分式方程的根與增根

李強(qiáng)

在解分式方程時(shí)通常都是先把分式方程去分母，轉(zhuǎn)化成整式方程，然后求整式方程的解，求解后還要進(jìn)行驗(yàn)根。那么在教學(xué)中學(xué)生經(jīng)常會(huì)有這樣的疑問：解分式方程為什么必須要驗(yàn)根呢？增根是如何產(chǎn)生的？增根是分式方程所特有的嗎？

分式方程的根與增根

能夠使分式方程成立的未知數(shù)的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0），那么這個(gè)根叫做原分式方程的增根。

例題1：解方程 ①

解：兩邊同乘以（x+3）（x-3），得

（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②

解這個(gè)方程得：x1=-3，x2=6

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-3時(shí)，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；

當(dāng)x=6時(shí)，（x+3）（x-3）≠0，左邊=，右邊=，左邊=右邊。

所以：x=6是原方程的解。

說明：顯然，方程①中未知數(shù)的取值范圍是x≠3且x≠-3，而在去分母化為方程②后，此時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)，所以求得的x值恰好使最簡公分母為0，x的值就是增根。本題中方程②的解x=-3，恰好使公分母為0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。

增根是如何產(chǎn)生的

從例題1可以看出x=-3雖然是整式方程的根，但卻使得最簡公分母為0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是說，所得的整式方程與原方程已經(jīng)不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的過程中產(chǎn)生的。其實(shí)，去分母的依據(jù)是等式基本性質(zhì)，即在等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立，而在例題中兩邊同乘的是一個(gè)含有未知數(shù)x的整式，也就不能保證它的值一定不為0，我們?nèi)シ帜傅臅r(shí)候就已經(jīng)默許了條件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程與原方程已經(jīng)不是同解方程，這樣便產(chǎn)生了增根。

例題2：使關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根的a的值是多少呢？

要正確解答此題就要理解增根是如何產(chǎn)生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母為零的未知數(shù)的值。

解：去分母并整理，得：

（a2-2）x-4=0

因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤=2，

把x=2代入（a2-2）x-4=0，

得a2=4

所以a=±2

說明：做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最好將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其實(shí)也不僅是分式方程可以產(chǎn)生增根，類似的，可想到若在整式方程（x+3）=0兩邊同時(shí)乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同樣會(huì)產(chǎn)生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。

解分式方程如何避免增根

以例題1為例，可將原方式方程通分整理如下：

對(duì)于上式中，當(dāng)（x+3）=0時(shí)，分式的分母等于0，此時(shí)，分式無意義，所以（x+3）≠0；那么可以繼續(xù)化簡為，即（x-6）=0，得x=6。也就是說，我們可以先把方程的一切非零項(xiàng)移到左邊，通過恒等變形將方程的左邊化成一個(gè)分式，右邊是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并約去，就可以得到一個(gè)新方程并且與原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的產(chǎn)生。

不容忽視的增根

分式方程的增根問題與一元二次方程根的幾種情況相結(jié)合會(huì)使問題更加復(fù)雜化，也使得這一類問題的答案對(duì)學(xué)生們而言更加的撲朔迷離。下面通過幾個(gè)例題解析一下與增根有關(guān)的此類問題。

例題3：當(dāng)k為何值時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，并求出此實(shí)數(shù)根。

解：原方程可化為：x2+2x-k=0

（1）要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只要方程x2+2x-k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1

（2）要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只要方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，

所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。

又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。

綜上所述，原方程的根為：

（a）當(dāng)k=-1時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=-1；（b）當(dāng)k=0時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=-2；（c）當(dāng)k=3時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=-3。

在分式方程教學(xué)中，教師要深入鉆研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何產(chǎn)生的，并引導(dǎo)學(xué)生正確理解、完整掌握、準(zhǔn)確解答分式方程的增根問題，從而真正提高學(xué)生的解題能力，提高教學(xué)效果。

（作者單位：江蘇省昆山市兵希中學(xué)）