高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考

張曉輝

【摘要】高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)是一個創(chuàng)造性過程.在教學(xué)中要注意：（1）充分利用概念的實際背景；（2）合理借助概念的直觀性；（3）注意揭示概念的本質(zhì)；（4）注重概念體系的建立.教師應(yīng)根據(jù)高等數(shù)學(xué)概念的特點和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)合概念的實際背景，采用多種教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力以及創(chuàng)造精神，促使學(xué)生主動建構(gòu)概念體系.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；教學(xué)；思考

一、高等數(shù)學(xué)概念的特點

數(shù)學(xué)概念是抽象思維的產(chǎn)物，它具有辯證性、客觀性、合理性等特點.對剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別在于，出現(xiàn)在他們面前的是全新的概念與方法.高等數(shù)學(xué)的概念基本上都是以運動的面貌出現(xiàn)的，是動態(tài)的產(chǎn)物.正如恩格斯所描述的： “運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué). ”了解高等數(shù)學(xué)概念的特點為我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的思維模式，并為其中部分學(xué)生日后學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備是有指導(dǎo)意義的.因而，我們在教學(xué)中要研究高等數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識過程的特點和規(guī)律性，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識能力發(fā)展的規(guī)律來選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式.

二、 概念教學(xué)中要注意的幾個問題

（一）充分利用概念的實際背景

高等數(shù)學(xué)中很多概念都有著良好的物理背景或幾何背景，教學(xué)中應(yīng)該充分利用這些資源，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行概念的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.例如，進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)時，我們首先引導(dǎo)學(xué)生在已知變速直線運動的運動方程情況下，設(shè)法求出某一時刻的瞬時速度.在此，首先引導(dǎo)學(xué)生取一較小的時間段，求出在一個較小時間段內(nèi)的平均速度，用平均速度作為瞬時速度的近似值，然后分析當(dāng)時間段越變越小會有什么樣的效果，使學(xué)生自己意識到通過對平均速度取極限可以得到瞬時速度.同理，我們引導(dǎo)學(xué)生求出平面曲線切線的斜率.結(jié)果，兩個不同的問題得出了相同的數(shù)學(xué)模式，至此，再抽象給出導(dǎo)數(shù)定義便水到渠成了.如果我們成功地引導(dǎo)學(xué)生得到導(dǎo)數(shù)的概念，對他們學(xué)習(xí)定積分、重積分、曲線積分與曲面積分的概念都是一個很好的啟迪.

（二）合理借助概念的直觀性

盡管抽象性是數(shù)學(xué)概念的突出特點，但是直觀性在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中也占有重要地位.教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)直觀力的培養(yǎng)與訓(xùn)練.直觀有助于概念的引入、形成.例如：極限的嚴(yán)格定義的給出，便是借助了幾何直觀性.一個新的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，僅停留于對有關(guān)定義的機(jī)械記憶上顯然是不夠的.由于數(shù)學(xué)概念是抽象思維的產(chǎn)物，因此，對于概念的認(rèn)識是以在思想中建構(gòu)出其模式為前提的.例如高等數(shù)學(xué)中的散度概念，由于其引入并不是很直觀，學(xué)生常常只是記住了公式，對于散度究竟意味著什么，不甚清楚.如果我們讓學(xué)生了解在電場中，電位移向量的散度表示在一個點處是否存在電荷、電荷的正負(fù)以及電量的大小，與通量相比較，通量反映的是全局性態(tài)，散度則表示一點處的性態(tài).好比在一個公司里，通量相當(dāng)于整個公司的經(jīng)營結(jié)果，而散度相當(dāng)于每個員工的工作結(jié)果. 這樣，散度概念在學(xué)生那里就變得很清晰、明白.

（三）注意揭示概念的本質(zhì)

由上所述我們看到，借助于直觀，有助于高等數(shù)學(xué)概念的引入，也能促進(jìn)概念由抽象到具體的轉(zhuǎn)化.然而，就正確的認(rèn)識而言，更為重要的是透過概念的形式表述揭示出其內(nèi)在的本質(zhì)，從而使其成為非常透明的東西.例如就導(dǎo)數(shù)概念而言，我們在教學(xué)中必須適時引導(dǎo)學(xué)生跳出狹義的圈子，使學(xué)生認(rèn)識到，導(dǎo)數(shù)與真實現(xiàn)象間有著一般和特殊的關(guān)系，它作為抽象思維的產(chǎn)物具有更為普遍的意義，它所反映的已不是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同特征.除瞬時速度、電流、線密度外，它還可以表示瞬時加速度、角速度、切線斜率等，而它的本質(zhì)是變化率.

（四）注重概念體系的建立

數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，理清概念間的聯(lián)系，既能促進(jìn)新概念的自然進(jìn)入，也有助于整個概念體系的建立.多元函數(shù)微分學(xué)中有一組概念，即極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)，對它們之間的聯(lián)系以及它們與一元函數(shù)微分學(xué)中的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分概念之間的異同的分析比較是我們在教學(xué)中要予以重視的.積分學(xué)中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分的概念之間的關(guān)系、異同也是在教學(xué)中應(yīng)該加以注意的.建立概念間的聯(lián)系、異同有多種方法，類比法是常用的方法之一.依靠類比與聯(lián)想，可以從二維空間進(jìn)入三維空間直至更高維空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實世界進(jìn)入虛擬世界.

三、 概念教學(xué)要體現(xiàn)出創(chuàng)造性活動

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就應(yīng)該是一個動態(tài)過程，是一種創(chuàng)造性活動.教師應(yīng)該在以學(xué)生為主體，以啟發(fā)式為原則，以簡易性為目標(biāo)的前提下以多種不同的方式從事高等數(shù)學(xué)概念的教學(xué)活動，通過介紹概念建立的有關(guān)史實賦予概念以誘人的魅力，通過展示概念的應(yīng)用賦予概念以鮮活的生命力，通過揭示概念的哲學(xué)內(nèi)涵賦予概念以深刻的理性精神.教師自己要有一種批判精神，不要總是死摳教材.事實上，教材中確有一些概念存在著在敘述上不夠簡便、不夠明確等現(xiàn)象，容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑.教師要敢于做出一些積極的改變. 在教學(xué)中，教師的創(chuàng)造性和個性化精神，必然會影響學(xué)生的創(chuàng)造性與個性化的發(fā)展.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中所做的一切，其目的在于既教會學(xué)生有用的知識，又教會學(xué)生有益的思考方式及有益的思維習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

[1]呂林海.數(shù)學(xué)抽象的思辨[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005（8）.

[2]李善良.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（10）.

[3]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社.