換一種情景去思考問題

張景陽

摘 要：在數學學習的過程中，公式的記憶、運用，解題步驟的繁瑣復雜，常讓人絞盡腦汁，收獲欠佳，學習興趣銳減，前進的動力難以調動。如果能換一種情景去思考，看問題，也許會別有一番景致，生活增添更多的趣味。其實選擇什么角度去看問題，是每一個人的自由，也是每一個人的智慧。但應該知道：看法決定想法，想法決定做法，而做法已決定了結果。改變看問題的情景角度，令你的思維插上騰空的翅膀，無論從思考的廣度上還是深度上都會從中得到很大的提高，讓人的思維更加異彩紛呈。

關鍵詞：融合性；實踐性；積極性

一、換一種情景去思考問題，可以使問題體現一般性，加強知識的融合性，增強知識的實踐性

在學習排列新授課中有這樣一個例題：求證：（1）Amn=mAm-1n-1（2）Amn+mAm-1n-1=Amn+1，大多數學生對于第一個問題還好，第二個問題用到分式的通分、排列公式的逆用，顯得運算能力有點缺憾。

不妨設置這樣一種情景：（1）在n個不同的小球中，其中含有1個紅球和n-1個不同的白球，從這n個球中任選m個（m≤n）不同小球的所有排列？（2）有n個不同的白球和1個紅球，從這n+1個球中任選m個（m≤n）不同小球的所有排列？可以讓學生思考，能用計數原理解釋這兩個問題嗎？由題可知共有m個不同的位置，先排紅球，有m種，從剩余的n-1個中選m-1個的排列，即有m×Am-1n-1種排法，所以有Amn=mAm-1n-1；同樣依據計數原理選出的m個小球，分兩種情況分類討論：（1）選出的m個小球不含紅球情況，則從n個小球中選m個的排列，有Amn種。（2）選出的m個小球中含1紅球的情況，紅球有m種選法，從剩余的n-1中選m-1的排列，即有種m×Am-1n-1排法，由（1）（2）得Amn+mAm-1n-1=Amn+1。從上述可以看出，換一種情景思考問題，不僅使問題降低了認知難度，讓學生易于接受，而且又增加了知識的連貫性與應用實踐性，達到了異曲同工之妙。

二、換一種情景去思考問題，使得復雜的問題變簡單，抽象的問題變具體

例1.有一個環(huán)形花壇，四周分A、B、C、D四個區(qū)域，有四種不同顏色的花，要求每個區(qū)域僅種一種顏色的花，相鄰區(qū)域的兩種花的顏色不能相同，問有多少種種法？

學生對這個問題接觸不多，大多都是按照A、B、C、D四個區(qū)域的順序，4×3×3×2=72種，結果是錯誤的.正確解釋：（1）當A、C同色時，A、C有4種選擇，B、D各有3種選擇4×1×3×3=36；（2）當A、C不同色時，A有4種選擇，B有3種選擇，B、D各有2種選擇，4×3×2×2=48.由（1）（2）得36+48=84種.針對上述問題，不妨設置這樣一種情景：用1、2、3、4四種不同的顏色去涂A、B、C、D四個區(qū)域，要求一個區(qū)域只用一種顏色，相鄰的區(qū)域兩種顏色不能相同，問有多少種不同的涂法？學生在這樣的環(huán)境下，本能的無意識的動手畫一畫，漸漸意識到會簡單的枚舉，水到渠成地會想到列樹狀圖，通過列樹狀圖得到1號顏色在A區(qū)域時共計21種涂法，依據等可能性原則2、3、4號顏色在A區(qū)域也各為21種，總計84種涂法。通過列樹狀圖，不僅使抽象問題具體化、形象化；復雜的問題簡單化，而且增加了無盡的童趣，進而增加了學生學習的自信心和前進的動力，注重了學生非智力因素的培養(yǎng)。

三、換一種情景去思考問題，可以使枯燥的問題變得生動形象，更富有趣味性，充分調動學生學習的積極性

例2.已知橢圓的方程為 + =1（a>b>0），M為橢圓上一點，

F1，F2為兩個焦點，求滿足下列條件的離心率e的范圍？

（1）∠F1MF2最大角為銳角.（2）∠F1MF2最大角為鈍角.

常規(guī)方法求解，首先判斷出M的位置在y軸上，即M（0，b），使得∠F1MF2為最大角，后應用余弦定理，cos∠F1MF2<0，即a2+a2-4c2<0，2e2<1，解得00，即a2+a2-4c2<0，2e2>1，解得

不妨設置這樣一種情景：以F1，F2為直徑畫圓，即以O為圓

心，以c為半徑畫若干個圓，觀察∠F1MF2出現銳角，直角，鈍角與這些圓的關系。很自然就知道：直徑所對的圓周角是直角，頂點在圓外∠F1MF2是銳角，頂點在圓內∠F1MF2是鈍角.通過作圓可以得到，∠F1MF2最大角為銳角，以F1，F2為直徑的圓在橢圓的內部，即

2c<2b，兩邊平方得c22b，兩邊平方得c2>b2，2c2>a2，兩邊同除以a2，

四、換一種情景去思考問題，可以進一步加強類比聯系，探究解決問題的方法規(guī)律，應用方法規(guī)律解決實際問題，提高靈活駕馭知識的能力

例3.已知設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=10，且

S12>0，S13<0，問前幾項的和最大？

由題意得d<0，等差數列{an}是遞減的，又因S13= =13

a7<0，所以a7<0，同理S12= =6（a6+a7）>0，所以a6>0，故等差數列{an}的前6項和最大.

不妨設這樣的情景：等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=10，且S12>0，S13<0，問Sn取最大值時，n的值是多少？在這樣的情境下，特別是出現“最大值”這樣熟悉的字眼，讓學生不禁聯想到二次函數最值問題，進而想到數列{an}為等差數列的充要條件是Sn=An2+Bn（A，B為常數），近似滿足一元二次函數的性質.由題意得d<0，A<0，拋物線開口向下，Sn有最大值，又因為Sn=An2+Bn過原點，其中一根為n1=0，另一根n2∈（12，13），拋物線對稱軸方程n= =m∈（6，6.5）.依據性質：拋物線開口向下，拋物線上的點離對稱軸距離越近函數值就越大.因為n-m≤6-m（n∈N），所以當n=6時，Sn取得最大值。通過函數“最值”這一切入點導引，進一步加強函數思想在高中數學的貫穿，使函數思想進一步得到應用升華，體現的精彩紛呈。

換一種情景思考問題，不僅使問題輕松得以解決，增添了許多趣味，而且更進一步激發(fā)了學生求知的欲望，培養(yǎng)學生探索自然奧妙的上進心。情景的設置，讓學生走出課堂走進實踐，體驗知識的真諦，加強理論與實踐相結合，充分體現了知識來源于生活實踐，同時又為實踐生活服務。

（作者單位 山東省昌樂及第中學）

編輯 孫玲娟