數(shù)列求和通用方法及其推廣應(yīng)用

李廣浩

【摘要】通過觀察數(shù)列通項公式及其和的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，但缺乏普遍性的證明，現(xiàn)給出一些局部證明，寫出來分享給大家，以供數(shù)學(xué)專家、學(xué)者們作更深入的研究，為數(shù)學(xué)作點(diǎn)貢獻(xiàn)。我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域為全體自然數(shù)，數(shù)列和的表達(dá)式也具有一般函數(shù)在某個區(qū)間的和為這個一般函數(shù)的積分的性質(zhì)，故現(xiàn)對某些數(shù)列經(jīng)行研究，并給出數(shù)列求和通用方法，再作應(yīng)用示范和適當(dāng)推廣。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列通項公式積分

【Abstract】Observing the general formula and its sequence and expression, found some regularity, but the lack of proof of universality, now give some partial proof, write out to others for math experts, scholars have made more in?鄄depth study of mathematics as a point contributions. We know that the series is a special function, the domain of all natural numbers, the number of columns and expressions also has a general function in a certain range, and for the general function of the integral nature, it is now certain number of columns by rows and gives the series summation general method, and then make the appropriate application demonstration and promotion.

【Keywords】SeriesGeneral formula Integration

【中圖分類號】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）07-0145-01 已知數(shù)列求和通用表達(dá)式為：■f(i)=Sn：現(xiàn)觀察下列數(shù)列和及其通項表達(dá)式：f(i)=a1+（i-1)d時,Sn=■[2a1+(n-1)d]；f(i)=a1ri-1時Sn=■；當(dāng)f(i)=i1時，Sn=■n2+■n；f(i)=i2時，Sn=■n3+■n2+■n；f(i)=i3時，Sn=■n4+■n3+■n2；不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：數(shù)列和表達(dá)式總比該數(shù)列通項公式高一階。為方便闡述：當(dāng)n→+∞時：數(shù)列和為常數(shù)定義為收斂數(shù)列；數(shù)列和為關(guān)于n的變量時定義為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列其求和方法相對容易，本文略。對于發(fā)散數(shù)列通過觀察可猜想：當(dāng)f(i)有通項公式且為關(guān)于i的某類連續(xù)單調(diào)增函數(shù)時，則數(shù)列和的表達(dá)式總可寫成一個比通項公式高一階的關(guān)于n同類函數(shù)。（此定律命名為和積定理）。對于等比等差數(shù)列已顯然成立了，現(xiàn)對通項公式形如f(i)=■■a■■i■的多項式給與證明，先證明f(i)=ik的情況，由歸納法證明如下：當(dāng)k=1時顯然是成立的?，F(xiàn)令k=m時成立，及f(i)=im時（m>1)其和可寫作■im=f ■n即：■im=1m+2m+…+nm=■aini=f ■n；為方便闡述現(xiàn)補(bǔ)充f ■n含義：f ■n表示一個關(guān)于n的k次多項式，其中多項式系數(shù)組成的矩陣為A。則：■=1*1m+2*2m+…+n*nm=n*f ■n-[(n-2)2m+(n-3)3m…2*(n-2)m+1*(n-1)m]由二項式定理分解求和上式必有■im+1=f ■n，即■im+1=f ■n故k=m+1時亦成立。由歸納法知和積定理在通項公式f(i)=ik時成立。當(dāng)通項公式為一個多項式f(i)=■■a■■i■，對此多項式疊加可得到：■■a■■i■=f ■(n)；由此我們得到求多項式為f(i)=■■a■■i■的發(fā)散數(shù)列和表達(dá)式一般方法：令數(shù)列和Sn=f ■(n)，分別取n為1，2……k+1，得到一個k+1個未知多項式系數(shù)ai組成的線性方程組：ai組成未知系數(shù)矩陣A可通過求解多元一次方程組得到，也可由ai系數(shù)組成的逆矩陣與方程值Sn組成的矩陣相乘得到。

應(yīng)用和推廣

1.應(yīng)用：

現(xiàn)求當(dāng)數(shù)列通項公式f(i)=i4時和的公式：令Sn= ■i4=■ajnj；令i=1，2，3，4，5得到一個五元一次方程組，并解之得：a1=-■；a2=0;a3=■;a4＝■;a5=■即：■i4=■ n5+■n4+■n3-■n；采用歸納法可證明其正確（證明略）。（另觀察通項公式f(i)=iK情形不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：多項式的奇數(shù)項的系數(shù)之和與偶數(shù)項的系數(shù)之和均等于1/2；且最高次項的系數(shù)為(k+1)-1，有興趣的同仁不妨證明之）

2.推廣：

對于通項公式為任意函數(shù)

情形是否一樣適用？有待專家

學(xué)者們繼續(xù)研究。如數(shù)列表達(dá)

式為減函數(shù)或周期函數(shù)；且其對

應(yīng)的數(shù)列不為收斂數(shù)列時，是否

可由和積定理推導(dǎo)出其和的表

達(dá)式？下面給出對于通項公式

為一個關(guān)于n的任意單調(diào)連續(xù)

增且高價于的f(x）=x的函數(shù)的

證明：

為便于證明先假設(shè)一任意

進(jìn)過原點(diǎn)的單調(diào)增函數(shù)f(x)在

x≥0區(qū)間可積，且積函數(shù)可寫

成■f(x)=F(x)，圖（一）中方格區(qū)

面積為f(n)：斜線區(qū)為f(x)在n-δn-1~n-δn區(qū)間的積分，并使之面積為f(n)，即f(n)=■f(x)；對于單調(diào)增函數(shù)，拿f(x）=x函數(shù)圖形作參照，采用幾何作圖法可證明■＞δ1＞δ2＞…δn-1＞δn，即可得到如下結(jié)論：■f(i)=■f(x)=F(n+δn)-F(0)當(dāng)n為一常數(shù)時，即δn≠0，令N=n+δn，A=F(0)時其和函數(shù)F(n+δn)-F(0)=F(N)-A；其和由二項式定理分解求和得到函數(shù)表達(dá)式符合和積定理；若n→+∞時可認(rèn)為趨向于0，即可得到結(jié)論■f(i)=F(n)，和積定理成立。對于不經(jīng)過原點(diǎn)情況，其和函數(shù)只需增加一項nf(0)，故和積定理對于通項公式為一個關(guān)于n的任意單調(diào)連續(xù)增且高價于的f(x)=x的函數(shù)，且在f(0)為常數(shù)時是成立的。