極限概念的教學(xué)探討

賈亞瓊

【摘要】極限的概念、思想是高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，本文主要討論了教師在極限概念的教學(xué)中，學(xué)生最容出現(xiàn)的三類問題，以及這些問題對(duì)應(yīng)的解決方案.

【關(guān)鍵詞】極限；教學(xué)方法；符號(hào)語言

【中圖分類號(hào)】G642.4【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

一、極限概念教學(xué)中的問題

極限概念不僅是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的分水嶺，更是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).所以，理解極限的思想，掌握極限的概念和方法是學(xué)生步入大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，因而教師對(duì)極限概念的教學(xué)也成為了高等數(shù)學(xué)教學(xué)重中之重.然而，就像極限理論的發(fā)展迂回曲折一樣，學(xué)生對(duì)極限概念的學(xué)習(xí)也面臨著許多艱難險(xiǎn)阻，這些困難如果沒有很好地解決，可能會(huì)對(duì)后面微積分的學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良影響.接下來我們具體分析極限概念教學(xué)中的問題[1].

1.感性到理性

學(xué)習(xí)的發(fā)展過程本身就是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象，從感性到理性，從有形到符號(hào)，而高等數(shù)學(xué)更是復(fù)雜、抽象、理性、符號(hào)的集成，因而，這門課對(duì)學(xué)生的抽象、理性，符號(hào)語言認(rèn)識(shí)思維能力也就提出了較高的要求和挑戰(zhàn).而教師在這其中也扮演了十分重要的角色，特別是如何解決感性到理性、有形到抽象等等的過渡，是奠定一堂課效果的基石.

而極限概念中的無限思想，正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志.學(xué)生過去對(duì)無限的理解基本來源于經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)，例如，有的從宇宙的浩瀚無際來理解無限，有的把天上的星星數(shù)也數(shù)不清就認(rèn)為是無限多顆，也有的把樹上的葉子來比喻無限多等等，所以學(xué)生對(duì)無限的理解并不一致，甚至是對(duì)于極限中的無限的思想來說是錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).所以，幫助學(xué)生突破過去從感性上對(duì)無限可能錯(cuò)誤的理解，并建立起學(xué)生在理性上對(duì)無限在數(shù)學(xué)中的認(rèn)識(shí)，是極限概念教學(xué)中的第一步.進(jìn)一步到極限概念的描述性定義的理解，也同樣面臨著把學(xué)生感覺中對(duì)過去極限的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知，轉(zhuǎn)化為用理性語言描述的知識(shí)的感性到理性的跨越.

2.描述性概念到抽象符號(hào)語言定義

當(dāng)學(xué)生達(dá)到第一步理性上對(duì)極限概念的理解接受后，接下來要面對(duì)的第二個(gè)需要跨越的障礙就是極限定義中抽象的符號(hào)語言的障礙[2].

可以看出，符號(hào)語言定義高度抽象概括，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密而又復(fù)雜.而數(shù)學(xué)符號(hào)語言又屬于人工符號(hào)語言系統(tǒng)而非自然語言系統(tǒng)，所以這自然又成為學(xué)生學(xué)習(xí)、接受和理解極限定義的又一個(gè)障礙，這也是教學(xué)中的難點(diǎn).

3.認(rèn)識(shí)符號(hào)語言到掌握、習(xí)慣抽象符號(hào)語言

當(dāng)學(xué)生完成第二步，接受并理解極限的符號(hào)語言定義后，面臨的第三個(gè)問題就是如何掌握并習(xí)慣這種符號(hào)語言，進(jìn)而熟練地運(yùn)用符號(hào)語言來解決證明極限等相關(guān)的問題.

二、極限概念的教學(xué)方法探討

針對(duì)以上提到的三點(diǎn)問題，教師在教學(xué)過程中可以設(shè)計(jì)不同的方法來解決相對(duì)應(yīng)的問題.下面逐一針對(duì)以上的三種問題來討論相適應(yīng)的解決方法.

