，x<24。綜上所述，當(dāng)所購(gòu)茶杯多于24只時(shí)，方法（2）省錢；恰好購(gòu)買24只時(shí)，兩種方法價(jià)格相等；購(gòu)買只數(shù)在4-23之間時(shí)，方法（1）便宜。

例4 某市規(guī)定，出租車合乘部分的車費(fèi)向每位乘客收取顯示費(fèi)用的60%，燃油附加費(fèi)由合乘客人平攤?，F(xiàn)有從同一地方出發(fā)的三位客人合乘，分別在D，E，F(xiàn)點(diǎn)下車，顯示的費(fèi)用分別為10元、20元、40元，那么在這樣的合乘中，司機(jī)的營(yíng)利比正常（三位客人是一起的，只是分別在上述三個(gè)地方下車）多多少錢？（ ）

A.2元 B.10元 C.12元 D.15元

這道題目的背景就是日常生活中拼車出行的問(wèn)題。因?yàn)椤叭加透郊淤M(fèi)由合乘客人平攤”，所以無(wú)論合乘與否，司機(jī)收取的燃油附加費(fèi)用都一樣多。由題意可知：第一個(gè)下車的乘客，全程合乘，顯示費(fèi)用10元，該乘客應(yīng)該付6元車費(fèi)；第二個(gè)下車的乘客，全程合乘，顯示費(fèi)用20元，該乘客應(yīng)該付車費(fèi)12元；第三個(gè)下車的乘客，在第二個(gè)乘客下車之前為合乘，該段路程應(yīng)付車費(fèi)12元，在第二個(gè)乘客下車之后的路程應(yīng)付全部車費(fèi)20元。所以，司機(jī)的營(yíng)利應(yīng)該比正常多（6+12+12+20）-40=10元，故選B選項(xiàng)。

例5 某城市居民用水價(jià)格為：每戶每月不超過(guò)5噸的部分按4元/噸收??；超過(guò)5噸不超過(guò)10噸的部分按6元/噸收??；超過(guò)10噸的部分按8元/噸收取。某戶居民兩個(gè)月共交水費(fèi)108元，則該戶居民這兩個(gè)月用水總量最多為多少噸？（ ）

A. 17.25 B. 21 C. 21.33 D. 24

因?yàn)橐乖搼艟用竦挠盟偭孔疃?，則用水應(yīng)選擇用水價(jià)格最低的水。該戶將每月4元/噸的額度用完會(huì)產(chǎn)生水費(fèi)4×5×2=40元，每月5元/噸的額度用完會(huì)產(chǎn)生水費(fèi)6×5×2=60元，共有40+60=100元。而108-100=8元，故8元/噸的額度用了1噸。因此該戶居民這兩個(gè)月用水總量最多為5×2+5×2+1=21噸。因此，選B選項(xiàng)。

以下給出一道經(jīng)典的問(wèn)題大家可以共同思考一下：

一小孩拿一百元假幣去商店買東西，此商品進(jìn)價(jià)18元，售價(jià)21元，老板找不開錢，去鄰居家換了100元零錢找給小孩，不久鄰居發(fā)現(xiàn)錢是假的，來(lái)找老板，老板又還給鄰居100元，問(wèn)老板總共賠了多少錢？

解析：大家都知道賠和賺是相對(duì)的。對(duì)鄰居家而言，鄰居找了100元零錢，在發(fā)現(xiàn)錢是假的后，老板又還給鄰居100元，雙方都是沒賺沒賠。小孩拿的100元錢是假的，就相當(dāng)于小孩沒有給商店老板付錢。但是老板給了小孩價(jià)值21元的東西（進(jìn)價(jià)18元），也就是說(shuō)老板虧了找出去的錢和商品成本，也就是79+18=97 （元），小孩其實(shí)賺了79元加上商品18元，共97元。