淺析函數(shù)極限的教法研究

唐建民

【摘要】函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)與積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，且在實(shí)際應(yīng)用和理論研究中也有至關(guān)重要的意義.極限的計(jì)算也是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，但在課堂教學(xué)中，學(xué)生對(duì)極限不能有一個(gè)整體的了解，導(dǎo)致碰到極限問(wèn)題不知所措，無(wú)從下手.本文著重于函數(shù)極限教學(xué)方法的研究，主張從基本上概念著手，先易后難，循序漸進(jìn)，最后歸納總結(jié)，讓學(xué)生形成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極限；教學(xué)方法；知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

高等數(shù)學(xué)是用極限思想方法來(lái)研究函數(shù)，函數(shù)極限的定義非常抽象，不容易理解，在教學(xué)中教師必須用通俗易懂的語(yǔ)言讓學(xué)生理解定義.另外，函數(shù)極限的計(jì)算也是教學(xué)的核心內(nèi)容，不論是函數(shù)導(dǎo)數(shù)或定積分的概念都可歸結(jié)為函數(shù)極限的計(jì)算，然而出于教材內(nèi)容的有限性及教學(xué)課時(shí)的限制，高校教師在介紹函數(shù)極限時(shí)往往生硬地直接給出函數(shù)極限的“ε-δ”定義，至于極限的計(jì)算也僅僅針對(duì)具體的題目簡(jiǎn)單地介紹做法.而在一些高職院校，大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本身就不太好，當(dāng)碰到這種問(wèn)題時(shí)，根本就摸不著頭腦，更別說(shuō)讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握函數(shù)極限及其計(jì)算方法了.為解決上述問(wèn)題，我們可以采取如下教法：

一、極限概念解讀

首先介紹簡(jiǎn)單而特殊的函數(shù)—— 數(shù)列極限的描述性定義，以數(shù)列極限為跳板，再來(lái)討論一般函數(shù)的極限，注意區(qū)分一般函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與差別，先易后難，在實(shí)際舉例中，盡量采用數(shù)形結(jié)合的方法幫助分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，循序漸進(jìn)，使學(xué)生更容易接受.

定義1設(shè){xn}為一數(shù)列，若當(dāng)n取正整數(shù)且無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)xn無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為數(shù)列的極限，記作： limn→∞xn=A.

定義1是數(shù)列極限的描述性定義，它說(shuō)明數(shù)列極限是一種變化趨勢(shì)，隨著項(xiàng)數(shù)無(wú)限變大，數(shù)列的項(xiàng)值會(huì)無(wú)限地接近一個(gè)常數(shù).這就是極限的本質(zhì).相應(yīng)地，對(duì)于一般函數(shù)的極限我們也可作類似定義.當(dāng)自變量x在某一種變化過(guò)程中，函數(shù)f（x）相應(yīng)的函數(shù)值會(huì)無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f（x）在此變化過(guò)程中的極限.這也說(shuō)明了函數(shù)的極限與函數(shù)在此有無(wú)定義無(wú)關(guān)，它僅僅刻畫了一種變化趨勢(shì).例如，當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)f（x）=2x+1無(wú)限地接近3，所以稱當(dāng)x→1時(shí)，函數(shù)f（x）=2x+1的極限為3，記為limx→1（2x+1）=3.再例如，x→∞時(shí)函數(shù)f（x）=1x無(wú)限地接近0，所以當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）=1x的極限為0，記為limx→∞1x=0（事實(shí)上f（x）=1x不可能等于0）.值得一提的是，函數(shù)自變量的變化過(guò)程主要有三種，無(wú)限趨近于定點(diǎn)x0，無(wú)限趨近于+∞，無(wú)限趨近于-∞.這樣看來(lái)，一般函數(shù)的極限比數(shù)列的極限討論起來(lái)要復(fù)雜，但是始終沒(méi)離開過(guò)函數(shù)值無(wú)限接近某常數(shù)的討論.

二、極限計(jì)算方法

作為對(duì)教材內(nèi)容的一個(gè)補(bǔ)充，最重要的是要?dú)w納總結(jié)函數(shù)極限的計(jì)算方法，能夠?qū)ΠY下藥，掌握極限計(jì)算的基礎(chǔ)方法，讓學(xué)生形成整體的知識(shí)結(jié)構(gòu).

利用定義可以直接觀察得到一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，但是一些相對(duì)復(fù)雜函數(shù)的極限，得給出一系列的計(jì)算方法，這里我簡(jiǎn)單總結(jié)了三種常見極限的計(jì)算方法.

（一）連續(xù)型函數(shù)的極限

（二） “00”型極限

在討論函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，我們總是會(huì)碰到這么一類分式極限：當(dāng)自變量x→x0時(shí)，分式函數(shù)分子、分母都趨于0，我們將這類極限稱之為“00”型未定式.洛必達(dá)法則在計(jì)算這種極限時(shí)非常具有優(yōu)勢(shì)，再適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合使用等價(jià)無(wú)窮小替換，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量.大部分情況下，結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換定理，再使用有限次洛必達(dá)法則以后，原極限的計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化成連續(xù)型函數(shù)的極限的計(jì)算，基于上述連續(xù)型極限的計(jì)算方法，我們可以很快計(jì)算出函數(shù)的極限.例如，limx→0sinxx=limx→0（sinx）′x′=limx→0cosx1=1（這就是兩個(gè)重要極限之一）.

（三） “∞∞”型極限

當(dāng)自變量在某一種變化過(guò)程中，若分式函數(shù)中分子、分母都趨于無(wú)窮大，我們稱這種分式函數(shù)的極限為“∞∞”型未定式.解這類極限，主要有兩種方法，其一是將分子分母同除以自變量最高次方，再根據(jù)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算.其二是嘗試使用洛必達(dá)法則來(lái)求.這兩種方法各有優(yōu)勢(shì)，當(dāng)洛必達(dá)法則無(wú)效時(shí)，第一種方法一般可以起到很好的效果.例如limx→∞x+sinxx=limx→∞1+sinxx=1（不滿足使用洛必達(dá)法則的條件），再例如limx→∞2x2+3x+1x2+5=limx→∞（2x2+3x+1）′（x2+5）′=limx→∞4x+32x=2（這里兩種方法都適用）.

總結(jié)上面簡(jiǎn)單介紹了極限的概念及三大類型極限計(jì)算方法，在高職院校的教學(xué)中，教師可以重點(diǎn)把握這兩個(gè)內(nèi)容，將它講細(xì)講透，或許能夠給數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好的學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)有一個(gè)好的開頭，漸漸提起對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，扼殺對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼感.總之，要提升學(xué)生數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)與技能，就必須重視教學(xué)方法，教師要研究每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，特別是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容函數(shù)的極限.有個(gè)好的開始，才有繼續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力.