1.數(shù)形結(jié)合

首先，針對(duì)學(xué)生對(duì)極限概念的理解上的從感性到理性跨越的問題，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決[4].因?yàn)閺臉O限的理論上來看，極限的概念是復(fù)雜和高度抽象的，學(xué)生直接接受這種復(fù)雜、高度抽象的概念比較困難，所以需要先讓學(xué)生充分感知和體驗(yàn)極限概念的定性描述，親身經(jīng)歷從具體到抽象的過程.而數(shù)形結(jié)合是一個(gè)很好的化抽象為形象的方法，所以在開始介紹極限概念的同時(shí)，以數(shù)列極限為例，教師應(yīng)當(dāng)列舉一定數(shù)量的存在極限的數(shù)列實(shí)例，這些實(shí)例盡量具體、簡(jiǎn)單，并且可以清晰地在坐標(biāo)系中畫出來，引導(dǎo)學(xué)生通過圖像可以很輕松地觀察并判斷出這些數(shù)列的變化趨勢(shì).有了這樣的體會(huì)，學(xué)生基本就可以接受“隨著n增大，數(shù)列{an}越來越接近某個(gè)常數(shù)A，則稱A為數(shù)列{an}的極限”這樣相對(duì)抽象的數(shù)列極限的描述性定義.

2.定義翻譯法

3.理論與實(shí)踐相結(jié)合

在通過翻譯法引出了極限的符號(hào)語言定義后，最后一步就是讓學(xué)生熟悉、掌握并習(xí)慣使用它來證明極限的存在問題.這也是極限定義教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).在這里，教師可以通過實(shí)踐來向?qū)W生展示抽象的極限定義如何在具體的實(shí)例中使用.同樣以數(shù)列極限為例，因?yàn)樵诙x的翻譯中已經(jīng)展現(xiàn)了N的值確定的由來，即通過求解| an-A|<ε的不等式，由最后解出的n的范圍來確定N的值，所以在證明的過程中，也可以理所當(dāng)然地用這樣的步驟來確定N的值.雖然學(xué)生可能一開始在感覺上不習(xí)慣、不適應(yīng)，但整個(gè)定義來龍去脈的過程如果已經(jīng)在定義的講解中讓學(xué)生在理性上接受了，接下來就可以在實(shí)踐中去適應(yīng)這樣的思維、邏輯和步驟，通過教師講解的一些實(shí)例，再加上學(xué)生練習(xí)的一些實(shí)例，最終就可以克服學(xué)生感覺上的不習(xí)慣，變成學(xué)生熟悉并習(xí)慣的數(shù)學(xué)語言和思維.

三、總結(jié)

極限的概念、思想是高等數(shù)學(xué)的第一道門檻，本文討論了在教學(xué)中學(xué)生最容出現(xiàn)的三類問題對(duì)應(yīng)的解決方案.教學(xué)相長(zhǎng)，在教學(xué)的過程中，學(xué)生出現(xiàn)的問題也是教師提高自身素養(yǎng)的機(jī)會(huì)，而教師的成長(zhǎng)和進(jìn)步，也可以使學(xué)生在學(xué)業(yè)上得到更及時(shí)有效的幫助.因而在教學(xué)過程中，可以繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)、了解學(xué)生的問題，并同時(shí)借鑒更多的優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)來解決這些問題，不斷地提升教師自身能力和素質(zhì)，促進(jìn)教學(xué)更順利、有效地進(jìn)行.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李莉，謝琳.關(guān)于學(xué)習(xí)極限概念認(rèn)知障礙的研究與分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006年2月，15（1）：42-44.

[2]邵光華，劉明海.數(shù)學(xué)語言及其教學(xué)研究[J].課程·教材·教法，2005（2）.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]楊澤恒.數(shù)學(xué)分析課程極限理論教學(xué)的一些實(shí)踐與思考[J].大理學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，6（10）：82-84，87.

[5]高興佑，向長(zhǎng)福.如何破解極限定義教學(xué)難題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011年10月，20（5）：96-98.